条件期望

发布时间：2023-06-11 作者：admin 来源：文学

条件期望

2023年3月5日发(作者：财务制度)

实用标准文案

文档

条件期望的性质和应用

摘要：条件数学期望（以下简称条件期望）是随机分析理论中十分重要的概念，在理论实际

上都有很重要的应用。本文首先分析了条件期望的几种定义和性质，进而研究了条件期望的

求法，最后举例分析条件期望在实际问题中的应用。

关键词：条件期望；定义；性质；应用

条件期望是现代概率体系中的一个重要概念。近年来，随着人们对随机现象

的不断观察和研究，条件期望已经被广泛的利用到日常生活中，尤其值得注意的

是条件期望在最优预测中的应用。现代概率论总是从讲述条件期望开始的。鉴于

此，在分析条件期望的几种定义时，通过比较它们的优缺点，使初学者在充分认

识条件期望的基础上，由非条件期望的性质学习顺利过渡到条件期望性质的学

习，实现知识的迁移。通过研究条件期望的求法，从而提高计算能力与解题技巧。

条件期望不仅在数学上有重要的价值与意义，还在生物、统计、运筹和经济管理

等方面有着重要的作用与贡献。总之，研究条件期望的性质和应用不仅有助于学

生对数学的学习，而且还有利于进一步探索科学的其它领域。

1条件期望的几种定义

1.1条件分布角度出发的条件期望定义

从条件分布的角度出发，条件分布的数学期望称为条件期望。

由离散随机变量和连续随机变量条件分布的定义，引出条件期望的定义。

定义1离散随机变量的条件期望

设二维离散随机变量(X,Y)的联合分布列为,

ijj

pPXxYy，

1,2,,1,2,.ij，对一切使

jjij

PYypp







的

y，称



|

(),1,2,j

ijij

PXxYy

pPXxYyi

PYy









为给定

Yy条件下X的条件分布列。

此时条件分布函数为)

jij

xxxx

FxyPXxYyp



；

同理，对一切使

iiij

PXxpp







的

x，称



j|i

,1,2,j

PXxYy

pPYyXxj

PXx









为给定

Xx条件下Y的条件分布列。

此时条件分布函数为

iji

yyyy

FyxPYyXxp



。

故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下

)

EXYyxPXxYy或

EYXxyPYyXx。

定义2连续随机变量的条件期望

设二维连续随机变量（X,Y）的联合密度函数为(,)pxy，边际密度函数为

()

px和()

py。

对一切使()

py>0的y，给定Yy条件下X的条件分布函数和条件密度函数

分别为

(,)

()

puy

Fxydu

py

，



pxy

；

同理对一切使

px>0的x，给定X=x条件下Y的条件分布函数和条件密度

函数分别为

(,)

()

pxv

Fyxdv

px

，



pxy

pyx

。

故条件分布的数学期望（若存在）称为条件期望，定义如下

()EXYyxpxydx



或()EYXxypyxdy



。

1.2测度论角度出发的条件期望定义

借助测度论这一数学工具，给出了随机变量在给定子代数下条件期望的一

般性定义——公理化定义，通过讨论，还可同时发现它的两条等价性定义。

引理1若X是可积(或积分存在)随机变量，则必存在惟一的(不计几乎处处

相等的差别)可积(相应地，积分存在)的

可测随机变量Y，它满足

YdPXdPAG(1)

定义3(公理化定义)设X是概率空间(,,)FP上的可积(或积分存在)随机

变量，G是F的子代数，则X关于G的条件期望()EXG是满足以下两条件的

随机变量：

(i)()EXG是

可测的；

(ii)(),

EXGdPXdPAG。

特别地，当

()GY

时，也称()EXG为

关于随机变量

的条件期望，记

为()EXY。

由引理1，条件期望()EXG=

就是由(1)式定义的符号测度v关于

的

Radon导数。

由定义3看出，条件期望是通过积分等式(1)确定的，根据积分性质易知，

两个几乎处处相等的函数的积分是相等的。因此，条件期望的确定以及许多有

关条件期望的论断都是不计几乎处处相等的差别的，从而涉及的关系式都是几乎

处处相等意义下的。

由上面的讨论，我们有如下的等价定义：

定义4设

是概率空间

(,,)FP

上的可积(或积分存在)随机变量，

是

的

子代数，则

关于

的条件期望

是满足以下两条件的随机变量

(i)Y是

可测的；

(ii),

YdPXdPAG。

定义5设X是概率空间

(,,)FP

上的可积(或积分存在)随机变量，

是F

的子代数，则

关于

的条件期望()EXG是满足以下两条件的随机变量：

(i)()EXG是

可测的；

(ii),

EEXGIEXIAG







。

上述三个定义虽然表达式有所不同，但其本质是相同的，且都是以公理化的

形式给出的，显得比较抽象，增加了定义的理解难度。

1.3几何角度出发的条件期望定义

从几何的角度，利用投影定理这一数学工具，给出条件期望的几何定义。

引理2(投影定理)如果M是Hilbert空间H的一个闭线性子空间,且xH,

那么

(i)存在惟一元素

xM

,使得inf

xxxy



,

(ii)xM且inf

xxxy



成立的充分必要条件是xM,

xxM

,其

中是Hilbert空间上的范数,M是M的正交补。称x为x在M上的正交投

影,记为

P。

实Hilbert空间2(,,)LFP内积定义为,()XYEXY。

引理3记():(,,)PPLFLF；():(,,)PPLGLG，则()PLG是()PLF的子空

间。

于是,特别地,2()LG是2()LF的闭子空间。

定义6(几何定义)以22(,,)(,,)LFPXEXGLGP



表示2(,,)LFP

到2(,,)LGP中的正交投影，则任给2(,,)XLFP,

EXG



称为给定

时

的条件期望。

2条件期望的性质

2.1一般性质

因为条件数学期望是数学期望的一种特殊形式，所以它具有一般的非条件数

学期望的所有性质。

性质1若c是常数，则

()Ecc

；

性质2对任意常数a，有

()()EaXaEX

；

性质3对任意的两个函数

()gx和

()gx，有



1212

()()()()EgXgXEgXEgX；

性质4若X、Y相互独立，则

()()()EXYEXEY

。

根据此定理，运用归纳法，易得下列推论：

推论1

11221122

()()()()

nnnn

EaXaXaXbaEXaEXaEXb，

其中

,,,,

aaab均是常数时，特别有

1212

()()()()

EXXXEXEXEX。

推论2若

,,,

XXX相互独立，则

1212

(...)()()...()

EXXXEXEXEX。

注意：对于“和”，不要求

,,,

XXX相互独立，对于“积”，则要求

,,,

XXX相互独立。

2.2特殊性质

从条件期望的这几种定义出发还可得到以下性质。

性质1

11221122

()()()EaXaXGaEXGaEXG,其中

,aaR，且假定

1122

EaXaXG

存在；

证明：根据条件期望的定义5，由于

(),()EXGEXG都

可测，所以

1122

()()aEXGaEXG也

可测；

其次，令,1,2

GAGEXIi





，则

,1,2

iAiA

AGEEXGIEXIi









，

所以

11221122

(()()),

EaEXGaEXGIEaXaXIAG









这表明

1122

()()aEXGaEXG是

1122

aXaX关于G的条件期望，从而证得

11221122

()()()EaXaXGaEXGaEXG。

性质2如果

,XY

关于

为可积时，如果XY(..)as

，则EXGEYG

(..)as；

证明：令[]AEXGEYG

,1

[]

AEXGEYG



，则

AA。

由于,XY关于

为可积，所以,

G，

EXI



,



EYI



,因而

11

0()()

nAA

PAEIEEXGEYGI







()()

EEXGEYGI









()

EEXYGI









()

EXYI









0

于是0

PA，从而0PA。这表明

EXGEYG(..)as

性质3如果X关于

为可积时，EXGEXG(..)as；

证明：因为,XX关于

为也可积，且,XXXX，所以由条件

期望的特殊性质2可知，()()EXGEXG(..)as，

()()EXGEXG(..)as

又由条件期望的特殊性质1可知，()()EXGEXG(..)as

所以，EXGEXG(..)as。

性质4（全数学期望公式）()EEXGEX







；

证明：若()XG为离散型的随机变量时，

()

EEXGEXGbpGb









()()

iijj

apXaGbpGb











(,)

iij

apXaGb

()EX

若()XG为连续型的随机变量时，

()()

EEXGEXGypydy









[()]()

xpxydxpydy





()()

xpxypydxdy





(,)xpxydxdy







[(,)]xpxydydx







()

xpxdx





()EX

性质5如果X为G可测，则()EXGX；

证明：这是条件期望的定义5的显然推论。

特别当XC（常数）时，()ECGC(..)as。

性质6如果X与代数G独立，则()()EXGEX；

证明：设,XG是二维连续型随机变量，由独立性有

,

pxypxpy，

其中,pxy，

px，

py分别是,XG的密度函数和边际密度函数，这时条

件密度函数,

pxypx，于是当Gy时，



EXGyxpxydx









xpxdxEX





，

上式对一切y成立，所以()()EXGEX。

在此仅就连续型的情况进行证明，而离散型的可类似证明。

性质7若关于

为可积，Y为

可测且有限时，则

EXYGYEXG(..)as.

证明：为了证明EXYG

有意义，首先须证

关于

为可积。

由于X关于

为可积，所以,,

nnA

AGAEXI

。由于Y为

可

测且有限，所以令

BYn

时

BG且

B。令

nnn

AB，则

G，

，并且



EXYInEYI





因此，XY关于

为可积。

于是存在..as唯一的

可测随机变量EXYG

，使得

,

AGEEXYGIEXYI









，

这里A

GAGEXYI



，于是AG



，



EEXYGIIEXYII









。

又因

EXYGI



为

可测，所以由上式知，

EXYGI



是

XYI



关于

的

条件期望。于是

EXYGIEXYIG



(..)as

由于

nnn

XYIXIYI



，,

nnnn

XYIXIYIEXI



，



为

可测，所以

()()

nnn

EXYIGYIEXIG



(..)as。

对于X，由于它关于

为可积，所以同样可以得到

()()

EXGIEXIG



(..)as，

于是，()()

nnn

YIEXIGYIEXG



(..)as。

综上所证，得()()

EYXGIYIEXG



(..)as，

令n，则由上式得EXYGYEXG(..)as。

性质8如果

G是代数G的子代数，则11

()EEXGGEXG







；

证明：显然，

关于

也可积。为了证明

EEXGG





有意义须证

EXG

关于

G为可积。

由于

关于

G为可积，所以

G，

EXI



。又因

()

EEXGIEXI







，这里A

AAGEXI

，并注意到

GG，所

以()

EEXGIEXI









。

这表明EXG

关于

G为可积。

既然()

EXI



，所以由条件期望的特殊性质4可知，

11

()

EXIGEEXIGG









(..)as

因



为

G可测，所以由条件期望的特殊性质7，

111

()()

nnn

EXGIEXIGEEXIGG









11

EIEXGGEEXGGI









(..)as

令n，则由上式得

()EEXGGEXG







(..)as

引理4随机变量X和Y的相关系数,XY在坐标平移变换中保持不变。

证明：设平移变换

,XXaYYb，（,ab为常数）

由期望和方差的性质易知







()

EXEXYEY

DXDY















1111

()EXaEXaYbEYb

DXaDYb















1111

()EXEXYEY

DXDY











,XY

性质9（增减性）设X和Y是随机变量，

(i)当EYXx

是x的减函数时，则,0XY；

(ii)当EYXx

是x的增函数时，则,0XY；

(iii)当EYXx是常数时，则,0XY。

证明：由引理知相关系数,XY在平移变换中保持不变，故不妨设

()()0EXEY。

因为

()()()

()()

EXYEXEY

DXDY







，故,XY的符号只决定于

()EXY

的符

号。

(i)若()EYXx是x的减函数，任取非零实数

xx，

如果

0x，有

()(0)EYXxEYX(2)

如果

0x，有

()(0)EYXxEYX(3)

若(2)式成立，当

0xx，则有

()()(0)EYXxEYXxEYX

故也有()(0)xEYXxxEYX。

又当

xx，即

0xx，则有()(0)EYXxEYX；

0xx，则有()(0)EYXxEYX。

故也有()(0)xEYXxxEYX。

使用Lebesgue-Stieltges积分表示则有

()()()

EXYxEYXxdFx





()()()()x

xEYXxdFxxEYXxdFx





(0)()(0)()x

xEYXdFxxEYXdFx





(0)()

EYXxdFx





(0)()EYXEX

0

故,0XY

当不等式(3)成立时，用类似的方法同样可证。为节省篇幅，不再赘述。

(ii)若()EYXx是x的增函数，任取非零实数

xx，

如果

0x，有若()EYXx是x的减函数，任取非零实数

xx。

如果

0x，有

()(0)EYXxEYX(4)

如果

0x，有

()(0)EYXxEYX(5)

若(4)式成立，当

0xx，则有

()()(0)EYXxEYXxEYX

故也有()(0)xEYXxxEYX。

又当

xx，即

0xx，则有()(0)EYXxEYX；

0xx，则有()(0)EYXxEYX。

故也有()(0)xEYXxxEYX。

使用Lebesgue-Stieltges积分表示则有

()()()

EXYxEYXxdFx





()()()()x

xEYXxdFxxEYXxdFx





(0)()(0)()x

xEYXdFxxEYXdFx





(0)()

EYXxdFx





(0)()EYXEX

0

故,0XY

当不等式(5)成立时，用类似的方法同样可证。

(iii)当()EYXxconstk

()()()

EXYxEYXxdFx





()

kxdFx





()kEX

0

故(,)0XY。

综上所述，可知条件期望()EYXx关于变量x的增减性，决定了相关系数

(,)XY的符号。

3条件期望的重要定理

定理1（单调收敛定理）若..

XXas，则在

{()}EXG上，有

()lim()

EXGEXG





；

证明：显然，

X关于

为可积。由条件期望的特殊性质2可知，

0..

EXGas

，所以..as存在

lim()

EXG



。

在极限不存在的

上补定义为

，这样就得倒一个

可测的随机变量

lim()

EXG



,令A

GAGEXI



，由积分单调收敛定理，





，

[lim()]lim[()]

nAnA

EEXGIEEXGI





lim()

EXI





[(lim)]

EXI







EXI

这表明

lim()

EXG



是



关于

的条件期望，因而

lim()()

EXGEXG





定理2（控制收敛定理）若

XY，.as，

可积，且

XX，.as或p，则

lim()0

EXXG





；

证明：显然，,

XX关于

为可积。

令

sup

nnk

X





，

inf

nnk

X







，则

YYX且0

YYX(..)as

由条件期望的单调收敛定理可知



EYGEYXG

且n

EYGEYXG(..)as

因而由条件期望的特殊性质1可知



EGEXG

且n

EGEXG(..)as

又由条件期望的特殊性质2可知



nnn

EGEXGEG(..)as

所以，

EXGEXG(..)as

故

lim()0

EXXG





定理3（均方误差最小定理）设Y是(,,)FP上的任一随机变量，2EY，G

是F的一个子代数，则对每个G上可测函数2ZEZ

有

2

2EYZEYEYG









（6）

式中等号当且仅当ZEYG

，..as时成立。

证明：因为EZEYG，是

可测的，故有

0EZEYGYEYGGZEYGEYEYGG







..as

22

22EYZEYEYGEZEYGEYEYGZEYG













22EYEYGEZEYG









故得2

2EYZEYEYG









这也证明了（6）式成立的充要条件是20EZEYG









，

即ZEYG

，..as

说明：在最小二乘（均方）意义下，已知

的条件下，EYG

，..as是Y的

最佳预测。通常当观察到GXx时，EYx

是一切对Y的估计值中均方误

差最小的一个，则称之为

关于

的回归。特别当

XXX，GX则

在nRR的一切可测函数g中，在最小二乘意义下，

EYXX

是Y的最佳预

测。

4条件期望的求法

在现代概率论体系中，条件期望的概念只是一种理论上的工具，在其定义中

没有包含算法，所以求条件期望概率往往很难，需要技巧。本文对几种不同情形

下的条件期望的求法做出讨论。

方法一：利用问题本身所具有的某种对称性求解

例1设

,,,

XXX是独立同分布随机变量，

EX,记



，求

(),1,2,,

EXSkn。

解：首先证()(),

EXSEXSij。

()

EXS关于S可测，()

EXS关于S可测，为此只需证

AS,

()()

EXSdpEXSdp即可。

由

()()

iijj

AAAA

EXSdpXdpXdpEXSdp，

可知ij时，()()

EXSEXS几乎处处成立。

从而

()()

EXXXSnEXSS，即

(),..1,2,,

EXSaskn



。

方法二：利用线性变换将随机变量分解为关于作为条件的域可测或独立的

随机变量之和,利用条件期望的性质求和。

例2设有正态样本2

,,,~(0,)

XXXN，统计量



，求2()

EXT。

解：令2



，则2

()()

EXTEST



。

作正交变换：















，其中C为正交阵，第一行为









，

则有

0EY

，(,)T

CovXYCCI，即T与2



独立，2~(0,),2,,

YNkn，

从而

222

112

nnn

kkk

SXYY



。

2T关于()T可测，所以2

()

EXTEST



[()](1)

EYT

nnnn







方法三：通过猜想，再利用公理化定义证明。

例3设X服从标准正态分布，其概率函数2

xFxedtxR







，求

()EXX

。

解：设1{}(,)AXxxR

,则A是一个类。



AAEXXdPIXdP





令1

BAAXEXdP















,则AB。

下面先证B是一个类，

（i）若AB，则

()()()0

cAA

EXXdPEXXdPEXXdP



，即

cAB。

（ii）若AB，BB，且

AB

，则

()()()0

ABAB

EXXdPEXXdPEXXdP



即

ABB

。

（iii）若

A，且

AB，则

lim

()lim()

EXXdPIAEXXdP















lim()

IAEXXdP







lim()

IAEXXdP





0

即lim

AB。

综合（i）、（ii）、（iii）可知B是一个类，由

定理可知，BX

从而AX

，()0

EXXdPdP，又

关于X可测，即

()0,..EXXas

从以上例题可以看出，条件期望的求法是一个复杂的问题，在具体的情形下

我们必须从问题本身出发去寻求解决问题的方法，通过化简，将其转化为可测或

独立于代数的随机变量，然后运用条件期望的性质求解。以上从三个方面给出

了求解条件期望的三种途径，也是较多时候可以采用的三种途径。

5条件期望的应用

5.1利用条件期望计算数学期望

由条件期望的定义1可知，要计算EX，可取在条件Yy下，X的条件期

望的加权平均，加在每一项()EXYy的权重等于作为条件的那个事件的概率，

这是一个极为有用的结果，采用这种对适当的随机值先“条件化”的方法，往往

能够较容易地把数学期望计算出来。下面举例说明其用法。

例4假设一天内进入某景点的游客人数均值为50的随机变量，进一步假设

每个游客消费的钱数为6元的独立的随机变量，且每个顾客消费的钱数与一天内

进入景点的游客数也是独立的，求某天游客总消费钱数的期望值。

解：令

表示进入这个景点的游客人数，令

X表示第i个游客在这个景点消

费的钱数，则所有游客消费的钱数为



，现在有

()

EXEEXN



















而

()

EXNnEEXnEX











(由

X与

的独立性知)

其中

EXEX。这意味着

()

EXNNEX



，因此



()506300

EXENEXENEX











故由上面的结果可知，某天有课总消费钱数的期望值为300元。

例5一矿工被困在有三个门的矿井中，第一个门通过一坑道，沿此坑道走3

小时可使他到达安全地点；第二个门通到使他走5小时后又转回原地的坑道；第

三个门通到使他走7小时后回原地的坑道。如设这矿工在任何时刻都等可能地选

定其中一个门，试问他到达安全地点平均要花多长时间？

解：令

表示该矿工到达安全地点所需时间（单位：小时），

表示他最初

选定的门，应用全数学期望公式，有

EXEEXY







112233EXYPYEXYPYEXYPY

1

123

EXYEXYEXY







，

易知13EXY

；

现在考虑计算2EXY

。设该矿工选择第二个门，他沿地道走5小时后又

转回原地，而一旦他返回原地，问题就与当初他还没有进第二个门之前一样。因

此，他要到达安全地点平均还需要EX小时，故

25EXYEX

；

类似地，有37EXYEX

，

从而

357

EXEXEX





。

解得15EX。

所以他到达安全地点平均要花15小时。

此类问题同游客在旅途中平安脱险所用时间的解决方法类似，不再一一做一

说明。

例6箱内有a个白球和

个黑球，每次从中随机地取出一球，直到首次取得

白球为止，求被取出的黑球的平均数。

解：设X表示被取出的黑球数，记

,ab

MEX，定义

1Y，如第一个被抽出的球是白色；

0Y

，如第一个被抽出的球是黑色。

则

1100

MEXEXYPYEXYPY

。

但是10EXY

，



EXYM





，

0





于是

,,1

abab

ab





，



,1,0

11aa







,2,1

21aa





。

用归纳法易证

,1ab





。

5.2利用条件期望求随机变量的方差

因为对任一随机变量

，有公式2

2DXEXEX





，因此可用条件期

望来计算方差。

例7若保单持有人在一年保险期内发生意外事故死亡，赔付额为100000元；

若属于非意外死亡，赔付额为50000元；若不发生死亡则不赔付。根据历史数据

记录，发生意外和非意外死亡的概率分别是0.0005和0.0020，试讨论第i张保单

理

赔的概率分布。

解：用I表示理赔次数，1I表示有死亡事故发生需要赔付；

0I

则表示事故发生不需要赔付。

若用A表示需要赔付的数额，A不再是一个常数，而是一个与I有关的随

机变量，依题意有

1,1000000.0005PIA，0,500000.0020PIA

而且令1qPI，

则11,1000000,500000.0025qPIPIAPIA，

10110.9975qPIPI。

因此，记

XIA，其中A的条件分布概率为

5000010.8PAI

，10000010.2PAI

且有

EXEEXI







0011

PIEXIPIEXI

101qqEAI

5qPAIPAI







0..81000000.2

150

则2

iii

DXEXEX





2

EEXIEX









2

220011

iii

PIEXIPIEXIEX





2

1150qEAI

22220..81000000.2150

4977450

例8接连做一独立重复试验，每次试验成功的概率为p。设X表示出现首

次成功所需的试验次数，求DX。

解：设1Y，如第一次实验结果成功；

0Y，如第一次实验结果失败。

因为22EXEEXY







211EXY

2

201EXYEEX







因此221100EXEXYPYEXYPY

211ppEX







2112pEXX



2

pEX





或2





故2

22DXEXEX







21p









2





在实际生活中条件数学期望的应用也比较广泛，这需要仔细观察。

5.3条件期望在商业决策中的应用

在商业竞争中，商家必须对某种商品未来一段时间内的销售状况作出合理的

预测，才能使自己获得最大利润，或使得损失最小。这就要求决策者们根据以往

的销售情况及最新的信息资料进行综合分析作出决策。利用贝叶斯公

9式计算条

件数学期望，就是商业决策中的一种方法，下面以具体实例来介绍此方法的运用。

例9三部自动的机器生产同样的汽车零件，其中机器甲生产的占

40%，机

器乙生产的占

25%

，机器丙生产的占

35%

。平均说来，机器甲生产的零件有

10%

不合格，对于机器乙和丙，相应的百分数分别是

和

1%。如果从总产品中任意

的抽取一个零件，发现为不合格，试问：

（1）它是由机器甲生产出来的概率是多少?

（2）它是由哪一部机器生产出来的可能性最大?

分析：本例是在“取得的零件为不合格品”已经发生的条件下，计算该零件

由机器甲、乙、丙生产的概率，即由“结果”“推断”“原因”发生的概率。考虑

用贝叶斯公式，令



“取得的零件为不合格品”，



“取得的零件由机器甲生产的”，



“取得的零件由机器乙生产的”，



“取得的零件由机器丙生产的”，

则

0.40PA,

0.25PA,

0.35PA,



0.10PBA,2

0.05PBA,3

0.01PBA。

（1）根据题意指的是计算

PAB,由贝叶斯公式，有





11

112233

PAPBA

PAB

PAPBAPAPBAPAPBA









0.400.10

0.400.100.250.050.350.01





0.04

0.056

0.714。

（2）类似（1）的计算，可得





0.250.05

0.223

0.056

PAB，





0.350.01

0.063

0.056

PAB。

可见，机器甲生产的可能性最大。

例10某服装商场根据以往的资料，预测服装在未来一段时间内畅销的概率

为

0.4

，滞销的概率为

0.6

，现有两种销售方案（1）打折处理：预计在商品畅销

时可获利6万元，在商品滞销时可获利2万元；（2）对商品重新包装，做广告宣

传，仍按原价销售，预计在商品畅销时可获利10万元，在商品滞销时将损失4

万元。

为了做出正确决策，先进行了一段时间的试销，发现原来认为畅销的商品实

际畅销的概率为

0.6

，实际滞销的概率为

0.4

；原来认为滞销的商品实际畅销的概

率为

0.3

，实际滞销的概率为

0.7

，根据这些资料我们来分析一下，采用哪种销售

方案最佳。

分析：我们用

A表示预测商品畅销，

A表示预测商品滞销，

B表示实际商品

畅销，

B表示实际商品滞销，

表示采取第一方案所取得的利润，

表示采取第

二方案所取得的利润。

则

取值为6，2，

取值为10，-4。且

6X

与

10Y

表示预测商品畅销，

即事件

A；2X与4Y表示预测商品滞销，即事件

A。

于是

0.4PA，

0.6PA，11

0.6PBA

,21

0.4PBA

12

0.3PBA

,22

0.7PBA

,由贝叶斯公式知





111

111212

PAPBA

PAB

PAPBAPAPBA





0.40.64

0.40.60.60.37







，





212

111212

PAPBA

PAB

PAPBAPAPBA





0.60.33

0.40.60.60.37







，





121

121222

PAPBA

PAB

PAPBAPAPBA





0.40.48

0.40.40.60.729







，





222

121222

PAPBA

PAB

PAPBAPAPBA





0.60.721

0.40.40.60.729







。

因此，实际畅销商品采取第一方案的利润均值为



111

6622EXBPXBPXB



1121

62624.29

PABPAB，

实际滞销商品采取第一方案的利润均值为



222

6622EXBPXBPXB



1222

821

62623.10

2929

PABPAB，

实际畅销商品采取第二方案的利润均值为



111

101044EYBPYBPYB



1121

1041044

PABPAB,

实际滞销商品采取第二方案的利润均值为



222

101044EYBPYBPYB



1222

821

1041040.07

2929

PABPAB。

由此可以看出，不论是实际畅销还是实际滞销的商品，采取第一销售方案的

利润均值（条件期望）都大于第二方案，故应采取第一方案进行销售。

5.4条件期望在预测中的应用

条件期望在预测问题中有重要作用，主要是通过“均方误差最小”解决一类

最优预测问题。

例11设身高为xcm的男子其成年儿子的身高服从均值为3x，方差为

10的正态分布，问身高为175cm的男子，其成年儿子的身高的最佳预测值是

多少?

分析：令X表示父亲身高，Y表示儿子身高，则3YX，其中

~0,10N，



与X独立，由条件期望的“均方误差最小”定理可知，Y

的最佳预测是

1753175EYXEXX

78()EXEcm

例12设到达某车站的顾客数为参数是的泊松流，求在时间间隔0,t中，

所有到达顾客等待的时间和的平均值。如果每分钟有5个顾客到达该车站，每20

分钟有一列车通过该车站，求一天（24小时）在该车站由于等待乘车而浪费的平

均时间和。

分析：设在0,t中到的顾客数为Xt，

W为第

个顾客到达的时刻，为第

个顾客的等车时间，则,0Xtt为参数是的泊松流，

tW，所有到达

顾客到时刻t的等待时间和的平均值为

EtW





因为对任意

0st

，有



PWsXtn

PXtn











,PXSjXtn

PXtn









XSkXtXSnk

PXtn













PXSkPXtSnk

PXtn















knk





















knk





，1,2,,jXt。

由上式可知，在Xtn下，

W就相当于n个独立同服从区间0,t上的均匀

分布随机变量的第j个顺序统计量。设

,,,

为独立同分布随机变量，且



~0,Ut并设***

,,,

为

,,,

的顺序统计量，则由于





XtXt

EtWEEtWXt





且



EtWXtnEtWXtn







ntEWXtn





ntEWXtn





*

ntE





ntE





ntE





ntnt

nt

所以



tXt

EtWXt





从而2

tXt

EtWE







因为

5

人/分，所以一天（24小时）顾客由于等车而浪费的平均时间和为：

252060

2472000

220



（分钟）

1200

（小时）

由上可知，如果增加车次，顾客浪费的时间少。例如，假设每10分钟有一

列车通过该站，即

10t

（分钟），则一天顾客由于等车浪费的平均时间和为600

（小时），但是车次增加，满载率将减少也会造成浪费，即钱的浪费。而如何确

定车次，使时间、金钱的浪费最小，这是运筹学所要研究的优化问题。

小结：通过“均方误差最小”可以解决一系列的预测问题，在当前的社会，

经济发展是重要问题。通过条件期望可以预测小至一个公司的日常运作，大至世

界经济的发展方向，并且可以根据它所做出的预测作出相应的决策。所以，条件

期望的经济应用将会越来越为人们所关注。

结束语

通过本文的讨论可以看出，条件期望定义和性质的学习是有一定难度的，但

是它在数学与其他领域都有着广泛的应用。如果我们能对其进行系统的学习和总

结，而且在适当时候应用上述定理对问题加以分析，那我们就可以对问题有更加

深入更加广泛的了解。

【参考文献】

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[9]缪铨生.概率与统计[M].上海：华东师范大学出版社，2007.

[10]张天铮.条件数学期望在商业决策中的应用[J].统计应用，1998.

Thenatureandapplicationoftheconditionalexpectation

(SchoolofMathematicsandComputerEngineering,Xi'anUniversityofArts

andScience,ShaanxiXi'an,710065)

Abstract:Theconditionalmathematicalexpectation(hereinafterreferredtoasthe

conditionalexpectation)isaveryimportantconceptinthetheoryofstochastic

paper,

severaldefinitionsoftheconditionalexpectationandnatureareanalyzedatfirst.

thecasesintheactualproblemarecombinedtoanalyzetheapplicationofconditional

expectation.

Keywords:conditionalexpectation;definition;nature;application

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