兔子数列规律

兔子数列规律

学生会部门介绍-蟹饲料

关的数学问题

1.排列组合

有一段楼梯有10级台阶，规定每一步只能跨一级或两级,要登上第10

级台阶有几种不同的走法?

这就是一个斐波那契数列：登上第一级台阶有一种登法；登上两级台

阶，有两种登法；登上三级台阶，有三种登法；登上四级台阶，有五种登

法„„

1，2，3，5，8，13„„所以，登上十级，有89种走法。

类似的，一枚均匀的硬币掷10次，问不连续出现正面的可能情形有多

少种？

答案是(1/√5)*{[(1+√5)/2]^（10+2）-[(1-√5)/2]^（10+2）}=144

种。

2.数列中相邻两项的前项比后项的极限

当n趋于无穷大时，F(n)/F(n+1)的极限是多少？

这个可由它的通项公式直接得到，极限是(-1+√5)/2，这个就是黄金

分割的数值，也是代表大自然的和谐的一个数字。

3.求递推数列a(1)=1，a(n+1)=1+1/a(n)的通项公式

由数学归纳法可以得到：a(n)=F(n+1)/F(n)，将斐波那契数列的通项

式代入，化简就得结果。

3.兔子繁殖问题（关于斐波那契数列的别名）

斐波那契数列又因数学家列昂纳多·斐波那契以兔子繁殖为例子而引

入，故又称为“兔子数列”。

一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能

生出一对小兔子来。如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少对兔

子？

我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下：

第一个月小兔子没有繁殖能力，所以还是一对

两个月后，生下一对小兔民数共有两对

三个月以后，老兔子又生下一对，因为小兔子还没有繁殖能力，所以

一共是三对

－－－－－－

依次类推可以列出下表：

经过月数1112

幼仔对数345589

成兔对数45589144

总体对数45589144233

幼仔对数=前月成兔对数

成兔对数=前月成兔对数+前月幼仔对数

总体对数=本月成兔对数+本月幼仔对数

可以看出幼仔对数、成兔对数、总体对数都构成了一个数列。这个数

列有关十分明显的特点，那是：前面相邻两项之和，构成了后一项。

这个数列是意大利中世纪数学家斐波那契在中提出的，这

个级数的通项公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)的性质外，还可以证明通

项公式为：an=（1/√5）*{[(1+√5)/2]^n-[(1-√5)/2]^n}（n=1,2,3.....）

数字谜题

三角形的三边关系定理和斐波那契数列的一个联系：

现有长为144cm的铁丝，要截成n小段（n>2），每段的长度不小于1cm，

如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则n的最大值为多少？

分析：由于形成三角形的充要条件是任何两边之和大于第三边，因此

不构成三角形的条件就是任意两边之和不超过最大边。截成的铁丝最小为

1，因此可以放2个1，第三条线段就是2（为了使得n最大，因此要使剩

下来的铁丝尽可能长，因此每一条线段总是前面的相邻2段之和），依次

为：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55，以上各数之和为143，与144相

差1，因此可以取最后一段为56，这时n达到最大为10。

我们看到，“每段的长度不小于1”这个条件起了控制全局的作用，正

是这个最小数1产生了斐波那契数列，如果把1换成其他数，递推关系保

留了，但这个数列消失了。这里，三角形的三边关系定理和斐波那契数列

发生了一个联系。

在这个问题中，144>143，这个143是斐波那契数列的前n项和，我们

是把144超出143的部分加到最后的一个数上去，如果加到其他数上，就

有3条线段可以构成三角形了。

变式训练1一只青蛙从宽5米的水田的一边要跳往另一边，它每次只能跳

0.5米或1米，这只青蛙跳过水田共有多少种不同的方法?

变式训练2有一堆火柴共12根，如果规定每次取1～3根，那么取完这堆

火柴共有多少种不同的取法?

假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就能

有生殖能力。问：从一对大兔子开始，如果所有兔子都不死，一年后能繁殖成多

少对兔子？这就产生了斐波那契数列：

如果一对兔子每月生一对兔子；一对新生兔，从第二个月起就开始生兔子；

假定每对兔子都是一雌一雄，试问一对兔子，一年能繁殖成多少对兔子？

先看前几个月的情况：第一个月有一对刚出生的兔子，即F(1)=1；第二个月，

这对兔子长成成年兔，即F(2)=1；第三个月，这对成年兔生出一对小兔，共有

两对兔子，即F(3)=2；第四个月，成年兔又生出一对小兔，原出生的兔子长成

成年兔，共有三对兔子，即F(4)=3；第五个月，原成年兔又生出一对小兔，新

成年兔也生出一对小兔，共有五对兔子，即F(5)=5；„„以此类推，可得每个

月的兔子对数，组成数列：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，„，

这就是著名的斐波那契数列，其中的任一个数，都叫斐波那契数。

题中本质上有两类兔子：一类是能生殖的兔子，称为成年兔子；新生的兔子

不能生殖；新生兔子一个月就长成成年兔子。求的是成年兔子与新生兔子的总

和。每月新生兔对数等于上月成年兔对数。每月成年兔对数等于上个月成年兔

对数与新生兔对数之和。最后得关系式：

F(1)=F(2)=1；

F(n)=F(n-1)+F(n-2)(n≥3)。

法国数学家比内(Binet)证明了通项公式为

2、斐波那契数列的性质

斐波那契数列有很多有趣的性质，归纳如下：

性质1：相邻的斐波那契数之平方和(差)仍为斐波那契数。

性质2：对连续的斐波那契数，首尾两项之积，与中间项平方之差为1。

性质3：相邻两斐波那契数互素。

性质4：F(1)+F(2)+…+F(n)=F(n+2)-1，F(1)+F(3)+…+F(2n-1)=F(2n)，

F(2+F(4+…+F(2n)=F(2n+1)-1，F(n+m)=F(n-1)F(m)=F(n)F(m+1)。。

性质5：若n能被m整除，则F(n)能被F(m)整除。

性质6：F(3n)可以被2整除，F(4n)可以被3整除，F(5n)可以被5整除，F(6n)

可以被8整除，„这些除数也构成斐波那契数列。

性质7：若斐波那契数为素数，则其指标数也使素数。

性质8：1953年Stancliff给出结果

而89是斐波那契数列的第11项，且是素数。

性质9：法国数学家吕卡给出结果

性质10：末位数字的周期性：末位数字的周期为60，末二位数字的周期是

300，末三位数字的周期是1500，末三位数字的周期是15000，末五位数字的周

期是150000。

3、斐波那契数列的应用

斐波那契数列是从兔子问题中抽象出来的，如果它在其它方面没有应用，它

就不会有强大的生命力。发人深省的是，斐波那契数列确实在许多问题中出现。

①花瓣数中的斐波那契数

大多数植物的花，其花瓣数都恰是斐波那契数。例如，兰花、茉利花、百合

花有3个花瓣，毛茛属的植物有5个花瓣，翠雀属植物有8个花瓣，万寿菊属

植物有13个花瓣，紫菀属植物有21个花瓣，雏菊属植物有34、55或89个花

瓣。

②向日葵花盘内葵花子排列的螺线数

向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对

数螺线。两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大

向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们

都是相继的两个斐波那契数。其他松果、菜花等也有这一性质。这一模式几个

世纪前已被注意到，此后曾被广泛研究，但真正满意的解释直到1993年才给出。

这种解释是：这是植物生长的动力学特性造成的；相邻器官原基之间的夹角是

黄金角——137.50776度；这使种子的堆集效率达到最高。

③股票指数增减的“波浪理论”

完整周期3上2下(或5上3下或3上5下)，常是相继两斐波那契数；每次

股指增长幅度(8，13等)或回调幅度(8,5)，常是相继两斐波那契数。

股指变化有无规律？回答是肯定的。1934年美国经济学家艾略特在通过大量

资料分析、研究后，发现了股指增减的微妙规律，并提出了颇有影响的“波浪

理论”。该理论认为：股指波动的一个完整过程（周期）是由波形图（股指变

化的图象）上的5(或8)个波组成，其中3上2下(或5上3下)，如图，无论从

小波还是从大波波形上看，均如此。注意这儿的2、3、5、8均系斐波那契数列

中的数。同时，每次股指的增长幅度常循斐波那契数列中数字规律完成。

比如：如果某日股指上升8点，则股指下一次攀升点数为13；若股指回调，

其幅度应在5点左右。显然，5、8、13为斐氏数列的相邻三项。

可以说，斐波那契以他的兔子问题，猜中了大自然的奥秘，而斐波那契数列

的种种应用，是这个奥秘的不同体现。