柯西定理
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2023年3月6日发(作者：野望原文及翻译)如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
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柯西准则及其应用
摘要：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用贯穿于数学分析课程学
习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就
0
xx一种情形来讨论，本文将补给并详
细证明其它五种情形函数极限的柯西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用．
关键词：柯西准则；应用；极限存在；优越性
引言：柯西准则是实数完备性六大定理之一，它是极限论的基础．它的应用非常广泛，
贯穿于数学分析课程学习始终．一般地，数学分析课程教材在讨论柯西准则时都只就
0
xx一
种情形来讨论，即
设函数
()fx
在0
0
(;)Ux
内有定义，
0
0
()
lim
xx
fx
存在的充要条件是：任给0，存在正数
(<
)，使得对任何x
，x
0
0
(;)Ux
，都有()()fxfx
<．
事实上，当
0
xx，
0
xx，x，x，x五种情形函数极限存在的柯西
准则可以类比，它们的应用也非常广泛．本文将详细叙述并证明其它五种情形函数极限的柯
西准则，同时探讨总结柯西准则在极限、级数、积分等方面的灵活应用，充分展示其在解决
上述几个方面问题的优越性和博大精深之处．
1柯西准则的其它五种形式
定理1.1设函数f在0
0
(;)Ux
内有定义．
0
0
()
lim
xx
fx
存在的充要条件是：任给0，存
在正数
()
，使得对任何x
，x
0
0
(;)Ux
，均有()()fxfx
<．
证必要性设
0
()
lim
xx
fxA
，则对任给的>0，存在正数(<
)，使得对
0
0
(;)xUx
，有
()
2
fxA
．于是对0
0
(;)xxUx
，，有
充分性设数列0
0
(;)
n
xUx
且
0
lim
n
n
xx
，按假设，对任给的>0，存在正数(<
)，
使得对任何x
，x
0
0
(;)Ux
，有()()fxfx
．
由于
0
()
n
xxn，对上述的>0，存在N>0，使得当
nm，
>N时有0
0
(;)
nm
xxUx
，
从而有
()()
nm
fxfx．
于是，按数列极限的柯西收敛准则，数列()
n
fx的极限存在，记为
A
，即
()
lim
n
n
fxA
．
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设另一数列0
0
(;)
n
yUx
且
0
lim
n
n
yx
，则如上所证，
()
lim
n
n
fy
存在，记为
B
．现证
BA
，为此，考虑数列
易见
n
z0
0
(;)Ux
且
0
lim
n
n
zx
，故仍如上面所证，()
n
fz也收敛．于是，作为()
n
fz的
两个子列，()
n
fx与()
n
fy必有相同的极限，所以由归结原则推得
0
()
lim
xx
fxA
．
证毕
定理1.2设函数
f
在0
0
(;)Ux
内有定义．
0
0
()
lim
xx
fx
存在的充要条件是：任给0，
存在正数
()
，使得对任何x
，x
0
0
(;)Ux
，均有()()fxfx
<．
以下利用定理1.2和致密性定理证明数列极限的柯西准则的充分性．
证充分性设数列
n
a满足柯西条件，先证明
n
a是有界的．为此，取
1
，则存
正整数N，当1mN及nN时有
由此得
11111
1
nnNNnNNN
aaaaaaaa
．
令
则对一切正整数n均有
n
aM．
于是，由致密性定理可知，有界数列
n
a必有收敛子列
k
n
a，设
lim
k
n
k
aA
．对任给的
0，存在0K，当
mnkK，，时，同时有
2nm
aa
(由柯西条件)，
2k
n
aA
（由
lim
k
n
k
aA
）．
因而当取()
k
mnkK时，得到
22kk
nnnn
aAaaaA
．
这就证明了
lim
n
n
aA
．
有归结原则：
0
lim()
xx
fxA
对任何
0
()
n
xxn有lim()
n
n
fxA
．
充分性即证．
必要性设
lim
n
n
aA
．有数列极限定义，对任给的0，存在0N
当
mnN，
时有
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因而
22mnmn
aaaAaA
．
由归结原理知，即可证得．
证毕
注归结原则的意义在于实现函数极限和数列极限的相互转化，从而可以应用归结
原则和数列极限的有关性质解决函数极限问题．
定理1.3充分
大的
M
>0，设函数f在
()U
内有定义．
()
lim
x
fx
存在的充要条件是：
任给0，存在正数
1
()MM，使得对任何x
>
1
M，x
>
1
M，均有()()fxfx
<．
证先证必要性．设
()
lim
x
fxA
，按照定义，0，
11
0MMM，
，
1
xxM
，
()
2
fxA
，
()
2
fxA
．
于是
()()fxfx
()fxA
()fxA
<．
再证充分性．设0，
11
0MMM，
，
1
xxM
，
()()fxfx
<．
任意选取数列
n
x，
lim
n
n
x
．则对上述
1
0M
，
1
0
nm
NnmNxxM，，，，．有
()()
nm
fxfx．
这说明函数值数列()
n
fx是基本数列，因而必定收敛．根据相应的归结原则，可知
()
lim
x
fx
存在而且有极限．
证毕
注上述证明过程中用到了基本数列，下面介绍基本数列的定义
如果数列
n
x具有以下特征：0，
0NnmN，，
则称数列是一个基本数列．
定理1.4充分大的
M
>0，设函数f在
()U
内有定义．
()
lim
x
fx
存在的充要条件是：
任给0，存在正数
1
()MM，使得对任何x
<
1
M，x
<
1
M，均有()()fxfx
<．
证必要性设
()
lim
x
fxA
，则对任给的0，存在正数
1
()MM，使得对任何
1
xM
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有
()
2
fxA
．
于是对任何
1
xxM
，有
充分性设数列
n
x
1
,M且
lim
n
n
x
．按假设，对任给的0，存在正数
1
()MM，使得对任何
1
xxM
，，有
()()fxfx
．
由于()
n
xn，对上述的
1
0M
，存在0N使得当
nmN，
时有
1nm
xxM，，从而
有
于是，按数列的柯西收敛准则，数列()
n
fx的极限存在，记为
A
，即
()
lim
n
n
fxA
．
设另一数列,
n
yM且
lim
n
n
y
，则如上所证，()
lim
n
n
fy
存在，记为
B
．现证
BA
，
为此，考虑数列
易见,
n
zM且
lim
n
n
z
，故仍如上面所证，()
lim
n
n
fz
也收敛．于是，作为
()
n
fz的两个子列，()
n
fx与()
n
fy必有相同的极限，所以由归结原则推得
()
lim
x
fxA
．
证毕
定理1.5充分大的
M
>0，设函数f在
()U
内有定义．
()
lim
x
fx
存在的充要条件是：任
给0，存在正数
1
()MM，使得对任何
1
xxM
，，均有()()fxfx
<．
定理1.5的证明可以类似前面4个定理的证明．
2归纳柯西准则在数学分析中的应用．
2.1柯西准则在实数完备性理论中的应用
实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、
有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架．作为六大定理之一的
柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则入手，可依次推出其它五个定理．
2.1.1用数列的柯西收敛准则证明确界原理．
证设S为非空有上界数集．由实数的阿基米德性，对任何正数，存在整数
，使得
为S的上界，而(1)
不是S的上界，即存在S
，使得(1)
．
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分别取
1
12n
n
，，，，
则对每一个正整数n，存在相应的
n
，使得
n
为S的上界，而
1
nn
不是S的上界，故存在aS
，使得
1
n
a
n
．（1）
又对正整数
m
，
m
是S的上界，故有
m
a
．结合（1）式得
1
nmn
；同理有
1
mnm
．从
而得
11
max(,)
mnmn
．
于是，对任给的0，存在0N，使得当
mnN，
时有
mn
．
由柯西收敛准则，数列
n
收敛．记
lim
n
n
．（2）
现在证明就是S的上确界．首先，对任何aS和正整数n有
n
a，由(2)式得a，
即是S的一个上界．其次，对任何0，由
1
0()n
n
及(2)式，对充分大的n同时有
1
22nn
，
．
又因
1
nn
不是S的上界，故存在aS
，使得
1
n
a
n
．结合上式得
22
a
．
这说明为S的上确界．
同理可证：若S为非空有下界数集，则必存在下确界．
2.1.2用平面点列收敛的柯西准则证明闭区间套定理
证在闭域套
n
D的每一个闭域
n
D内任取一点
n
P，构成一个各点各不相同的平面点列
n
P，则对一切自然数
P
，由于
npn
DD
，以
1
,,0(,)0()
nnpnnnn
PPDPPdn
，
因此
(,)0
lim
nnp
n
pp
．由定义任给0，存在正整数N，使得当nN时，对一切自然数
P
，
都有(,)
nnp
pp
，根据柯西准则
n
P收敛，记
0
lim
n
n
PP
．
现证
0
12
n
PDn，，，，为此任意取定n，则因为对一切自然数12p，，，都有
0
lim
npnpnnp
p
PDDPP
，，由定义知
0
P是
n
D的聚点，而闭域
n
D必为闭集，所以它的聚点
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0
12
n
PDn，，，，
最后证明
0
P的唯一性，若还有
0
12
n
PDn
，，，，
则由于
1
0(,)0()
nnn
PPdn
．，
所以
0000
(,)0PPPP
，
．
2.2柯西准则是极限论的基础，许多敛散性判别法都由它导出．
2.2.1柯西准则在数列收敛性判定中的应用
数列
n
a收敛
0NNmnN
，，，
有
mn
aa．
数列
n
a发散
0
0NNmnN
，，，，使得
0mn
aa
．
例1应用柯西收敛准则，证明数列
n
a收敛
证对
0，
取
2
N
，则对nmN，有
而由
2
m
知
2
m
，故
nm
aa，由柯西收敛准则知数列
n
a收敛．
2.2.2柯西准则在函数极限存在性判定中的应用
0
0
()
lim
xx
fx
不存在的充要条件是：
0
0
，对
0
，都存在x
，x
0
0
(;)Ux
，使得
0
()()fxfx
．
例2证明极限
0
1
sin
lim
xx
不存在．
证可取
0
1，对任何0，设正整数
1
n
，令
则有0(0;)xxU
，，而
0
11
sinsin1
xx
．于是按照柯西准则，极限
0
1
sin
lim
xx
不存在．
2.2.3柯西准则在无穷积分与瑕积分收敛性判定中的应用
因为无穷积分
()
a
fxdx的敛散性是由变上限函数
()
lim
t
a
t
ftdt
存在与否确定的．因此，
可由函数极限
()
lim
x
fx
存在的柯西准则导出无穷积分
()
a
fxdx收敛的柯西准则：
无穷积分
()
a
fxdx收敛
12
0GauuG，，，有
同理，由函数极限
0
()
lim
tt
fx
存在的柯西准则可直接推出瑕积分
()
b
a
fxdx（a为瑕点）收敛
的柯西准则：
瑕积分
()
b
a
fxdx（a为瑕点）收敛
12
00,uuaa，，，有
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例3设
()fx
在0,上连续可微，并且2
0
()fxdx．如果()fxC
(当0x时)，
其中C为一常数．试证：
()0
lim
x
fx
．
证（反证）假设
()0
lim
x
fx
，则
0
0，使对0G，总有
A
xG，()
A
fx
０
．
因为
()fx
在0,上连续可微，()fxc
．故
f
在0,上一致连续，于是0，使
当0,xxxx
，，时，
又因2
0
()fxdx收敛，故0M时，当
12
xxM，时，2
1
2
0()
2
x
x
fxdx
，
对该
M
，存在
0
x，故
00
(,)(,)xxM，
0
()fx
０
当
00
(,)xxx时
0
()()
2
fxfx
０．
2
0()
4
fx
．0
0
2
00()2
42
x
x
fxdx
矛盾．
()0
lim
x
fx
．
2.2.4柯西准则在级数收敛性判定中的应用
因为级数
1
n
n
u
的敛散性是由其前n项和数列
1
n
nk
k
Su
的敛散性确定的．所以，由
n
S收敛的柯西准则直接可得级数
1
n
n
u
收敛的柯西准则：
1
n
n
u
收敛
0NNmNpN
，，，
有
例4级数
1
n
n
a
收敛的充要条件是：对任意的正整数序列
12n
rrr，，，，都有
12
()0
lim
n
nnnr
n
aaa
．
证必要性因为
1
n
n
a
收敛，所以对当
,NNnN
及
pN
有
特别地
12
n
nnnr
aaa
．
所以
12
()0
lim
n
nnnr
n
aaa
．
充分性用反证法．若
1
n
n
a
发散，则
0
00NnN，，及自然数
p
，使
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特别
11
11Nn，及自然数
1
r使
2122
max2NnnN，，，及自然数
2
r，使
这与
12
()0
lim
n
nnnr
n
aaa
矛盾．
所以级数
1
n
n
a
是收敛的．
例5应用级数收敛的柯西准则证明级数
2
1
n
收敛．
证由于
因此，对任给
0
，取
1
N
，使当
mN
及对任意正整数p，由上式就有
12
1
mmmp
uuu
m
．
依级数收敛的柯西准则推得级数
2
1
n
是收敛的．
2.2.5柯西准则在函数列与函数项级数一致收敛性判定中的应用
由数列收敛的柯西准则易推得函数列()
n
fx一致收敛的柯西准则：
函数列()
n
fx在
D
上一致收敛
0NNmnNxD
，，，，
有
又因为函数项级数
1
()
n
n
fx
的一致收敛性是由其部分和函数列
1
()()
n
nk
k
Sxfx
的一
致收敛性确定的．所以，可用函数列一致收敛的柯西准则直接推出函数项级数一致收敛的柯
西准则：
1
()
n
n
fx
在
D
上一致收敛
0NN
，，
当nN时，
pNxD
，
有
12
()()()
nnnp
uxuxux
．
进一步易推出判断函数项级数一致收敛常用的魏尔斯特拉斯判别法．
例6证明：若对0
n
nNaxI
，，，有
1
()()
nnn
fxfxa
且
1
n
n
a
收敛，则函数
列()
n
fx在区间上一致收敛．
证
npNxI
，，
，
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因为
1
n
n
a
收敛，故有
0NNnNpN
，，，
0NNnNpNxI
，，，，
有
1npn
aa
．
所以函数列()
n
fx在区间上一致收敛．
例7设()(1,2,)
n
uxn是,ab上的单调函数，证明：若()
n
ua与()
n
ub都绝对收敛，
则()
n
ux在,ab上绝对且一致收敛．
证因为()
n
ua与()
n
ub绝对收敛对0NN
，，当nN时，对pN
有
12
()()()
nnnp
uauaua
．
12
()()()
nnnp
ububub
．
又因为()(1,2,)
n
uxn是,ab上的单调函数，所以对,xab．有()()()
nnn
uauxub
或
()()()
nnn
uauxub．
由一致收敛的柯西准则可推出函数项级数()
n
ux在,ab上绝对且一致收敛．
柯西准则的优越性
柯西准则的优越性是显然的，在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念都
有内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大的优点是不需借助于数列（或函数）以
外的任何信息，只依据各项的具体特点来解决相应的问题，使得看似复杂的问题变的简单易
懂．它具有整齐完美的形式，充分体现了数学美，使得许多抽象的数学理论形象可见．在数
学分析中有非常重要的理论价值，所以深刻理解柯西准则很重要．
参考文献
[1]责任编辑高尚华，华东师范大学数学系，数学分析，高等教育出版社，2001年，第三版
[2]崔万臣，谈柯西准则在数学分析中的作用，唐山师专学报，1993年，第21卷，第2期
[3]王安斌、宾红华，用柯西准则证明几个相关命题，数学理论与应用，2004年，第24卷，第4期
[4]陈祥平，对柯西准则教学的体会，济宁师专学报，1998年，第19卷，第6期
[5]薛怀玉，2R上完备性定理的等价，咸阳师范专科学校学报（自然学版），1998年，第13卷，第6
期
[6]钱吉林，数学分析题解精粹，湘北长江出版集团，2009年，第二版
如有你有帮助，请购买下载，谢谢！
10页
[7]刘玉链、傅沛仁，数学分析讲义，高等教育出版社，2003年，第三版
[8]陈纪修、於崇华、金路，数学分析，高等教育出版社，2004年，第二版
Cauchycriterionanditsapplication
Abstract:TheCauchycriterionisoneofthesixtheoremswhichisaboutthecompletenessofrealnumbers.
houtthecourseofmathematicalanalysis,itsapplicationhasalwaysbeen.
Ingeneral,Duringthecurriculummaterialsofthemathematicalanalysis,whenitdiscussestheCauchycriterion,
onlyasituationthat
0
xxticlewillsupplyproofsoftheotherfivecasesoftheCauchy
ametime,itwilldiscussandsumtheflexibilityapplicationofCauchy
criterioninthelimits,theseries,Pointsandsoon.
Keywords:Cauchycriterion;applications;limitexists;superiority