PD门

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-

2023年3月16日发(作者：混凝土挡墙)

2017年普通高等学校招生全国统一考试一一理科数学（全国I卷）（解析版）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A=x：：1/，B=、x3:::V，则（）

^xx：：。，」B二R

=：xx.1』D.

【答案】A

【解析】A=xx：：：1f,B-lx3x：：：仁-〔xx：：：0?

•••A"<0?,AUB」.xx::1?,

选A

如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图•正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正方

形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）

n

则此点取自黑色部分的概率为2=n

4一8

故选B

3.设有下面四个命题（）

1

P1:若复数z满足R，则zR;

z

P2:若复数z满足z2•R，则zR；

P3:若复数z,,Z2满足WZ2•R，则z1=z2;

P4:若复数zR，则z■R.

A.P1,P3B.P1,P4C.P2,P3D.P2,P4

【答案】B

11a-bi_

【解析】P1:设z=a+bi，则一=〒77=2齐2匸R，得到b=0，所以R•故R正确；

za〒biaTb

2.

1

A.-

4

n

B.—

8

1

C.—

2

【答

案】

B

设正方形边长为

2，则圆半径为1

D.

则正方形的面积为22=4，圆的面积为

n图中黑色部分的概率为

2017年普通高等学校招生全国统一考试一一理科数学（全国I卷）（解析版）

P2:若z2=-1，满足z2•R，而z=i,不满足z2•R，故P2不正确;

P3:若Zi=1,Z2=2,则乙Z2=2，满足Z1Z2R，而它们实部不相等，不是共轭复数，故P3不正

确；

P4：实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故P4正确；

4.记Sn为等差数列的前n项和，若a4=24,=48，则/的公差为（）

A.1B.2

【答案】C

【解析】a4a5=a13da14d=24c6x5

£二6a〔d=48

12

(2ai+7d=24①

联立求得1-

阳+15d=48②

①3-②得21-15d=24

6d=24

d=4

选C

5.函数fx在」：，•：：单调递减，且为奇函数.若f1]=-1，则满足-Kfx-2<1的x的取值范围是（）

A.1-2,2丨B.1-1,11C.0,4]D.1,3丨

【答案】D

【解析】因为fx为奇函数，所以f-1二-f1=1,

于是-1

又fx在-：：,亠「1单调递减

.-1

.1

故选D

16

6.1*孑1*x展开式中x2的系数为

A.15B.20C.30D.35

【答案】C.

i16616

【解析】・1+-TJ+x）=1叮+x）f1+x）

IX丿x

6^5

对1x6的x2项系数为C6=——=15

f2

16

对-T^+x）的x2项系数为C6=15,

x

二x2的系数为1575=30

故选C

D.8

7.某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视

图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为

【答案】B

【解析】由三视图可画出立体图

该立体图平面内只有两个相同的梯形的面

S弟42-2=6

S全梯=62=12

故选B

A.A1000和n=n■1B.A-1000和n=n2

C.

Aw1000和n=n■1

D.

A<1000和n=n2

【答

案】

D

【答

案】

因为要求A大于1000时输出，且框图中在

否”时输出

”中不能输入A1000

排除A、B

又要求n为偶数，且n初始值为0,

C.14

D.

16

n,那么在：农二＞‘和［

■两个空白框中，可8

得到曲线C2

得到曲线C2

得到曲线C2

得到曲线C2

【答案】D

2n

3丿

首先曲线G、C2统一为一三角函数名，可将C1：y=cosx用诱导公式处理.

nn

注意「的系数，在右平移需将，=2提到括号外面，这时XI平移至x

3,

根据“左加右减”原则，“x；”到“x；”需加上

2n

2xsin2x亠

I3丿I3丿

>y

=sin

2

10.已知F为抛物线C:y=4x的交点，过F作两条互相垂直线12

与C交于D,

A.

【答案】

【解析】

16

A

E两点，AB|-|DE的最小值为（）

B.14

C.12

AK2垂直x轴

l

1,I2，直线h与C交于

D.10

A、B两点，直

故选D

”中n依次加2可保证其为偶

(

9.已知曲线G：y=cosx,C2：y=sin2x

普，则下面结论正确的是（）

3

A.把G上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

上个单位长度,

6

B.把Ci上各点的横坐标伸长到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

1；个单位长度,

C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的

1

丄倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

2

疳个单位长度,

D.把Ci上各点的横坐标缩短到原来的

2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

W个单位长度,

{2“

【解析】G：y=cosx,C2：y=sin]2x=

x

22

fn

即y=sinx—

y=cosx=cos=sinx-—

I2丿

1

5上各点横坐标缩短它原来-n

.横坐标变换需将川=1变成川=2,

2=sin2x

n

菽，即再向左平移$

2

AFCOST-GF||AK1（几何关系）

易知AK1!AF（抛物线特性）

P

GP=PI-

「2I2丿

.AFcosvP=AF

P

同理AF二

1—cos8

..和「os=z

1-cosu

，BFJ

2P

sin2

T1

又DE与AB垂直,

n

即DE的倾斜角为一-二

2

DE三—

sin2；+9

2

而y=4x，即P=2.

2P

cos2r

•••ABDE=2P研sin2cos4

°°sin2cos2

T1cosrsin2vcos?二

4

-sin22r

4

AO

-2>16，当r取等号

sin24

即AB|-|DE最小值为16，故选A

11.设x,

y

,z为正数，且2x=3y=5z，则（）

2x<3yc5zB.5zc2x<3y

D

取对数：

A.

【答

案】

【答

案】

3y：：

5z：：2x

D.3yc2xc5z

xln2=yIn3=1

n5.

xln3

yln2

2x3y

xln2=zln5

3

>-

2

则―亜二

zIn22

2x：：:5z3y：：2x::5z，

故选D

12.几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，

数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列

1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16，…，其中第一项是接下来的三项式

和为2的整数幕.

440

为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解

A.

【答

案】

【解

析】

A

设首项为第

26,21,22，依次类推，求满足如下条件的最小整数

那么该款软件的激活码是（

B.330

1组，接下来两项为第2组,

设第n组的项数为n，则n组的项数和为

）

C.220

20，接下来的两项是20，21，在

N:N100且该数列的前N项

D.110

再接下来三项为第3组，以此类推.

n1n

由题，N100，令100Tn>14且n・N*，即N出现在第13组之后

12n

第n组的和为匕兰=2n_1

1-2

n

n组总共的和为_n=2

n一2_n

1—2

若要使前N项和为2的整数幕，贝UN_——项的和2^1应与<「n互为相反数

2

即2k_1=2nkN*,n>14

k=log2n3

Tn=29,k=5

“29xf1+29

则N5=440

2

故选A

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a,b的夹角为60,a=2,b=1，则a+2b=_________________.

【答案】2.3

片彳2专专2^2呻|呵42212

【解析】a+2b|=(a+2b)2=d+2a2bcos60°+(2b)=2+22X2沃？+2=4+4+4=12•••：2^=12=23

x2y_1

14.设x,y满足约束条件£2x+yK—1，则z=3x-2y的最小值为_____________.

x—y_0

【答案】-5

x2y_1

不等式组2x•y一-1表示的平面区域如图所示

x-y_0

由z=3x-2y得y=3x-Z,

22'

求z的最小值，即求直线y二-|的纵截距的最大值当直线丫二彳乂-兰过图中点A时，纵截距最大

22

解得A点坐标为（-1,1），此时z=3（一1）一21=-5

2

-y

2,（a0,b0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲b

线C的一条渐近线交于M,N两点，若NMAN=60。，则C的离心率为.

【答案】U

3

【解析】

16.如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D、E、F为

元O上的点，△DBC,△ECA,△FAB分别是一BC,CA,AB为底边的等腰三角形，沿虚线剪开

后，分别以BC,CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB，使得D,E,F重合，得到三棱

【答案】4J5

J2xy=_1

由x2y=1

2

x

15.已知双曲线C:2

a2

b

—,解得a2=3b2

a

【解析】由题，连接OD，交BC与点G，由题，OD_BC

OG3BC，即OG的长度与BC的长度或成正比

6

1

2

设OG=x，贝VBC=2「3x,DG=5_x

三棱锥的高

h=.DG_OG虫25_10xx_x=*25_10x

SAABC—233x•-=

3、,3x

2

则VABC

3

2.

h=3x25_10x=3.25x4_10x5

4553

fx二25x-10x,x三©?),fx二100x-50x

fx0，即x4-2x3：：：0,X：：：2

fx

则

则V<、3.80

=453

三、解答题：共都必须作

答。第

(一)必考题：共60分。

70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第

22、23题为选考题，考生根据要求作答。

17-21题为必考题，每个试题考生

17.△ABC的内角A,B,C的对边分别为

a

,b,C,已知△ABC的面积为

2a

3sin

A

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=1,a=3，求△ABC的周长.

【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用

a21

(1)•/△ABC面积S=—.且S=—bcsinA

3sinA2

-bcsinA

3sinA2

232

abcsinA

2

3

T由正弦定理得sin2AsinBsinCsin2A

2，

2

由sinA严0得sinBsinC.

3

2

(2)由(1)得sinBsinC=-cosBcosC

3，

•/ABC二n

.cosA=cosn—B-C=—cosBC二sinBsinC-cosBcosC*

A=60,

由余弦定理得

J31

sinA,cosA=一

22

=b2c2—be=9①

由正弦定理得

=—sinB,c=—asinCsinA

'sinA

2

a

…

bC

2.

sinA

由①②得b-e=]33

•••a•b•e=3•

33，即△ABC周长为333

sinBsinC=8②

18.(12

分)

如图，

在四棱锥

/CDP=90

证明：平面PAB_平面PAD;

若PA=PD二AB二DC,/APD=90，求二面角

(1)证明：•••.BAP=/CDP=90

•PA_AB,PD_CD

又•••ABIICD,.PD_AB

又•••PD门PA=P,PD、PA二平面PAD

•AB_平面PAD，又AB二平面PAB

•平面PAB_平面PAD

(2)取AD中点O,BC中点E，连接PO,OE

•/AB二CD

•••四边形ABCD为平行四边形

•OE：AB

由(1)知，

(1)

(2)

【解析】

AB_平面PAD

•OE_平面PAD，又PO、AD平面PAD

•OE_PO,OE_AD

又•••PA二PD,•PO_AD

•PO、OE、AD两两垂直

•••以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

O_xyz

设PA=2,•D-2,0,0、B2,2,0、P0,0,2、。：[一；；2,2,0,

PD--.2,0,-2、PB=[®,2,-2、BC--2.2,0,0

n=x,y,z为平面PBC的法向量

”―(

nPB=02x2y-.2z=0

得

nBC=0-2.2x=0

y=1，则z=、、显,x=0,可得平面PBC的一个法向量

•/.APD=90,•PD_PA又知AB_平面PAD,PD二平面

PAD

•PD_AB，又PA「AB=A

•••PD_平面PAB

即PD是平面PAB的一个法向量，PD=(T/2,0,—心2)

I彳-

PDn__3

PDn2、33

由图知二面角A_PB_C为钝角，所以它的余弦值为__2

3

19.(12分)

为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量

其尺寸(单位：cm)•根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布

N：；=,；「2.

(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在：；：二

「3二，匚之外的零件数，求PX>1及X的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在二，」•士之

外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.

(I)试说明上述监控生产过程方法的合理性：

(II)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04

10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95

_162'1.■■■16-

经计算得Xi=9.97,s瓦(Xi_x)=」一臣Xi

2—16M2*0.212，其中X为抽取的第i个零7¥16y'‘丫

16(二丿

件的尺寸，i=1,2，⑴,16.

用样本平均数X作为"的估计值?,用样本标准差s作为二的估计值■:?,利用估计值判断是否需对当天的生产

过程进行检查，剔除？-3；?,?3?之外的数据，用剩下的数据估计’和匚(精确到

0.01).

附：若随机变量Z服从正态分布N：A,¥,则P：［L「3二：::Z•；：」-=0.9974.

0.997416：0.9592,.0.008：0.09.

【解析】(1)由题可知尺寸落在"-3二，=【3二之内的概率为0.9974，落在-3二,J之外的概

率为0.0026.

0016

PX=0i=c061—0.99740.9974160.9592

PX_1］=1-PX=01-0.9592=0.0408

由题可知X~B16,0.0026

.EX严160.0026=0.0416

(2)(i)尺寸落在卩-3二,."3二之外的概率为0.0026,

由正态分布知尺寸落在［丄-3二，二之外为小概率事件，

因此上述监控生产过程的方法合理.

(ii)

.二「3；丁=9.97-30.212=9.334

J3；「-9.9730.212=10.606

:；：二一3二-9.334,10.606

cosPD,n

：‘9.22「-9.334,10.606,需对当天的生产过程检查.

因此剔除9.22

剔除数据之后：

宀15叫10.02.

222222=[9.95_10.02|-,10.12_10.02|-(9.96-10.029.96_10.02|-,10.0^10.02

222229.92—10.029.98-10.02-10.04—10.0210.26-10.029.91-10.02

222221

10.13—10.02]亠|10.02—10.02j亠110.04—10.02j亠门0.05—10.02j「9.95—10.02]

15

:：0.008

二=0.0080.09

20.(12分)

22(

已知椭圆C:冷+占=1(a>b>0)，四点P(1,1),B(0,1),R—1

—

,P£0

中恰有三

a2b2(2丿I2丿

点在椭圆C上.

(1)求C的方程；

(2)设直线l不经过巳点且与C相交于A、B两点，若直线&A与直线F2B的斜率的和为-1，证明:1过定点.

【解析】(1)根据椭圆对称性，必过F3、P4

又P4横坐标为1,椭圆必不过P1，所以过P2,P3,P4三点

冷代入椭圆方程得

将P>0,1,R-1

1

b^=1

彳3，解得

――1

2.21Lab

a2=4,b2=1

2

x2

4+y

(2)①当斜率不存在时，设

kPAkPB二心=

「•椭圆C的方程为:

l：x=m,Am,yA,Bm,-泊

-2

122mmm

得m=2，此时I过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足.

②当斜率存在时，设

Ax,y,BX2,y2

y=kxb

联立22

lx4y-4=0

-8kb

xx,为

I：y=kxbb=1

，整理得14k2x28kbx4b2-4=0

X2

则kp2Akp2B

%T.上

4b2-4

2

14k

—1x2kxb：—x2x!kx2b]—人

x?NX?

8kb2-8k_8kb28kb

2

1+4k

4b2—4

14k2

=b--2k-1，此时厶--64k，存在k使得=;-0成立.

•••直线l的方程为y二kx-2k—1所以I过定点2，一1.

21.(12分)

已知函数fx=ae2xa一2ex-x.

(1)讨论fx的单调性；

(2)若fx有两个零点，求a的取值范围.

【解析】(1)由于fx=ae2x亠［a-2ex-x

故fx=2ae2xa-2ex-1二aex-12ex1

①当a冬0时，aex_1：：：0,2ex10.从而fx:::0恒成立.fx在R上单调递减

②当a0时，令fx=0，从而aex一1=0，得x=-Ina.

x

(—,—Ina)

-Ina

(—Ina,)

f'(x)—0+

f(x)单调减

极小值

单调增

综上，当a岂0时，f(x)在R上单调递减；

当a0时，f(x)在(-：：，-1na)上单调递减，在(-1na,；)上单调递增

(2)由(1)知，

当a岂0时，fx在R上单调减，故fx在R上至多一个零点，不满足条件.

1

当a0时，fmin=f—Ina=1Ina.

a

+1

令ga=1Ina.

a

111

令ga=1Inaa0，则g'a20.从而ga在0,•二上单调增，而

aaa

g1=0.故当0:a.1时，ga：：：0.当a=1时ga=0.当a1时ga0

1工

若a1，则fmin=1-•Ina=ga0，故fx0恒成立，从而fx无零点，不满足条件.

a

1

若a=1，贝yfmin=1Ina=0，故fx=0仅有一个实根x=-Ina=0，不满足条件.

a

1aa2

若0：：a：：：1，则fmin-1Ina<0，注意到Tna0.f^=-10.

aeee

『3)1

故fx在-1,-1na上有一个实根，而又In--1In；=Tna.

8kb-1

1b—1

又b=1

fin（a-

i）

个实根.

-Ina,In!3-1上有

IVa丿丿

又fX在na上单调减，在—Ina,•::单调增，故fx在R上至多两个实根.

C(3H

又fx在：；-1，-Ina及|Ina，出一1丿J上均至少有一个实数根，故fX在R上恰有两个实

根.

综上，0:：:a<1.

(二)选考题：共10分。请考生在第22、

22.［选修4-4：坐标系与参考方程］

23题中任选一题作答。如果多做,

则按所做的第一题计

分。

x=3cosr,

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(v为参数)

』=sin日,

，直线I的参数方程为

4-x=a4t,

(t为参数).

y=1-t,

(1)若a=—1，求C与I的交点坐标；

(2)若C上的点到I距离的最大值为,17，求a.

【解析】(1)a=_1时，直线I的方程为x，4y-3“.

2

曲线C的标准方程是—y2=1,

9

x亠4y-3=0

联立方程x

2

2，解得:

6y「

x=3

y=0

21

x=

或丿2f，

y』

25

(

则C与I交点坐标是3,0和—，V2525丿

(2)直线I一般式方程是x•4y-4「a=0.

设曲线C上点p3cosv,sinv.

2124

则P到I距离丄论卄響一4^」5sin(日二)-4"|，其中ta^.3.

V17J174

依题意得：

dmax二17，解得a=T6或a=8

23.［选修4-5：不等式选讲］已知函数f_-x2ax4,gx=x1x-1.

(1)当a=1时，求不等式fx>gx的解集；

(2)若不等式fx>gx的解集包含〔-1,11,求a的取值范围.

【解

析】

2

(1)当a=1时，fX=_xx4，是开口向下，对称轴

1

x的二次函数.

2

2x,x1gx=x1_1=2,-

1

-2x,x：_1

当X.(1,；)时，令_x2x^2x，解得

17-

1

x=

gx在1,•：：上单调递增，fx在1,•：：上单调递减

(J171

•••此时f(x尸g(x)解集为1,*.

当x：=[1,1]时，gX=2,fx>f-1=2.

当x・_：：,_1时，gx单调递减，fx单调递增，且g_1]=f_1[=2.

17_1

综上所述，f(X戶g(X懈集1/，出尸.

L■

(2)依题意得：_x2•ax4>2在丨-1,11恒成立.

即x2-ax-2<0在[-1,11恒成立.

]12-a1-2<0

则只须2，解出：-1三a<1.

«_1)一a(—1)—2<0

故a取值范围是〔-1,11.