指数函数运算

指数函数运算

-

2023年3月6日发(作者：梧桐根)

1

指数运算与指数函数

__________________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________________

1、理解根式、分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质．

2、掌握指数函数的概念、图像和性质。

一、有理数指数幂及运算性质

1、有理数指数幂的分类

（1）正整数指数幂()

n

naaaaanN

64748

L

个

；（2）零指数幂)0(10aa；

（3）负整数指数幂1

0,n

n

aanN

a



（4）0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义。

2、有理数指数幂的性质

（1）0,,mnmnaaaamnQ（2）0,,n

mmnaaamnQ

（3）0,0,m

mmabababmQ

二、根式

1、根式的定义：一般地，如果axn，那么

x

叫做

a

的

n

次方根，其中Nnn,1，na

叫

做根式，

n

叫做根指数，

a

叫被开方数。

2、对于根式记号na

，要注意以下几点：

（1）nN，且1n；（2）当

n

是奇数，则aan

n；当

n

是偶数，则













0

0

aa

aa

aan

n；

（3）负数没有偶次方根；（4）零的任何次方根都是零。

3、规定：

（1）0,,,1

m

n

m

naaamnNn；（2）11

0,,,1

m

n

m

n

m

n

aamnNn

a

a



2

三、对指数函数定义的理解

一般地，函数)10(aaayx且叫做指数函数。

1、定义域是R。因为指数的概念已经扩充到有理数和无理数，所以在0a的前提下，

x

可以

是任意实数。

2、规定0a,且1a的理由：

（1）若0a，

00

0

x

x

xa

xa















当时，恒等于；

当时，无意义。

（2）若0a，如(2)xy，当

1

4

x、

1

2

等时，在实数范围内函数值不存在。

（3）若1a，11xy，是一个常量，没有研究的必要性。

为了避免上述各种情况，所以规定0a,且1a。

3、式上的严格性：

指数函数的定义表达式xya中，xa前的系数必须是1。自变量

x

在指数的位置上。比如

12,1,xxxyayaya等，都不是指数函数；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，

如xya(01)aa且，因为它可以化为

1x

y

a









，其中

1

0

a

，且

1

1

a

。

四、指数函数的图象和性质：

1a01a

图象

性

质

定义域：R

值域：0,

图像都过点0,1

在R上是增函数在R上是减函数

特别提醒：

角坐标系中的图像的相对位置关系与底数大小的关系有如下规律：

在y轴右侧，图像从下往上相应的底数由小变大；在y轴左侧，图像从上往下相应的底数由小变

大。即不论在y轴右侧还是左侧，底数按逆时针增大。

五、比较幂值得大小

底数相同：利用函数的单调性进行比较；

指数相同：方法一：可转化为底数相同进行比较；方法二：可借助函数图像进行比较。指数函

数在同一直角坐标系中的图像与底数大小的关系有如下规律：即无论在y轴右侧还是在y轴左侧底

数按逆时针方向由小变大。

指数、底数都不同：可利用中间量进行比较。

六、指数方程的可解类型，可分为：

形如

0,1fxgxaaaa的方程，化为fxgx求解。

形如20xxabac•的方程，可令xta进行换元，转化成200tbtct一元二次方程

进行求解。

七、指数不等式的解法：

当1a时，

fxgxaa与fxgx同解，当01a时，

fxgxaa与

3

fxgx同解。

类型一根式与分数指数幂的互化

例1：(1)用根式表示下列各式：a

1

5

；a

3

4

；a－

2

3

；

(2)用分数指数幂表示下列各式：

3

a5；

3

a6；

1

3

a2

.

解析：(1)a

1

5

＝

5

a；a

3

4

＝

4

a3；a－

2

3

＝

1

a

2

3

＝

1

3

a2

.

(2)

3

a5＝a

5

3

；

3

a6＝a

6

3

＝a2；

1

3

a2

＝

1

a

2

3

＝a－

2

3

.

答案：见解析

练习1：把根式化为分数指数幂的形式：

4

a2b3＝__________.

答案：a

1

2

b

3

4

练习2：用根式表示下列各式：x

3

5

；x－

1

3

.

答案：x

3

5

＝

5

x3.x－

1

3

＝

1

3

x

.

类型二根式与分数指数幂的混合运算

例2：计算：1.5－

1

3

＋80.25×

4

2＋(2×3)4－－

2

3

2

3

.

解析：原式＝(

3

2

)－

1

3

＋(23)

1

4

×2

1

4

＋(6

1

2

)4－

4

9

1

3

＝(

2

3

)

1

3

＋2

3

4

×2

1

4

＋62－(

2

3

)

1

3

＝2＋36

＝38.

答案：38

练习1：化简：1.5

1

3

×













－

7

6

0＋80.25×

4

2＋(

3

2×3)6－













－

3

2

2

3

；

答案：110

练习2：(2014～2015学年度西藏拉萨中学高一上学期月考)化简3－π2＋

3

－π－33

＝()

A．－2πB．6C．2πD．－6

4

答案：D

类型三指数函数的定义

例3：下列函数中，哪些是指数函数？

①y＝10x；②y＝10x＋1；③y＝10x＋1；④y＝2·10x；

⑤y＝(－10)x；⑥y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－9)；

⑦y＝x10.

解析：①y＝10x符合定义，是指数函数；

②y＝10x＋1是由y＝10x和y＝10这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；

③y＝10x＋1是由y＝10x和y＝1这两个函数相加得到的复合函数；

④y＝2·10x是由y＝2和y＝10x这两个函数相乘得到的复合函数，不是指数函数；

⑤y＝(－10)x的底数是负数，不符合指数函数的定义；

⑥由于10＋a>0，且10＋a≠1，即底数是符合要求的常数，故y＝(10＋a)x(a>－10，且a≠－

9)是指数函数；

⑦y＝x10的底数不是常数，故不是指数函数．

综上可知，①、⑥是指数函数．

答案:①、⑥

练习1：若函数y＝(a－3)·(2a－1)x是指数函数，求a的值．

答案:4

练习2：(2014～2015学年度武汉二中、龙泉中学高一上学期期中测试)函数y＝(a2－3a＋3)ax

是指数函数，则有()

A．a＝1或a＝2B．a＝1

C．a＝2D．a>0且a≠1

答案：C

类型四指数函数的图象和性质

例4：函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a、b为常数，则下列结论正确的是()

A．a>1，b1，b>0C．00D．0

解析：由图象呈下降趋势可知0

b>0，∴b<0.

答案：D

练习1：若函数y＝ax＋m－1(a>0)的图象经过第一、三和第四象限，则()

A．a>1B．a>1，且m<0C．00D．0

答案：B

练习2：(2014～2015学年度山西太原市高一上学期期中测试)在同一坐标系中，函数y＝2x与y

5

＝











1

2

x的图象之间的关系是()

A．关于原点对称B．关于x轴对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称

答案:C

类型五指数函数性质的应用

例5:比较下列各组数的大小：

(1)1.72.5,1.73；

(2)0.8－0.1,0.8－0.2；

(3)1.70.3,0.93.1；

解析：(1)考察指数函数y＝1.7x，

由于底数1.7>1，所以指数函数y＝1.7x在(－∞，＋∞)上是增函数．

∵2.5<3，∴1.72.5<1.73.

(2)考察函数y＝0.8x，由于0<0.8<1，

所以指数函数y＝0.8x在(－∞，＋∞)上为减函数．

∵－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2.

(3)由指数函数的性质得

1．70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，

∴1.70.3>0.93.1.

答案：<

练习1:比较下列各题中两个值的大小．

(1)0.3x与0.3x＋1；

(2)











1

2

－2与2

1

2

.

答案：>>

练习2:(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)函数f(x)＝ax－1＋2(a>0，a≠1)

恒过定点________．

答案：(1,3)

类型六指数函数性质的综合应用

例6:函数f(x)＝x2－bx＋c，满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(0)＝3，比较f(bx)与f(cx)的大小．

解析：∵f(1＋x)＝f(1－x)，

∴f(x)＝x2－bx＋c的对称轴为x＝1.

即

b

2

＝1⇒b＝2.又f(0)＝3，∴c＝3.

∴f(bx)＝f(2x)，f(cx)＝f(3x)．

若x≥0，则3x≥2x≥1，而f(x)＝x2－2x＋3在[1，＋∞)上为增函数，

∴f(3x)≥f(2x)，即f(cx)≥f(bx)，

若x<0，则0<3x<2x<1，而f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，

∴f(3x)>f(2x)，即f(cx)>f(bx)，

综上所述，f(cx)≥f(bx)．

6

答案：f(cx)≥f(bx)．

练习1:(2015·陕西文，4改编)设f(x)＝





1－xx≥0

2xx<0

，则f[f(－2)]＝________.

答案：

1

2

练习2:设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x＝1对称，且当x≥1时，f(x)＝3x

－1，则f(

1

3

)、f(

3

2

)、f(

2

3

)的大小关系为__________．

答案：f(

2

3

)＜f(

3

2

)＜f(

1

3

)

1、把下列各式中的

a

写成分数指数幂的形式

（1）5256a；（2）428a；

答案：（1）

1

5256a；（2）

1

428a

2、计算（1）

3

29；（2）

3

216

答案：（1）33

3

2

23

22

2933327；（2）3

3

231

2

2

1

164464

64







3、求下列各式的值

（1）3

32；（2）4

42；

答案：（1）3

322；（2）4

422

4、用分数指数幂的形式表示下列各式：

（1）2aa•

（2）3

32aa•

答案：（1）

115

2

22

222aaaaaa••

；（2）

2211

3

3

323

333aaaaaa••

5、若函数223xyaa是一个指数函数，求实数

a

的取值范围。

答案：,1515,13,1515,UUU

6、函数323xy恒过定点。

答案：3,4

_________________________________________________________________________________

_________________________________________________________________________________

7

基础巩固

1．(2014～2015学年度河北刑台二中高一上学期月考)下列命题中正确命题的个数为()

①

n

an＝a；②若a∈R，则(a2－a＋1)0＝1；③

3

x4＋y3＝x

4

3

＋y；④

3

－5＝

6

－52.

A．0B．1

C．2D．3

答案：B

2．(2014～2015学年度四川成都七中实验学校高一上学期期中测试)设a>0，将

a2

a·

3

a2

写成

分数指数幂，其结果是()

A．a

3

2

B．a

1

2

C．a

5

6

D．a

7

6

答案：D

3．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)计算：2－

1

2

＋

－40

2

＋

1

2－1

－

1－50＝____.

答案：22

4．(2014～2015学年度潍坊四县市高一上学期期中测试)若a<

1

4

，则化简

4

4a－12的结果是

()

A．1－4aB．4a－1

C．－1－4aD．－4a－1

答案：A

5．(2014～2015学年度山西朔州市一中高一上学期期中测试)函数y＝ax在[0,1]上的最大值与

最小值的和为3，则a＝()

A．

1

2

B．2

C．4D．

1

4

答案:B

能力提升

8

6．(2014～2015学年度济南市第一中学高一上学期期中测试)若函数f(x)＝









fx＋2x<2

2－xx≥2

，则f(－3)的值为()

A．2B．8

C．

1

2

D．

1

8

答案：D

7．(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)函数y＝ax＋1＋1(a>0且a≠1)的图象

必经过定点________．

答案：(－1,2)

8．(2014～2015学年度山东济宁兖州区高一上学期期中测试)设f(x)是定义在R上的奇函数，

且当x>0时，f(x)＝2x－3，则当x<0时，f(x)＝________.

答案：3－2－x

9.(2014～2015学年度江苏泰州三中高一上学期期中测试)设函数f(x)＝kax－a－x(a>0且a≠1)

是奇函数．

(1)求常数k的值；

(2)若a>1，试判断函数f(x)的单调性，并加以证明．

答案：(1)函数f(x)的定义域为R.

又∵f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，

即k－1＝0，∴k＝1.

(2)当a>1时，函数f(x)是R上的增函数．

由(1)知f(x)＝ax－a－x.

设任意实数x1

f(x2)－f(x1)＝ax2－a－x2－ax

1＋a－x

1

＝ax2－ax

1＋

1

ax1

－

1

ax

2

＝ax

2－ax

1＋

ax

2－ax

1

ax

1

＋x

2

＝(ax

2－ax

1)













1＋

1

ax

1＋x

2

∵x11，∴ax

1

2，∴ax

2－ax

1>0.

又1＋

1

ax

1＋x

2

>0，

∴f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．

9

故当a>1时，函数f(x)在R上是增函数．

10.已知定义域为R的函数f(x)＝

b－2x

2x＋a

是奇函数．

(1)求a、b的值；

(2)用定义证明f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数；

(3)若对于任意t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的范围．

答案：(1)∵f(x)为R上的奇函数，

∴f(0)＝0，b＝1.

又f(－1)＝－f(1)，得a＝1.

(2)任取x1，x2∈R，且x1

f(x1)－f(x2)＝

1－2x

1

2x

1＋1

－

1－2x

2

2x

2＋1

＝

1－2x

12x

2＋1－1－2x

22x

1＋1

2x

1＋12x

2＋1

＝

22x

2－2x

1

2x

1＋12x

2＋1

，

∵x1

2－2x

1>0，

又(2x

1＋1)(2x

2＋1)>0，f(x1)－f(x2)>0.

∴f(x)为R上的减函数．

(3)∵t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，

∴f(t2－2t)<－f(2t2－k)．

∵f(x)是奇函数，∴f(t2－2t)

由于f(x)为减函数，∴t2－2t>k－2t2.

即k<3t2－2t恒成立，

而3t2－2t＝3(t－

1

3

)2－

1

3

≥－

1

3

，

∴k<－

1

3

.

课程顾问签字：教学主管签字：