实对称矩阵
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2023年3月5日发(作者：灰色关联法)课程教育研究
CourseEducationResearch
2021年第40期
一尧实对称矩阵的定义及其性质
在学习综合评价和机器学习等课程的学习过程
中袁难免会与矩阵打交道袁而实对称矩阵更是其中常用
的一类特殊矩阵遥虽然实对称矩阵的定义比较简单院若
实矩阵A满足A
T=A袁则我们称其为实对称矩阵袁但实
对称矩阵具有非常好的性质
[1-3]院
渊1冤实对称矩阵A的特征值都是实数袁特征向量都
是实向量遥渊2冤实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量
是正交的遥渊3冤实对称矩阵A可相似对角化且其特征值为相
似对角化矩阵对角线的元素遥渊4冤设姿是A的重特征值袁则其几何重数等于代数
重数遥渊5冤实对称矩阵A一定可正交相似对角化遥
渊6冤设A的特征值为姿n臆噎臆姿2臆姿1袁则对于任意
的x沂R
n袁都有院
姿nxTx臆xTAx臆姿1xTx
二尧实对称矩阵的应用
主成分分析是一种降维方法袁其思路是利用数学
方法找出几个新的变量来替代原来线性相关的变量袁
同时尽可能地代表原来变量的信息
[4]遥主成分分析的处
理方法是将原来的变量做线性组合袁作为新的综合变
量袁首先将选取的第一个线性组合即第一个综合变量
记为F
1袁自然的我们希望它尽可能多的反映原来变量
的信息袁这里野信息冶用方差来测量袁即希望Var渊F
1冤越
大袁表示F
1
包含的信息越多遥如果第一主成分不足以
代表原来n个变量的信息袁再考虑选取第二主成分F
2袁
为了有效的反映原来信息袁F
1
已有的信息就不需要再
出现在F
2
中袁用数学语言表达就是要求Cov渊F
1袁F2冤=0袁
依此类推可以构造出第三尧四噎噎第p个主成分遥
对于一个样本资料袁观测n个变量x
1,x2,噎,xn袁m个
样品的数据资料阵为院
X=
x11x12噎x1nx21x22噎x2n
左左左左
xm1xm2噎xmn
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
=渊x1,x2,噎xn冤
其中院x
j=
x1jx2j
左
xmj
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
袁j=1,2噎n
主成分分析就是将n个观测变量综合成为n个新
的变量渊综合变量冤袁即F1=a11x1+a12x2+噎+a1nxnF2=a21x1+a22x2+噎+a2nxn噎
Fn=an1x1+an2x2+噎+annxn
扇
墒
设
设
设
设
设
设
设
缮
设
设
设
设
设
设
设
简写为院Fj=琢j1x1+琢j2x2+噎+琢jnxn袁j=1袁2袁噎袁n
要求成分之间满足以下条件院淤Fi袁Fj
互不相关渊i屹j袁i袁j=1袁2袁噎袁n冤于F1
的方差大于F
2
的方差大于F
3
的方差袁依次类
推盂ak1
2+ak2
2+噎+akn
2=1袁k=1袁2袁噎n.
利用矩阵乘法可记为院F=AX
其中
实对称矩阵的性质及其应用
薛建明1胡兴凯2渊通讯作者冤
渊1.昆明理工大学津桥学院云南昆明6501062.昆明理工大学理学院云南昆明650500冤
揖摘要铱实对称矩阵实一类特殊的方阵袁是线性代数或是高等代数课程教学过程中的重点和难点之一袁本文
梳理了实对称矩阵的性质袁给出了实对称矩阵在主成分分析法中的应用袁最后给出了例子来展示主成分分析法
的运用袁丰富了实对称矩阵的教学内容遥
揖关键词铱实对称矩阵主成分分析综合评价
揖基金项目铱2019年云南省教育厅科学研究基金项目野矩阵奇异值与酉不变范数不等式的研究冶渊项目编号院2019J
0350冤遥
揖中图分类号铱O178;O177.1揖文献标识码铱A揖文章编号铱2095-3089渊2021冤40-0158-02
课例窑研究
158窑窑
CourseEducationResearch
课程教育研究2021年第40期
F=AXF=
F1F2
Fn
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
袁A=
a11a12噎a1na21a22噎a2n
an1an2噎ann
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
=
琢1琢2
琢n
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
袁
X=
x1x2
xn
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
主成分F=AX的协差阵为院Var渊F冤=Var渊AX冤=渊AX冤窑渊AX冤T=AXXTAT=撰=
姿1姿2埙
姿p
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
设原始数据的协方差阵为V=R=XX
T袁若能够满足
条件盂袁最好要求A为正交矩阵袁即院AAT=I
将原始数据的协方差代入主成分的协差阵公式得Var渊F冤=AXXTAT=ARAT=撰
展开上式得院
a11a21噎ap1a12a22噎ap2
a1pa2p噎app
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
r11r12噎r1pr21r22噎r2p
rp1rp2噎rpp
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
a11a21噎ap1a12a22噎ap2
左左左左
a1pa2p噎app
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
T
=
姿1姿2埙
姿p
晌
尚
上
上
上
上
上
上
裳
捎
梢
梢
梢
梢
梢
梢
注意到V=R=XX
T
是一个实对称矩阵袁由上面的等
式袁我们想到矩阵A可能是实对称矩阵的正交相似变
换矩阵袁对角矩阵撰是其特征值所按降序排列之后生
成的矩阵遥
于是袁根据实对称矩阵的性质可知袁主成分分析中
的主成分协方差应该是对角矩阵袁其对角线上的元素
恰好是原始数据相关矩阵的特征值袁而主成分系数矩
阵A的元素则是原始数据相关矩阵特征值相应的特征
向量遥于是袁解释变量渊x
1,x2,噎,xn冤经过变换后得到新的
综合变量院F1=a11x1+a12x2+噎+a1pxpF2=a21x1+a22x2+噎+a2pxp噎
Fp=ap1x1+ap2x2+噎+appxp
扇
墒
设
设
设
设
设
设
设
缮
设
设
设
设
设
设
设
新的随机变量F
i
间是彼此正交的袁且方差依次递
减遥
接下来袁我们来看看主成分分析在综合评价方面
的应用袁表1是某市人民医院1995至1997年的医疗
质量数据袁采用主成分分析法对某市人民医院1995至1997年的医疗质量进行综合评价遥
年度
床位周转
次数
床位周转率
（%）
平均
住院日
出入院诊断
符合率（%）
手术前后诊断
符合率（%）
三日确诊率
（%）
治愈好转率
（%）
病死率
（%）
危重病人抢救
成功率（%）
院内感染率
（%）
199520.97113.8118.7399.4299.8097.2896.082.5794.534.60
199621.41116.1218.3999.3299.1497.0095.652.7295.325.99
199719.13102.8517.4499.4999.1196.2096.502.0296.224.79
利用主成分分析法可得第一主成分院F1=0.1656x1+0.9710x2+噎+0.0543x4
第一主成分的贡献比为98.25%袁各年度第一主成
分的得分分别为3.0186袁5.3068袁-8.325袁由此可知1996
年的医疗质量最好遥
参考文献院[1]北京大学数学系前代数小组.王萼芳,石生明,修
订,高等代数渊第五版冤[M].北京院高等教育出版社,2019:153-154
[2]安军,蒋娅.高等代数[M].北京院北京大学出版社,
2016:348-350
[3]丘维声.高等代数渊下册冤[M].北京院北京大学出
版社,2016:198-199[4]杨虎,刘琼荪,钟波.数理统计[M].北京院高等教育
出版社,2004:199-206
作者简介院
薛建明渊1982年-冤袁女袁山东高唐人袁硕士袁副教授袁
研究方向院矩阵理论遥
胡兴凯渊1982年-冤袁男袁山东泰安人袁博士袁讲师袁研
究方向院算子不等式遥
表1某市人民医院1995至1997年的医疗质量数据
课例窑研究
左
左
左噎
左
左
左
左
左噎
左
左
左
噎
左
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