行列式性质
跳山羊-煤电一体化
2023年3月16日发(作者：3d虚拟试衣)1
行列式
一、二阶行列式概念：形如1112
2122
aa
aa
的式子称为二阶行列式；数学规定1112
11221221
2122
aa
aaaa
aa
；
二、三阶行列式：形如
111213
212223
313233
aaa
aaa
aaa
的式子称为三阶行列式。
规定
111213
212223
313233
aaa
aaa
aaa
332
aaaaaaaaaaaaaaaaaa
111213
212223
313233
aaa
aaa
aaa
22332231
()()()aaaaaaaaaaaaaaa
222323212122
111213
323333313132
aaaaaa
aaa
aaaaaa
222321232122
111213
323331333132
aaaaaa
aaa
aaaaaa
3
aAaAaA
三、n阶行列式的定义
定义：n阶行列式
11121
21222
12
n
n
nnnn
aaa
aaa
D
aaa
等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积
12
12
n
ppnp
aaa的代数和，其中p
1p2…pn是1，2，…，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数
决定。
11121
12
222
11221122
0
1
00
n
tn
n
nnnn
nn
aaa
aa
Daaaaaa
a
也可简记为det
ij
a，其中
ij
a为行
列式D的（i，j元）。
根据定义，有
12
12
12
11121
21222
12
12
1n
n
n
n
tppp
n
ppnp
ppp
nnnn
aaa
aaa
Daaa
aaa
代数余子式和余子式的关系：(1)(1)ijij
ijijijij
MAAM
四、行列式按行（列）展开
2
余子式在
n
阶行列式中，把元素
ij
a所在的第i行和第j列划去后，留下来的1n阶行列式叫做
元素
ij
a的余子式，记作
ij
M。
代数余子式1ij
ijij
AM记，叫做元素
ij
a的代数余子式。
确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位
置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置(即第
i
行，
第
j
列)有关，其代数余子式的正负号是“
(1)ij
”．
引理一个
n
阶行列式，如果其中第i行所有元素除（i，j）
(,)ij
元外
ij
a都为零，那么这行列式等
于
ij
a与它的代数余子式的乘积，即
ijij
DaA。
定理
n
阶行列式
11121
21222
12
n
n
nnnn
aaa
aaa
D
aaa
等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式
的乘积之和，即
1122iiiiinin
DaAaAaA，
(1,2,,)in
1122jjjjnjnj
DaAaAaA或，
(1,2,,)jn
。
五、行列式的性质
定义行列互换，行列式不变．即
nn
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
n2n1
n22212
n12111
nnn2n1
2n2221
1n1211
.
记
11121
21222
12
n
n
nnnn
aaa
aaa
D
aaa
，
11211
12222
12
n
n
T
nnnn
aaa
aaa
D
aaa
，行列式TD称为行列式D的转置行列式。
性质1行列式与它的转置行列式相等。TD
＝
D
性质2行列式的两行对换，其值变号。即
3
nnnn
knkk
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
=-nnnn
inii
knkk
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
.
性质3一个数乘行列式的一行（或列），等于用这个数乘此行列式．即
nnn2n1
ini2i1
n11211
kkk
aaa
aaa
aaa
k
nn
aaa
aaa
aaa
n2n1
ini2i1
n11211
.
性质4行列式中的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到D的外面;
性质5行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零．即
0
0000
nn1-nn,n2n1
n11-n,11211
aaaa
aaaa
.
性质6如果行列式中有两行（或列）对应元素相同或成比例，那么行列式为零．即
k
aaa
kakaka
aaa
aaa
nnnn
inii
inii
n
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
=0.
性质7若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式的和。
1112111
2122222
12
()
()
()
iin
iin
nnnininn
aaaaa
aaaaa
D
aaaaa
1
2
1212
inin
inin
nnninnnnninn
aaaaaaaa
aaaaaaaa
aaaaaaaa
性质8把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行
4
列式的值不变。
nnnn
knkk
kninkiki
n
aaa
aaa
caacaacaa
aaa
21
21
2211
11211
nnnn
knkk
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
21
21
21
11211
.
性质9行列式中按任一行展开，其值相等，按任一列展开也一样。
六、几个特殊的行列式：
①主对角行列式：主对角元素的乘积；
②副对角行列式：副对角元素的乘积
(1)
2(1)
nn
；
③上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积；
形如
nn
n
n
n
a
aa
aaa
aaaa
333
22322
1131211
，
nnnnn
aaaa
aaa
aa
a
321
333231
2221
11
这样的行列式，形状像个三角形，故称为
“三角形”行列式．
推论1：上，下三角行列式的值均等于其主对角线上各元素的乘积。
即
11121
12
222
11221122
0
1
00
n
tn
n
nnnn
nn
aaa
aa
Daaaaaa
a
推论2：主对角行列式的值等于其对角线上各元的乘积，副对角行列式的值等于
1
21
nn
乘以其
副对角线上各元的乘积。
即
1
2
12n
n
，
1
1
2
2
12
1
nn
n
n
七、行列式的计算：
利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形.该方法适用于低阶行列式．
5
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
nn
n
n
n
aaa
a
aa
aaa
aaaa
2211
nn
333
22322
1131211
000
00
0
，
nn
nnnnn
aaa
aaaa
aaa
aa
a
2211
321
333231
2221
11
0
00
000
.