求偏导数公式
电源并联-传化物流
2023年3月16日发(作者：故烧高烛照红妆)课时教案
授课
章节
及题
目
偏导数与全微分（1）
授课
时间
周二第3、4节课次1学时2
教学
目标
与要
求
1、了解二元函数偏导数的定义
2、掌握求二元函数偏导数的方法
教学
重点
与难
点
教学重点：二元函数偏导数的求法
教学难点：二元函数偏导数的定义
教学
用具
无
教学过程
环
节、
时间
授课内容
教学
方法
课程
导入
（5
分
钟）
复习一元函数的导数定义、导数与连续的关系
讲
解、
提问
新课一、二元函数偏导数的定义讲解
讲解
（35
分
钟）
新课
讲解
（35
分
钟）
新课
讲解
（35
分
钟）
定义1：设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某个邻域内有定义，当y固
定在y0，而x0有增量
时，相应的函数有增量（此时称为二元函数z=f(x,y)对x的偏增量，记
为
），即
，若极限
存在，则称此极限值为函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于x0的偏导
数，记作
。同样可以定义z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处关于y0的导数值。
如果z=f(x,y)在某个邻域内对每一个点x都存在偏导数，则这两个偏导
数本身也是关于x，y的二元函数，所以称它们为偏导函数，简称为偏
导数。记为zx/,
二、偏导数的求法
从偏导数的定义可以知道，求z对x的偏导数的时候可以把变量y认为
是常数，从而可以利用一元函数求导法则和求导公式进行求导；同样，
在z对y求偏导数的时候可以把x认为是常数进行求导。
三、例题讲解：
1.求函数z=x3-2xy+5y2在点（1，2）处的偏导数
分析：此题有多种解法，我们首先可以把z对x、y的偏导数算出来，
然后再代值；或：对x求偏导时把y的值代入然后再对x求导，同样的
方法可以求出y的偏导数。（在黑板上详细写出本题的解题过程）
2.
讲解
讲
解、
启发
分析：本题和上题是类似的题型，可以上学生自我考虑然后回答本问
题。
3.
分析：在本题中，实际上考查的是偏导数函数的算法。在本题中，一定
要注意对x,y求偏导时我们可以寻找不同的函数类型，从而可以利用一
元函数的求导法则来求相应的偏导数。（书写详细的解题过程）
4.
分析：本题实质和上题是类似的，实际上在求偏导数的时候我们可以把
相应的某个变量看成是常数就可以了，然后利用一元函数的求导法则即
可。（书写详细的解题过程）
5.
分析：本题是一个三元函数的偏导数问题，在此题中我们的解题思路和
上面是一样的，例如在求对x的偏导数时候，我们可以把y，z看成是
常量，从而可以利用一元函数的求导法则来相应的三元函数的偏导数问
题。
分析：本题和以上各题不一样之处在于f(x,y)是二元分段函数求在原点
处的偏导数，此种题型的一般方法是利用定义来求，所以，在本题的讲
解中要贯彻二元函数的导数的定义，所以要求学生务必对二元函数在某
点的导数定义要比较熟悉。（在黑板上书写详细的解题过程）
四、高阶导数
二元函数z=f(x,y)的两个偏导数
一般仍然是x，y的二元函数，若这两个函数对x，y的偏导数仍然存
在，则称为这些偏导数为z=f(x,y)的二阶偏导数，按照对变量求导次序
不同，二阶偏导数有如下几种形式：
在上述公式中要注意
是先对x求偏导数然后再对y求偏导数，而
是先对y求偏导数然后再对x求偏导数。它们正好相反，它们包
环
节、
时间
授课内容
教学
方法
新课
讲解
（35
分
钟）
含着对不同自变量的偏导数，所以称这两者是二阶混合偏导数。类似的
我们可以定义更高阶的偏导数，二阶及二阶以上的偏导数我们称为是高
阶偏导数。
五、例题讲解：
1.求函数z=x3+3x3y+y4+5的二阶偏导数
分析：在前面所介绍的一阶偏导数的基础之上，我们可以很容易的求出
此题的二阶偏导数
2.求z=sin2(ax+by)的二阶偏导数
分析：此题和上述题型类似，此时和学生互动求解该题，并书写详细的
解题过程
3.
分析：本题虽为证明题，其实质上还是关于二元函数高阶偏导数的计算
讲
解、
启
发、
引导
问题，由于涉及的计算量比较大，所以提醒学生一定要注意计算的准确
性，同时，在本题中，计算对x，y的偏导数的时候我们可以发现两个
二阶混合偏导数是相同的，在此可以向学生解释为什么会出现这个情
况，就是因为二元函数z=f(x,y)的两个二阶混合偏导数如果连续的话，
则这两个混合偏导数肯定相等（在此只要向学生简单介绍一下此定理就
可以了，同时提醒学生在以后的一般情况下，这两个值应该是相等的）
六、学生课堂训练:
具体题目见P1401(3)(5)3(1)(2)
课后
小结
课后
作业
（5
分
钟）
本次课主要讲解了二元函数的一阶偏导数和二阶偏导数，其中最重要的是这
两个偏导数的计算
作业：P1401(2)、（4）、(6)（7）3(3)、(4)
教学
反思
板书设计
课程导入：
复习一元函数的导
数定义、导数与连
续的关系
新课讲解
一、二元函数偏导
数的定义
二、偏导数的求法
三、例题讲解：
四、高阶导数
五、例题讲解：
六、学生训练
课后小结及课后作业