极限存在的条件
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2023年3月5日发(作者：步进电机驱动器接线图)§3.3函数极限存在的条件
§3函数极限存在的条件
Ⅰ.教学目的与要求
掌握函数极限存在的归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相
关命题.
掌握函数单侧极限存在的单调有界定理并会利用其求极限、证明相关命题.
Ⅱ.教学重点与难点:
重点:归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则.
难点:归结原则、柯西(Cauchy)收敛准则的证明及应用.
Ⅲ.讲授内容
与讨论数列极限存在的条件一样，我们将从函数值的变化趋势来判断其极限的存在
性．下面的定理只对
0
xx.这种类型的函数极进行论述，但其结论对其它类型的函数极限
也是成立的．下述归结原则有时称为海涅(Heine)定理．
定理3．8(归结原则)设f在'
0
0;xU内有定义．xf
xx
0
lim
存在的充要条件是：
对任何含于'
0
0;xU且以
0
x为极限的数列
n
x，极限
n
n
xf
lim都存在且相等．
证[必要性]设xf
xx
0
lim
=则对任给的0，存在正数'，使得当
0
0xx时，有xf.
另一方面，设数列
n
x
'
0
0;xU且
0
limxx
n
n
，则对上述的0，存在0，
使得当n时有
0
0xx
n
，从而有
n
xf．这就证明了
n
n
xflin.
[充分性]设对任何数列
n
x
'
0
0;xU且
0
limxx
n
n
，有
n
n
xflin，则可
用反证法推出
n
n
xflin．事实上，倘若当
0
xx时f不以为极限，则存在某
0
0
，对任何0(不论多么小)，总存在一点
x
，尽管||0
0
xx，但有
0
|)(|Axf(§1习题2)．现依次取,,,
3
,
2
,
n
，则存在相应的点
,,,,,
321n
xxxx，使得
.,2,1,|)(|,||0
00
nAxf
n
xx
nn
而
显然数列
);(}{
0
xUx
n
且
0
limxx
n
n
，但当
x
时
)(
n
xf不趋于A．这与假设相
矛盾，所以必有.)(lim
0
Axf
xx
.
注1归结原则也可简述为：
§3.3函数极限存在的条件
Axf
xx
)(lim
0
对任何Axfnxx
n
n
n
)(lim)(
0
有．
注2若可找到一个以
0
x为极限的}{
n
x,使)(lim
n
n
xf
不存在,或找到两个都以
0
x为极
限的数列}{
n
x
与}{
n
x
，使)(lim
n
n
xf
与)(lim
n
n
xf
都存在而不相等，则)(lim
0
xf
xx
不存在．
例1证明极限
xx
1
sinlim
0
不存在．
证设),,2,1(
2
2
1
,
1
n
n
x
nx
x
nn
则显然有
),(0,0
nxx
nn
).(11
1
sin,00
1
sin
n
xx
nn
故由归结原则即得结论．
函数
x
y
1
sin上的图象如图3—4所示，由图象可见，当
0x时，其函数值无限次地在—1与1的范围内振荡，而不趋
于任何确定的数．
归结原则的意义在于把函数极限归结为数列极限问题来处
理．从而，我们能应用归结原则和数列极限的有关性质，来证明
上一节中所述的函数极限的所有性质．
对于xxxxx,,
00
和
x
这四种类型的单侧极限，相应的归结原则可
表示为更强的形式．现以
0
xx这种类型为例阐述如下：
定理3.9设函数f在点
0
x的某空心右邻域)(
0
xU
有定义．.)(lim
0
Axf
xx
的充要条
件是：对任何以
0
x为极限的递减
．．
数列
)(}{
0
xUx
n
，有Axf
n
n
)(lim.
这个定理的证明可仿照定理3．8进行，但在运用反证法证明充分性时，对的取法要
作适当的修改，以保证所找到的数列}{
n
x能递减地
．．．
趋于
0
x．证明的细节留给学生作为练习．
相应于数列极限的单调有界定理，关于上述四类单侧极限也有相应的定理．现以
0
xx这种类型为例叙述如下：
定理3．10设f为定义在)(
0
xU
上的单调有界函数，则右极限)(lim
0
xf
xx
存在．
证不妨设f在)(
0
xU
上递增．因f在
)(
0
xU
上有界，由确界原理，)(inf
)(
0
xf
xUx
存
在，记为A．下证Axf
xx
)(lim
0
．
§3.3函数极限存在的条件
事实上，任给0，按下确界定义，存在)(
0
xUx
，使得
Axf)(．取
0
0
xx，则由f的递增性，对一切);(),(
00
xUxxx
，有
Axfxf)()(
另一方面，由)(xfA，更有)(xfA．从而对一切
);(
0
xUx
有
AxfA)(，
这就证得Axf
xx
)(lim
0
．
最后，我们叙述并证明关于函数极限的柯西准则．
定理3．11(柯西准则)设函数f在);(
0
xU内有定义.)(lim
0
xf
xx
存在的充要条件是:
任给0,存在正数)(
,使得对任何
);(,
0
xUxx
有
|)()(|xfxf.
证必要性设Axf
xx
)(lim
0
，则对任给的0,存在正数)(
,使得对任何
);(
0
xUx有
2
|)(|
Axf.于是对任何);(,
0
xUxx
有
22
|)(||)(||)()(|AxfAxfxfxf.
充分性设数列
);(}{
0
xUx
n
且
0
limxx
n
n
.按假设，对任给的0，
存在正数)(
，使得对任何
);(,
0
xUxx
，有
|)()(|xfxf．由
于
)(
0
nxx
n
，对上述的0，存在0N，使得当Nmn,时有
);(,
0
xUxx
mn
，从而有
|)()(|
mn
xfxf
于是，按数列的柯西收敛准则，数列
)}({
n
xf的极限存在，记为A，即Axf
n
n
)(lim．
设另一数列
);(}{
0
xUy
n
且
0
limxy
n
n
，则如上所证，)(lim
n
n
yf
存在，
记为B．现证AB．为此，考虑数列
,,,,,,,:}{
2211nnn
yxyxyxz
易见
);(}{
0
xUz
n
且
0
limxz
n
n
(见第二章§1例7)．故仍如上面所证，
)}({
n
zf也收敛．于是，作为)}({
n
zf的两个子列，)(
n
xf与)(
n
yf必有相同
§3.3函数极限存在的条件
的极限．所以由归结原则推得Axf
xx
)(lim
0
。
按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限)(lim
0
xf
xx
不存在的充要条件：存
在0
0
，对任何0(无论多么小)，总可找到x
，),;(
0
0xUx
使得
.|)()(|
0
xfxf
如在例1中我们可取,1
0
对任何,0设正整数n>,
1
令
,
2
1
,
1
n
x
n
x
则有
);0(,Uxx
，而.1|
1
sin
1
sin|
0
xx
于是按柯西准则，极限
xx
1
sinlim
0
不存
在.
Ⅳ小结与提问:本节要求理解掌握函数单侧极限存在的单调有界定理、函数极限存在的归结
原则、柯西(Cauchy)收敛准则，并会利用它们求极限、证明相关命题.
Ⅴ课外作业:
55
P2、3、4、5、7、8.