积分运算
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2023年3月6日发(作者：轻音乐名曲欣赏100首)学习文档仅供参考
几种特殊积分的计算方法
1前言
积分发展的动力来自于实际应用中的需求.实际操作中，有时候可以粗略乘宽乘
高求出.但如果游泳池是卵形、抛物型或者更加不规则的形状，就需要用积分来求出
容积.物理学中，常常需要知道一个物理量〔比方位移〕对另一个〔比方力〕的累积
效果，这时候也需要积分.在古希腊数学的早期，数学分析的结果是隐含给出的.比
方，芝诺的两分法悖论就隐含了无限几何和.再后来，古希腊数学家如欧多克索斯和
阿基米德穷竭法去计算区域和固体的面积和体积时，使用了极限和收敛的概念.
在古印度数学〔英语：Indianmathematics〕的早期，12世纪的数学家婆什迦
罗第二给出了导数的例子，还使用过现在所知的罗尔定理.数学分析的创立始于17
世纪以牛顿〔Newton,I.〕和莱布尼茨〔Leibniz,G.W.〕为代表的开创性工作，而
完成于19世纪以柯西〔Cauchy,A.-L.〕和魏尔斯特拉斯〔Weierstrass,K.(T.W.)〕
为代表的奠基性工作.从牛顿开始就将微积分学及其有关内容称为分析.其后，微积分
学领域不断扩大，但许多数学家还是沿用这一名称.时至今日，许多内容虽已从微积
分学中别离出去，成了独立的学科，而人们仍以分析统称之.数学分析亦简称分析〔参
见“分析学”〕.数学分析的研究对象是函数，它从局部和整体这两个方面研究函数
的基本性态，从而形成微分学和积分学的基本内容.微分学研究变化率等函数的局部
特征，导数和微分是它的主要概念，求导数的过程就是微分法.围绕着导数与微分的
性质、计算和直接应用，形成微分学的主要内容.积分学则从总体上研究微小变化〔尤
其是非均匀变化〕积累的总效果，其基本概念是原函数〔反导数〕和定积分，求积分
的过程就是积分法.积分的性质、计算、推广与直接应用构成积分学的全部内容.牛顿
和莱布尼茨对数学的杰出奉献就在于，他们在1670年左右，总结了求导数与求积分
的一系列基本法则，发现了求导数与求积分是两种互逆的运算，并通过后来以他们的
名字命名的著名公式反映了这种互逆关系，从而使本来各自独立发展的微分学和积分
学结合而成一门新的学科——微积分学.又由于他们及一些后继学者〔特别是欧拉极
限的方法，或者说是无穷小分析.洛比达〔L'Hospital,G.-F.-〕于1696年在巴
黎出版的世界上第一本微积分教科书，欧拉于1748年出版的两卷本沟通微积分与初
等分析的书，书名中都出现过无穷小分析这个词.在微积分学发展的初期，这种新的
方法显示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果.许多与微积分有关的新的数学分
支，如变分法、微分方程以至于微分几何和复变函数论，都在18—19世纪初发展起
来.然而，初期的分析还是比较粗糙的，被新方法的力量鼓舞的数学家们经常不顾演
绎的逻辑根据，使用着直观的猜测和自相矛盾的推理，以致在整个18世纪，对这种
方法的合理性普遍存在着疑心.这些疑心在很大程度上是从当时经常使用的无穷小的
含义与用法上引起的.随意使用与解释无穷小导致了混乱和神秘感.许多人参与了无
穷小本质的论争，其中有些人，如拉格朗日〔Lagrange,J.-L.〕，试图排除无穷小
与极限，把微积分代数化.论争使函数与极限的概念逐渐明朗化.越来越多的的数学家
认识到，必须把数学分析的概念与其在客观世界的原型以及人的直觉区分开来.因而，
从19世纪初开始了一个一个把分析算术化〔使分析成为一种像算术那样的演绎系统〕
为特征的新的数学分析的批判改造时期.柯西于1821年出版的《分析教程》是分析严
密化的一个标志.在这本书中，柯西建立了接近现代形式的极限，把无穷小定义为趋
于零的变量，从而结束了百年的争论.在极限的基础上，柯西定义了函数的连续性、
导数、连续函数的积分和级数的收敛性〔后来知道，波尔查诺〔Bolzano,B.〕同时
也做过类似的工作〕.进一步，狄利克雷于〔Dirichlet,P.G.L.〕1837年提出了函
数的严格定义，魏尔特拉斯引进了极限的定义.基本上实现了分析的算术化，使分析
从几何直观的局限中得到了“解放”，从而驱散了17—18世纪笼罩在微积分外面的
神秘云雾.继而在此基础上，黎曼〔Riemann,(G.F.)B.〕于1854年和达布〔Darboux,
(J.-)G.〕于1875年对有界函数建立了严密的积分理论，19世纪后半叶，戴德金
〔Dedekind,J.W.R〕等人完成了严格的实数理论.至此，数学分析的理论和方法完全
建立在牢固的基础之上，基本上形成了一个完整的体系，也为20世纪现代分析的发
展铺平了道路.
2选题背景
2.1题目类型及来源
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题目类型：研究论文
题目来源：专题研究
研究目的和意义
在一般高等数学教材中对泊松积分的计算很少有涉及，而在实际问题中，例如在
处理概率与统计问题及热传导等问题时都会用到泊松积分，由于泊松积分的被积函数
不是初等函数，因此，不能用牛顿-莱布尼兹公式来计算其积分值,但泊松积分在数学
分析、概率统计及其物理等方面有广泛的应用，我们必须用其它方法计算其积分值．利
用留数定理，我们可以把计算一些积分的问题转化为计算某些解析函数在孤立奇点的
留数，从而大大化简计算．广义积分是解决实际问题中常见的一个计算工具,但其形
式多样,计算复杂.有些广义积分问题单纯应用数学分析理论求解过程繁琐,甚至不能
解出，但却可以应用复变函数理论中的留数定理来研究两类特殊形式的广义积分．
国内外现状和发展趋势与研究的主攻方向
几种特殊积分中的高斯积分是一个著名的积分，在工程技术中有很多应用．在数
学中高斯做出很多奉献．高斯公式是曲面积分的一个重要公式，而通过高斯公式我们
可以提出高斯定理，高斯定理是电磁学中的基本定理:
即通过任一闭合曲面〔高斯面〕的电通量等于该闭合曲面包围电荷的代数和除以
0
；
穿过高斯面的电通量，只与该电荷系电荷代数和相关，与高斯面的形状无关，也与该
电荷系的电荷分布无关．高斯定理不仅适用于静电场，也适用于变化的感生电场，是
电磁场基本方程之一．高斯定律在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而
二者都被集中在麦克斯韦方程组中．因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其
它由反平方定律决定的物理量，例如引力或者辐照度．
计算泊松积分的值的七种不同的计算方法以及该反常积分的相关应用，虽然该反常积
分的值已被人们所熟知，但其求解方法还是值得我们关注的，其中所用到的方法也是
在解决实际问题中比较重要的，另外，该反常积分与复变函数论中的知识进行结合还
可用来求一些比较复杂的反常积分，在概率统计以及物理的一些求解中泊松积分也会
起到十分重要的作用，通过对泊松积分值的计算方法及其应用的相关介绍，使人们对
泊松积分有一个更深刻的了解，同时了解求解泊松积分过程中所涉及到的相关解法，
以便以后在解决相关问题时更好的应用．菲涅尔(Fresnel)积分,这是以法国物理学家
菲涅尔的名字而命名的．这两个广义积分在物理学中有重要的应用,比方要计算菲涅
尔绕射强度问题,噪声水平缩减问题等,就需要用到这两个积分．
3计算积分的一些定理
积分的基本定义：设F为函数的一个原函数，我们把函数f的所有原函
数FC〔C为任意常数〕叫做函数f的不定积分记做.其中∫叫做积分
号，f叫被积函数，叫做积分变量，f叫做被积因式.C叫积分常数，求已知函
数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.
积分的基本原理：微积分基本定理，由艾萨克·牛顿和戈特弗里德·威廉·莱布尼茨
在十七世纪分别单独确立.微积分基本定理将微分和积分联系在一起，这样，通过找
出一个函数的原函数，就可以方便地计算它在一个区间上的积分.积分和导数已成为
高等数学中最基本的工具，并在自然科学和工程学中得到广泛运用.
积分的一个严格的数学定义由波恩哈德·黎曼给出〔参见条目“黎曼积分”〕.黎曼
的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极限.从十九世纪起，
更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分.比方说，
路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段〔区间[a,b]〕，而是一条平
面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替.对微分
形式的积分是微分几何中的基本概念.
对积分概念的推广来自于物理学的需要，并表达在许多重要的物理定律中，尤其
是电动力学.现代的积分概念基于测度论，主要是由昂利·勒贝格建立的勒贝格积分.
3.1留数定理和围道积分
设在以曲线ｌ围成的区域内除有有限个孤立点外单值解
析，在闭区域上连续，则有
〔3．1．1〕
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其中，resƒ表示ƒ〔z〕在孤立奇点的某〔去心〕领域内的罗朗展开的负一次
幂的系数，记作
resƒ〔〕〔3．1．2〕
称作ƒ〔z〕在它的孤立奇点处的留数.〔3．1．2〕被称为留数定理.
傅里叶变换
由高等数学我们知道，一个以2ｌ为周期的函数ƒ，假设在区间上满足
狄理克莱条件〔即连续或有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值点〕，则在
上可展开为傅氏级数.
傅氏级数的复数形式为
其中，
因此，ƒ也可以表示为
ƒ(3.2.1)
由此看到，以2ｌ为周期的函数，在自变数增长的过程中，函数值有规律的重复，
自变数每增长一个2ｌ，函数就重复变化一次，其中，参数不连续地跳跃地去以下
数值：
，
其跃变间隔为
.
对于非周期函数而言，当然不具备以上这些特点，但我们自然想到，假设将
其看成周期趋于无穷大〔2ｌ〕的“周期函数”，则当然可模照〔3.2.1〕写出它
的傅氏展开式，只是此时△.这说明参数变为不再跃变，而是连续变化，
即，非周期函数，可以表示为
ƒ
亦即
ƒ
(3.2.2)
(3.2.2)称为函数ƒ的傅里叶积分公式.应该看出，上述的推导不严格的，因为我们
交换了极限过程与求和过程的次序.实际上，傅氏积分成立，需要满足下述傅里叶积
分定理：设ƒ在〔〕上有定义且
〔1〕在任一有限区间上满足狄利克莱条件；
(2)在无限区间负无穷到正无穷上绝对可积
则傅里叶积分公式
ƒ
在的连续点x出成立，而在ƒd的第一类间断点处，右边的积分应该以
代替.
在傅氏积分公式〔3.2.2〕中
令G.(3.2.3)
则ƒ(3.2.4)
可见函数ƒ和G可以通过相互表达.我们称〔3.2.3〕为函数ƒ的傅里叶变换，
记作F(3.2.5)
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G有称为ƒ的像函数；而称〔3.2.4〕为函数G的傅里叶逆变换，记作
〔3.2.6〕
ƒ有称为G的像原函数.因此，当ƒ满足傅氏积分定理的条件时，傅氏积分公
式就成为
ƒ(3.2.7)
这是傅氏变换和傅氏逆变换之间的一个重要关系.
易于看出，傅氏变换的定义式〔3.2.5〕和〔3.2.6〕，其积分前的系数虽然各书
的写法并不完全相同，但只要此二系数的乘积等，〔3.2.5〕和〔3.2.6〕式均是可
以相互满足的，且两积分号内指数因子和也可以同时改为和.
在量子力学中，通常把ƒ记作,作为坐标表象的波函数，将看做波数k,
而将〔3.2.5〕和〔3.2.6〕两式积分号前的系数分别写作.由于
pk，则有G,记作C,于是由〔3.2.4〕和〔3.2.3〕
有
C
其中C就是同一量子体系在动量表象中的波函数.此二式说明了坐标表象和动
量表象之间的波函数的变换关系.
有傅氏变换和傅氏逆变换的定义〔3.2.5〕及〔3.2.6〕可知，要求一个函数的傅
氏变换，实际上就是求一个含参数的广义积分.计算含参数的广义积分是一件比较困
难的工作.但对于某些函数来说，还是比较容易计算的.
对于任何函数ƒ,我们假定在t0时ƒ0,那么，只要足够的大，函数ƒ
的傅氏变换就有可能存在，即
F
其中ƒ.
记p，FF
并注意到
i
便得到
F(3.3.1)
ƒ(3.2.2)
这是一对新的互逆的积分变换.我们称〔3.2.1〕式为函数ƒ的拉普拉斯变换，
记作
L(3.3.3)
并称函数为ƒ的像函数.而称〔3.2.2〕式为函数F的拉普拉斯逆变换或拉
普拉斯反演公式，记作
(3.3.4)
并称函数ƒ为F
ƒ(3.3.5)
ƒ满足以下条件：
（1）当t0时，ƒ0
（2）当t0时，ƒ及除去有限个第一类间断点以外，处处连续；
（3）当t时，ƒ的增长速度不超过某一个指数函数，亦即存在常数
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M及0，使得,0t.(3.3.6)
其中，称为ƒƒ的拉氏变换F在半平面Rep上存在、解析，
且当(是任意小的正数)时，有
=0在
拉氏变换的性质
设但凡要求拉氏变换的函数，均是满足拉氏变换存在定理的，则有拉氏变换
的定义，我们有如下一些重要性质：
（1）线性性质
L
（2）延迟性质
LF,Re
其中FL
(3)位移性质
设，则LL
(4)相似性质
设a，F则
L
〔5〕微分性质
(6)积分性质L
(7)卷积定理
其中，定义
熟练的掌握以上的这些性质，对于我们用拉氏变换解线性常微分方程和积分方程的初
值问题极为方便.
4特殊积分的计算
无穷限积分的收敛性是显而易见的，由于初等函数的原函数不再是初
等函数，因此其不能利用牛顿–莱布尼兹公式.为此，我们将用下面3种方法进行计
算：
〔1〕二重积分法
设I,则
D
在极坐标下，区域D可以表示成为，所以：
从而：
（3）含参量反常积分方法
设I，对该积分进行变量替换x，为参数，则：
I
所以：I
即：
交换积分次序得：
因此：
I
〔3〕特殊函数法
已知伽马函数，s且有余数公式，即当0s1时：
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对无穷限积分进行变量替换，令，则：
I
在余数公式中令s得，从而，因此：
=
Dirichlet积分的计算
著名的Dirichlet积分在光学、电磁学、无线电技术和有阻尼
的机械振动等领域有广泛的应用.因此该积分收敛非绝对收敛，被积函数的原函数不
能初等函数表示，不能用传统的牛顿-莱布尼兹公式求出该积分值，所以该积分在《数
学分析》和《复变函数》教材中作为典型来讨论.而一般的方法比较复杂，但通过数
学物理方法比较容易解决这个问题.
〔1〕含参变量积分方法
我们知道，含参变量积分：
由于，积分收敛，由WeierstrassM判别法，含参变量
积分在上一致收敛.由于在上
连续，根据积分顺序交换定理，
11
22
000
1
()cosarctanpx
p
Fpdyexydxdy
pyp
又由
阿贝尔(Abel)判别法知，积分〔1〕在0p时一致收敛，根据连续性定理[4]，()Fp在
0p时连续，故
00
0
sin1
(0)lim()limarctan
2pp
x
dxFFp
xp
〔2〕围道积分方法
设()
ize
fz
z
，
12
,LL分别是实数轴上
[,]Rr
与
[,]rR
线段，,
rR
CC分别是以原点为圆心，
以
r
与R为半径的上半圆周，是如图1所示的积分
路径．由Cauchy-Goursat定理知，()0fzdz
，即
12
()()()()0
R
r
LLC
C
fzdzfzdzfzdzfzdz〔2〕
经化简
12
sin
()()2
R
LLr
x
fzdzfzdzidx
x
，由小圆弧引理[5]，
0
lim()
r
r
C
fzdzi
，由
Jordan引理[5]，lim()0
R
R
C
fzdz
．在式〔2〕两边令0,rR，并整理得：
0
sin
2
x
dx
x
(3)Fourier变换方法:
设
1,1;
()
0,1.
t
ft
t
，则它的Fourier变换为[()]()jtFftftedt
sin
2
()F．当1t时，有
1
1
()[()]()
2
jtftFFFed
0
2sincost
d
，特别取
0t
得：
0
sin
2
d
.
(4)能量积分方法
设()ft在Fourier变换下的象函数为()F，则有
2
2
1
[()]()
2
ftdtFd
〔3〕
图1围道积分路径
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式〔3〕称为Parseval等式[6]，其中2[()]ftdt
称为
()ft
的能量积分.
将上文中Fourier变换方法的
()ft
和
()F应用在式〔3〕中，可以得到
2
2
0
sin
2
d
．又由分部积分法，
2
2
0
sin
d
00
sin2sinu
ddu
u
，故
0
sin
2
u
du
u
.
(5)Laplace变换方法:
设
()sinftt
，则它的Laplace变换为
0
[()]()stLftftedt
2
1
1s
()Fs
．又
0
sin
lim1
t
t
t
，
()arctan
2
s
Fsdss
，由Laplace变换象函数的积分性质[6]，有
sint
L
t
()arctan
2
s
Fsdss
，特别取
0s
得：
0
sin
2
t
dt
t
.
〔6〕广义函数方法：
单位脉冲函数
()t也叫狄拉克(Dirac)函数，简称
函数，它是一个广义函数，
是弱收敛函数序列的弱极限[6]，即对于任何一个无穷次可微的函数
()ft
，有
sin
()()lim()(0)
t
tftdtftdt
t
〔4〕
在式〔4〕中特别取
()1ft
，由
函数的筛选性质知，左边()1tdt
，右边积分
中作换元变换ut得：
0
sin1sin2sin
limlim
tuu
dtdudu
tuu
．故
0
sin
2
u
du
u
.
(1〕狄利克莱积分
在上面用几种方法来计算狄利克莱积分的时候已经介绍了留数定理计算，现在
就不做介绍.
〔2〕菲涅耳积分的计算
由留数定理有：
0
在上，令R，则
而在上，有
所以
0
又
参考文献
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致谢
本论文是在赵天玉老师的指导下完成的，在完成过程中还得到了许多其他人的
帮助和支持，值此论文完成之际，我由衷地感激所有给予我指导、关心、帮助和支持
的老师、同学、朋友们．
首先，我要感谢我的指导老师赵天玉老师．从我论文开始的查阅文献、论文的
选题、修改到最后的定稿，都得到了赵老师悉心的指导和无微不至的关心．赵老师严
谨的治学态度、敏锐的洞察力、认真负责的工作态度和诲人不倦的师长风范给我留下
了深刻的印象，他教导我进行抛物型方程解的估计及其应用，指导我完成了这一篇毕
业论文，帮助我在学习中不断提高分析问题和解决问题的能力，这些都将使我受益终
生．
感谢信计学院的授课老师和与我一起学习的同学，没有他们的谆谆教诲和热心
帮助，我不可能顺利地完成本次毕业论文设计．
最后，我还要感谢在百忙之中参加我的论文答辩的各位老师！