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斜截式
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2023年3月16日发(作者：儿童宇宙)希望对大家有所帮助，多谢您的浏览！
1/7
21直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用
定点问题是解析几何研究的重要问题之一，是动中有静的辩证思想在数学中的重要体
现，也是高考数学科解析几何命题的重要内容之一，也无疑是高中数学教学的难点所在.为
此，寻求对此类问题有效的解法势在必然.诚然,解决此类具体问题的解法多样灵活,但在的
教学实践中，多样的解法时常带给学生的困惑是如何作出切实可行的选择?笔者认为,直线的
斜截式方程“y=kx+b”能有效地解决这一类问题，达到多题一解之目的.以下例析，供参考.
原理分析：利用“y=kx+b”研究定点问题的关键在于k,b线性关系的寻求,通常将b
表示成k的线性关系即可，如b=pk+q（其中p，q为常数），由此可得直线y=kx+b必过定点
（-p，q）.
例1：已知C(x0,y0)为抛物线y2=2px(p>0)上的一个定点,A(x1,y1)、B(x2,y2)为其
上的的任意两点,CA⊥CB.
求证:直线AB过定点(2p+x0,-y0).
证明：（1）当AB⊥x轴时，A(2p+x0,22
0
4py)，B(2p+x0,-22
0
4py)，
此时，CA=(2p,22
0
4py-y0)，CB=(2p,-22
0
4py-y0)，
CACB=2222
00
440pypy,所以，CA⊥CB.反之亦然；
（2）当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=kx+b(k≠0)，则
2
,
2.
ykxb
ypx
消去y，得222(22)0kxkbpxb,
消去x，得2220kypypb，
在直线y=kx+b与抛物线相交的前提下，则
12
2
22kbp
xx
k
，
2
12
2
b
xx
k
，
12
2p
yy
k
，
12
2pb
yy
k
，
由
1010
(,)CAxxyy，
2020
(,)CBxxyy，
CACB=
10201020
()()()()xxxxyyyy
=22
12
()()xxxxxxyyyyyy
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2/7
=
2
22
0000
22
2222bkbppbp
xxyy
kkkk
=0，
化简并整理，得22222
00000
22220bkbxpxkxpbkpkyky，……①
以b为主元整理，得22222
00000
(22)22bkxpkbkxpxpkyky，
配方，得2222222222
0000000
[()]222bkxpkkxpxpkykykxpkpkx，
又因为2
00
2ypx，
所以，22222
0000
[()]2()bkxpkypkypkypk，……②
则
00
()()bkxpkypk，
当
00
()bkxpkypk时，
00
bkxy，此时
00
()yykxx，不合题意；
当
00
()()bkxpkypk时，
00
2bkxypk，
此时
0000
(2)(2)ykxkxypkkxxpy，即
00
[(2)]yykxxp，所以直线AB过点(2p+x0,-y0).
综上，直线AB过定点(2p+x0,-y0).
解题感悟：客观的讲，进行至②式，对k,b关系的揭示有些看不清，没有好的思路，
一时不知如何因式分解？想到了主元思想，先以k为主元尝试，感觉复杂就放弃了，再以b
为主元进行尝试，结果较顺利，取得了成功！因此，在复杂多变量的多项式面前，要突出以
某个变量为主线的主元思想，往往能使分解变形顺利实现，突破解题瓶颈.
例2：设椭圆
22
22
1(0)
xy
ab
ab
的右顶点为(0)Qa，，A(x1,y1)、B(x2,y2)为其上
的任意两点,且QA⊥QB.
求证:直线AB过定点.
证明：（1）当AB⊥x轴时，由
222222
,
.
yxa
bxayab
消去y，得222322()20abxaxac,
显然
22
1
22
ac
ax
ab
,解得
2
1
22
ac
x
ab
,故AB过点
2
22
,0
ac
ab
.
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3/7
（2）当AB与x轴不垂直时，设AB的方程为y=kx+m(k≠0)，则
222222
,
.
ykxb
bxayab
消去y，得222222222()20bakxkmaxamab,
消去x，得2222222222()20bakymbymbabk，
在直线y=kx+m与抛物线相交的前提下，则
2
12
222
2kma
xx
bak
，
2222
12
222
amab
xx
bak
，
2
12
222
2mb
yy
bak
，
22222
12
222
mbabk
yy
bak
，
由
11
(,)QAxay，
22
(,)QBxay，
QAQB=2
1212121212
()()()xaxayyxxaxxayy
=
2222222222
2
222222222
2
0
amabkmambabk
aa
bakbakbak
.
化简并整理，得222322242()20abmkamabkak，即
2223222()20abmkamack，
262222222444()4kaabackkab，
解得
32
22
22
2()
kakab
m
ab
，即
32
22
kakab
mka
ab
，或
32
22
kakab
m
ab
，
当mka，y=kx+m=y=(kx-a),不合题意；
当
32
22
kakab
m
ab
时，
3232
2222
kakabaab
ykxmkxkx
abab
=
2
22
ac
kx
ab
，
即直线AB的方程为
2
22
ac
ykx
ab
，所以直线AB经过定点
2
22
,0
ac
ab
.
综上,直线AB恒过定点
2
22
,0
ac
ab
.
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4/7
解题感悟：对于方程2223222()20abmkamack根的求解，没有一味的拘泥于
十字相乘法,而是选择先求判别式,在用求根公式求解,收到了很好的效果.由此可见,平时教
学中一味强调十字相乘法的重要性不能过于绝对,数学解题方法的优劣之分往往取决于它的
应用时机是否合适.
例3：已知椭圆C:
2
21
2
x
y的右焦点为F，M,N为椭圆C上的两个动点，且MN⊥x
轴，直线MF与椭圆的另一个交点为Q.
求证：直线NQ恒过x轴上一定点.
证明:∵F(1,0)，设
11
,Mxy,
11
,Nxy,
22
,Qxy,NQ：ykxb,
由2
21
2
ykxb
x
y
，消去y，得
222124220kxkbxb，
∴
12
2
4
12
kb
xx
k
……①,
2
12
2
22
12
b
xx
k
……②,
由M，F，Q三点共线，得12
12
11
yy
xx
，两边平方，得
22
12
22
12
(1)(1)
yy
xx
，即
2222
1221
(1)(1)yxyx，
将22
11
2yx，22
22
2yx代入上式并化简，得
1212
3()42xxxx，
再将①,②代入，得
2
22
422
342
1212
kbb
kk
，
整理，得22230kkbb，即(2)()0kbkb，解得bk或2bk，
当bk时，(1)ykxbkx，不合题意；
当2bk时，(2)ykxbkx，故直线NQ过x轴上的定点(2,0).
解题感悟：对于三点共线所得关系“12
12
11
yy
xx
”的平方转化是利用椭圆方程等价
转化的关键，进而消元得到关于“
12
xx”与“
12
xx”的关系后整体突破.
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5/7
G
-3
l
D
E
B
A
O
y
x
例4:【2011山东文】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆
2
2:1
3
x
Cy.如图所示，
斜率为(0)kk＞且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE
交椭圆C于点G，交直线3x于点(3,)Dm.
（Ⅰ）求22mk的最小值；
（Ⅱ）若
2OGOD∙OE.
（i）求证：直线l过定点；
（ii）试问点B，G能否关于
x
轴对称？若能，求出此时ABG的外接圆方程；若不
能，请说明理由.
【解析】（Ⅰ）(略)；
（Ⅱ）（i）由题意:设直线:(0)lykxnn,
由2
21
3
ykxn
x
y
消y得:222(13)6330kxknxn,
设A
11
(,)xy、B
22
(,)xy,AB的中点E
00
(,)xy,则由韦达定理,得
12
xx=
2
6
13
kn
k
,即
0
2
3
13
kn
x
k
,
00
2
3
13
kn
ykxnkn
k
213
n
k
,
所以中点E的坐标为E
2
3
(,
13
kn
k
2
)
13
n
k
,
因为O、E、D三点在同一直线上，所以
OEOD
kK，即
1
33
m
k
，解得
1
m
k
，
由
2OGOD∙OE，得
2
0
2
9
3
13G
kn
xx
k
，2
0
2213(13)G
mnn
ymy
kkk
，
将,
GG
xy代入
2
21
3
x
y化简并整理，得
2
2
3
1
13
13
knn
k
kk
，即32330kknkn，2()(31)0knk，
所以，k=n,
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6/7
故直线l的方程为y=kx+k,即有y=k(x+1),令1x得,y=0,与实数k无关,所以直线l
过定点(-1,0).
（ii）(略).
解题感悟：对于条件“
2OGOD∙OE”的应用要通过“化曲为直”来实现对,
GG
xy
的求解，进而利用其在椭圆上的关系求解.
例5:【2007年全国卷】已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在
x
轴上，椭圆C上的
点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线:lykxm与椭圆C相交于A，B两点（AB，不是左右顶点），且以AB
为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．
解：（Ⅰ）由题意设椭圆的标准方程为
22
22
1(0)
xy
ab
ab
3,1acac，22,1,3acb
22
1.
43
xy
（Ⅱ）设
1122
(,),(,)AxyBxy，由22
1
43
ykxm
xy
得
222(34)84(3)0kxmkxm，
22226416(34)(3)0mkkm，22340km.
2
1212
22
84(3)
,.
3434
mkm
xxxx
kk
22
22
12121212
2
3(4)
()()().
34
mk
yykxmkxmkxxmkxxm
k
以AB为直径的圆过椭圆的右顶点(2,0),D
1
ADBD
kk，
12
12
1
22
yy
xx
，
121212
2()40yyxxxx，
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7/7
222
222
3(4)4(3)16
40
343434
mkmmk
kkk
，
2271640mmkk，解得
12
2
2,
7
k
mkm，且满足22340km.
当2mk时，:(2)lykx，直线过定点(2,0),与已知矛盾；
当
2
7
k
m时，
2
:()
7
lykx，直线过定点
2
(,0).
7
综上可知，直线l过定点，定点坐标为
2
(,0).
7
由此可见，直线的斜截式方程“y=kx+b”在研究直线过定点的问题中有着十分重要的作
用，恰当应用能切实有效地解决这类问题.当然，在具体应用中要根据不同的问题，切实有
效的把握主元思想、化曲为直、平方转化、公式转化及整体转化等数学思想方法，有针对性
地解决解题过程中的难点，实现彻底有效的解题.
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）