投资模型
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2023年3月16日发(作者：引鳄)组合投资选择模型
金融微瞧分析面临着许多的不确定性，关于不确定性通常有三种研究方法：
1、效用分析法；2、均值分析法；3、无套利分析法。
第一节组合投资选择模型
一、证券组合的收益与风险组合投资理论全然假设：
（1）投资收益率的概率分布
（2）风险用方差或标准差度量
（3）碍事投资结果的因素仅有均值、方差
（4）投资者为不满足和风险厌恶型
二、组合的收益和风险(多(N)种资产)
投资组合：将全部投进资金按某种比例分散投资于两种或两种以上证券而构成的
一个组合。记：p=(x1,…,xN)T，设第I种证券的收益为ri，其中Xi为投
资于I证券的资金比例，那么
1
1
N
i
t
X
。
ri的标准差为
，ri与rj的协方差为
ij，相关系数为
ij
投资组合:
收益率：
1
N
Pii
t
rXr
期瞧收益率：
1
()
N
Pii
t
ErXEr
方差：2
1111
var
NNNN
T
PPijijijijij
ijij
rXXXXPP
标准差：1
2varT
pP
rPP为
1n
rr的协方差矩阵
第二节二次效用函数与投资证券收益率
关于二次效用函数与投资证券收益率服从正态分布的讨论。
设投资者的期初财宝为w
0
，个体通过投资各种金融资产来最大化它的期末
财宝、w
~
带来的期瞧效用。
设个体的N—M效用函数为u
0
,对u在E〔w〕作Taylor展开，
)
~
(wU
=U(E(w))+
)
~
(wU
(
w
~
－E(w))+
!2
))((''WEU
(
w
~
－E(w))2+R
3
其中R
3
=
3
~
)())()(((
!
1
n
nnWEwwEu
n
在假设U有特别光滑的条件之下，可得E(
)
~
(wU
)=U(E(
w
~
))
〔光滑的含义：存在N阶导、展开的级数收敛、积分与求导可交换〕
E(
)
~
(wU
)=U(E(
w
~
))+
2
1
U''(E(
w
~
))2〔
w
~
〕+E(R
3
)————〔1〕
其中E(R
3
)=
3
~~
)()()((
!
1
n
nnwmwEu
n
)—————————〔2〕
其中mn表示
w
~
的n阶中心矩
定理Ⅰ：1，要是)
~
(wU是二次函数那么，)
~
(wU=a+bw
~
+cw
~2，
2，对任意N—M效用函数U，要是期末的财宝服从正态分布，那么期
瞧效用仅是财宝的期瞧与方差的函数。
E()
~
(wU)
证实：要是1成立,那么期瞧效用
E(
)
~
(wU
)=a+bE(w
~
)+cE(w
~2)=a+bE(w
~
)+c[2〔w
~
〕+E2(w
~
)]
要是2成立，那么当期末财宝服从正态分布时，那么
E(
w
~
－E(w))j=①0j为奇数
②
)!(
!
2
j
j
×
22
1
J〔2〔
w
~
〕〕5.0j为偶数
可见定理成立
期瞧效用最大化在定理1的假设下，回结为选择均值与标准差的最优组合来实
现。
下面来证实在均值、标准差平面上，无差异曲曲折折曲曲折折折折线是凸的单调
递增的。
为此，由收益率的定义r
1
=
0
01
w
ww(1期收益率)
知：
1
w~N(2,
)r
1
~N(
2
~~
,
)
因此，资产〔财宝〕的收益率服从均值为,
r，标准差为
的正态分布。
定理Ⅱ：当资产收益率r~N(2,r
)时，那么无差异曲曲折折曲曲折折折折线是
向下凸的，风险厌恶者的期瞧收益与风险之间的边际替代率是正的。
证实：略
第三节关于组合投资的有效边界的讨论及性质
定义：要是一个证券组合在所有的均值收益率的证券组合中是具有最小的方差
值，那幺那个组合确实是根基有效的证券组合。
Markowitz模型：MinTVXX
s.tT
x
eXr
构造Lagrange函数：1
,,1
2
TTT
x
LXVXeXrXX1
解得：111TTeVV111
令A=1
TeV1，B=1
TV11，C=1TeeV，D=1TeV1。2DBCA
继而得到：
x
Xfhr
〔﹡〕
最小方差集合性质
性质一f,f+h是0，1均值的两个投资组合。
在﹡式中，取E〔R
x
〕=0→X
p
=f,取E〔R
x
〕=1→X
p
=f+h
性质二前沿面上的所有证券根基上f和f+h的组合。
证实：做f和f+h的组合q
（1—E(r
q
)〕*f+E(r
q
)*〔f+h〕=f+h*E(r
q
)=X
q
性质三2
1
cov(,)
xmvp
mvpc
rr
证实：讨论证券x与q的协方差
Cov(r
x
,r
q
)=E(r
x
-E(r
x
))(r
q
-E(r
q
))
=
D
C
(E(r
x
)-
C
A
)(E(r
q
)-
C
A
)+
C
1
特别的当x=q,有：σ2
X
=
C
1
+
D
C
(E(rx)-
C
A
)2〔抛物线〕
C
X
1
2
—
C
D
)
C
A
-(E(rx)2
=1〔双曲曲折折曲曲折折折折线〕
E(r
x
)
C
1
σ2
X
当E(r
x
)=
C
A
时，那么有一全局最小方差的投资组合
性质四有效证券组合是一个凸集。
证实：假设证券组合X
1
,X
2
,……,X
N
是n个有效的证券组合
)(
~
i
wE
C
A
因此对任意实数a
i
0,i
a=1
由性质2,i
aiw
~
是一个证券组合
且，i
aiw
~
i
a
C
A
=
C
A
因此它是有效的。
性质五关于除mvp外，任一个有效证券组合X，必有唯一一个最小方差集合上
的证券组合ZC(X)，使得cov,0
x
zcxr。
推论一ZC(ZC(X))=X。
推论二对所有的证券组合X，1
cov,0
xmvpc
rr。
推论三，要是X是有效组合，那么E(rZC(x)>
C
A
,否那么ZC(X)是无效的证券
组合。
E(r)
C
1
σ2
证实：考察两个有效的证券组合的协方差
Cov(r
p
,rZC(p))=XT
p
VXZC(p)
=
D
C
(E(r
P
)-
C
A
)(E(rZC(p))-
C
A
)+
C
1
令Cov(r
p
,rZC(p))=0解得：E(rZC(p)=
C
A
—
C
A
p__rE
C
D
性质六任意证券Y的收益率均值，均可表示为任一个最小方差集合上证券组合
X(除mvp外)，与其对应的ZC(X)的收益率均值的组合：
()
1
yzcxx
yxyx
rrr
。
投资组合落低风险特例讲明：2
i
平均值为2
0
，
ij
平均值为
..
()ij，取
1
i
X
N
单个证券的风险〔方差〕
..
称为不可化解风险或市场风险或系统风险。2
..i
称
为可化解风险或特有风险或非系统风险。
证实性质六。
设q是任意证券组合，p是有效的证券组合〔p+mvp〕
那么Cov(rq,rp)=XqVXp=XqV(V1e+V11)
=Xqe+Xq1
=Erp+
将、带进，整理得到
Erq=ACErp
BAErp
+Cov(rq,rp)
ACErp
D
=
C
A
*
C
A
p__rE
C
D
2
+
2
p
qp
[
C
1
+
C
D
)
C
A
-(E(rp)2
]*
ACErp
D
=ErZC(p)+pq(Erp—
C
A
+
C
A
p__rE
C
D
2
)
=ErZC(p)+pq(Erp—ErZC(p))
=〔1—pq〕ErZC(p)+pqErp
第四节、组合投资理论
存在n个风险资产，构造投资组合Xp=(x
1
,…,x
N
),使得满足：
MinTVXX
e=Erp
现在，对任意一个证券组合q，有
Erq=〔1—qp〕*Erp+qp*Erzc(p)
下面讨论当存在无风险资产时的证券组合的有效集合。
设有n+1个证券，n个风险资产，一个无风险资产，且无风险资产的收益率
记为r
f
，设P是由n+1个证券组成的证券组合，且是有效的，它在有效集合上。
Xp确实是根基由n个风险证券构成的证券组合的权重，那么Xp是下述咨询题
的解。
由largange乘数法，可知Xp满足关系式
由〔1〕Xp=)1(1
f
reV
=)1()1(
)1(
1
f
T
f
T
f
reVre
Xpre
由此可解出
Xp=)1()1(
)(
1
f
T
f
f
reVre
rErp
V1)1(
f
re
=H
rErp
f
)(V1)1(
f
re
其中H=)1()1(
1
f
T
f
reVre
=B—2Ar
f
+Cr
f
2>0
考虑组合P的方差
2
P
=2〔rp〕=XpVXpT=
H
rErp
f
2)(
p
=
rfErp
H
rfErp...........
-
rfErp
H
rfErp...........
情形1：rf<
C
A
,有效集合L
E(r)
买进
rf
C
1
σ
情形2：rf>
C
A
,有效集合L/
E(r)
rf
卖空点
C
1
L/σ
情形3：rf=
C
A
，有效集合为L、L/(渐近线，不相切)
E(r)
L
rf
C
1
L/σ
考虑证券组合，使其满足Max2
p
rfErp
s.t:X1=1
Max
2
1
TXp)V(Xp
rfErp
能够求出其一阶条件：)1(
f
re
=VXp(*)
能够推得：Xp=
)1(1
)1(1
1
1f
reV
reV
f
T
将(*)写成重量式：
Er–rf=(x1
1i+x2
2i+……+xn
ni)
=Cov(rp,ri)
由于=
XpVXp
)1(
T
f
TreXp
=2
e
rfErp
Eri=rf+2
e
rfErp
Cov(re,ri)
上式即为CAPM
还能够写成Er=rf+(Ere—rf)