有限覆盖定理

有限覆盖定理

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2023年3月5日发(作者：励志小文章)

第39卷第2期

2020年2月

Vol.39No.2

Feb.2020

绵阳师范学院学报

JournalofMianyangTeachers'College

D01：10.16276/51-1670/g.2020.02.001

有限覆盖定理证明实数完备性的其余等价定理

阿力非日，张艳

(西昌学院彝语言文化学院，四川西昌615000)

摘要：实数的七个基本定理以不同形式刻画了实数的连续性，

而用其中的一个定理(有限覆盖定理)来证明

其余六个定理成立

，能让我们更好地理解并掌握有限覆盖定理运用技巧.

关键词

：实数系完备性；有限覆盖定理；邻域；收敛

中图分类号：017文献标志码：A文章编号：1672-612X(2020)02-0001-03

0引言及预备知识

实数系的完备性是实数的一个重要特征，与之相关的7个基本定理是彼此等价的，并且是论证其他一

些重要定理(如一致连续性定理等)的依据，它们从不同的方式刻画了实数集丘的一种特性,通常称为实数

的完备性或实数的连续性,因此在理论上具有重要价值•完备性公理等价既是如果把实数分成上、下两集,当

下集里无最大值时，上集必有最小值•这说明实数具有连续性，填满了整个数轴(没有空隙).

实数完备性的七个定理：

(1)Heine-Borel有限覆盖定理:设H为闭区间[a,b]的一个无限开覆盖，则从H中可选出有限个开区

间来覆盖

(2)确界原理:设S为非空数集.若S有上界，则S必有上确界;若S有下界，则S必有下确界•

(3)单调有界定理:在实数系中,有界的单调数列必有极限•

(4)致密性定理:任何有界数列必有收敛的子列•

(5)Cauchy收敛准贝!|：妳!]

｛%｝的充要条Vs>0,3NeN*，

当>N时有an-am

(6)区间套定理:若｛[an,bn]｝是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点g,使得右e[a„,6„],

n=1,2,…，即a”gd”,n=1,2，….

(刀Weierstrass聚点定理:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点•

1具体证明过程

11有限覆盖定理证明确界定理

证明:反证法.设s为非空数集，设0#SC1?,VxeS,有x<0eS.考虑闭区间[x0,M]，假

如S无上确界，那么v%e[x0,M]:

(1)当为为S的上界时,必然有更小的上界衍<%.因而为有一开邻域厶.其中都是S的上界.

(2)当为不是

S的上界时,自然有更小的上界％2>%•于是％有开邻域其中没点都不是S

的上界.

闭区间[x0,M]上每点都可以找出一个邻域4,它要么属于第一类(每点皆为上界)，要么属于第二类

(每点皆不是上界)，令H=｛Ax|xe[x0,M]｝，则H是闭区间[”o,M]的一个开覆盖，根据有限覆盖定理,

必存在有限子覆盖

｛4,厶,•••,△”｝，易知M所在的开区间为第一类的,相邻接的开区间厶有公共点，也应

为第一类的，经过有限次邻接，

可知%0所在的开区间也是第一类的•矛盾•

收稿日期:2019-07-23

作者简介:阿力非日(1986-),男，四川凉山人，讲师，硕士，研究方向:非线性分析研究.

张艳(1988-),女，四川广安人，硕士，讲师

，研究方向:非线性分析研究.

•1•

绵阳师范学院学报（自然科学版）

故S有上确界.证毕•

1.2有限覆盖定理证明单调有界定理

证明:反证法.不妨设序列仇｝

单调递增，且％创5=1,2,…）.由｛%„

｝C

[Xl,M]

,

假设对Vxe[Xl,M]，為都不是序列｛%｝的极限.则存在％>0,对VNeN*，存在n>N,

有

xn-x>s0

.

则在〃卜,号）内只含有a”｝

的有限项.

令已=呼，寺）|xE

[X1,M]｝，则H是闭区间[X1,M]的一个开覆盖

，据有限覆盖定理知：H中有有

限个邻域q衍，萝），q”2,号），•••，%”，¥）覆盖【“Mi

，由«%,扌)(i=1,2,-,«)只含有｛%｝的

有限项.从而也只含有｛%”｝的有限项.从而推得[衍,购也只有有限个点，这与[衍,如是

无限点集矛盾•

故｛%｝必存在极限

•证毕-

13有限覆盖定理证明致密性定理

证明:反证法.设仇｝C[m,M]为有界数列，若仇｝中无收敛子列.对V%'e[m,M],仇｝中无子

列收敛于％，即Vx"e[m,M],顼>0,使U（x,8j内只含有｛%｝中至多有限项.事实上，若存在％。e

[m,M]，对任意E>0,在U（x0,8）内都含有｛%｝的无穷多项侧｛%｝必有子列收敛于和令

H=｛U（x,8x）xe[m,M]｝.

则H是[m,M]的一个开覆盖,根据有限覆盖定理，H中存在有限个邻域吐衍,％）

,•••©（%”,&”）使得覆

盖了H,当然也覆盖了[m,M]•由于每个邻域内只含有｛%｝中至多有限项，从而｛%｝只有有限项.矛盾.

故｛%„｝中必含有收敛子列-证毕■

1.4有限覆盖定理证明Cauchy收敛准则的充分性

证明:反证法.Ve>0,mN,当>N时，b”-%丨0,当n>N时,

有b”-IN时，有b”-XN+1|<1,即xN+1-1

max｛|xj,x2,x

N,x„+,x

N-1｝,则对任意的n,xn

｛%”

｝C[a,b]，假设对V%e[a,b]越都不是｛%｝的极限.则存在％>0,对任意N,存在">N，

有

x

n-x>eQ.则在才）内只含有｛%”｝的有限项.

令H

=｛〃卜，于）卜e[«,6]｝，则H是闭区间[a,b]的一个开覆盖，根据有限覆盖定理知

：H中有有

限个邻域q衍,寸），。卜,亍）"（益牙）覆盖w]

，由

q如，扌）（：=1,2,…，町只含有｛%｝的有

限项.从而2〃卜，扌）也只含有｛%｝的有限项.从而推得[a,6]也只有有限个点，这与[a,b]是无限

点集矛盾•

故｛%”｝收敛•

15有限覆盖定理证明区间套定理

证明:反证法.设｛[%』”]｝为闭区间套.但对Vx'e[如,乞]，至少存在％eN.使得％电[ak,bk],

从而存在戈，>0.使得

U(x',8X)n[ak,bk]=0.

•2•

阿力非日，等:有限覆盖定理证明实数完备性的其余等价定理

因为G={[/(%,&，)|xe[a,b]}是[如血]的一个开覆盖，故G中有限个开区间即可完全覆盖

[S,“]，记为

G

”

={久如,爲)|i=1,2,•••,“}•

其中

U(叭,6)A[ak.,bki]=0,i=1,2,•••,“,代>2.令叽=max(A:1J2,•••，则.0

[ak.,bk)=

[%，九]•于是对Vi(1

A[%，如=0.

由此得出

g*n[ako,bko]=(Qu

(如,4))n[%,%]=0.

这与G*={U(如,&)|i=1,2,•••,“}是[如,厲]的开覆盖矛盾.

1.6有限覆盖定理证明聚点定理

证明:设S是直线上的有界无限点集，于是存在a,6.使得SU[a,b].假定[a,6]中任何一点都不是

S的聚点，则对任意％e[a,b]，都存在相应的&>0,使得[/(%,&)内至多含有S的有限多个点.令

H={U(x,8x)lxe[a,b]}.

则H是[a,6]的一个开覆盖，根据有限覆盖定理，H中存在有限个邻域

U(

X1,8xl)，-,U(xn,8J使得

覆盖了

H,当然也覆盖了S.由于每个邻域内至多含有

S的有限个点

，故这n个邻域的病集也至多只含S的

有限个点•于是得到

S

为有限点集•这与题设S为无限点集矛盾•

因此，在[a,b]中至少有一点是S的聚点.

从上面的证明可知，有限覆盖定理的作用在于它是将函数在每点某邻域内的局部性质，

拓展为函数在闭区

间上所共有的性质

，体现了由“局部”推广到“整体”的特点，

运用时需构造与欲证结论有关的一个开覆盖.其重

要性在于把有限转化为无限，从而具有重大的理论价值.对闭区间成立的有限覆盖在开区间和半开半闭区

间中则不一定成立，例如，开区间集合{(詁pl)}(“=1,2,

…)构成开区间(0,1)的一个开覆盖，但不能

从中选出有限个开区间盖住(0,1)•这反映了有限覆盖定理是闭区间的_种特性:紧性，故也称有限覆盖定

理为紧性定理

■有限覆盖定理在有理数集Q内不成立，既有理数集Q不具有完备性-

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析(第四版)上册[M].北京:高等教育出版社,2010.

[2]张颖.用闭区间套定理证明实数完备性中其余五个等价命题[J].吕梁学院学报,2011,1(02)：7-10,

[3]梁俊奇.论实数系完备性定理的和谐美[J].商丘师范学院学报,2010,26(12):121-122.

[4]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法(第二版)[M].北京:高等教育出版社,2006.

TheFiniteCoveringTheoremProvestheOtherEquivalent

TheoremsoftheCompletenessofRealNumbers

ALi-Feiri,ZHANG

Yan

(YiLanguageandCultureInstitute,Xichang

University,Xichang,Sichuan615000)

Abstract:Sevenbasictheoremsofrealnumberscharacterizethecontinuityofrealnumbers

indifferentforms.

Byusingoneofthetheorems(finitecoveringtheorem)toprovetheothersixtheorems,wecanbetterunderstand

andmastertheskillsoffinitecoveringtheorem.

Keywords:completenessofrealnumbersystem,finitecoveringtheorem,neighborhood,convergence

(责任编辑:陈英)

•3•