幂的乘方公式
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2023年3月5日发(作者：中医的英文)巧用幂的乘方分解因式
幂的乘方公式：mnnmaa)()(=nma，
它的逆向公式是：nma=mnnmaa)()(。应用这两个公式，能帮助你解指数较大的因式分
解问题。现举例加以说明。
例1、利用分解因式说明：25
7
-5
12
能被120整除。
分析：多项式中有两项，并且是两项的差，非常符合平方差公式的条件，唯一不同的是指数
不是2.但是，我们可以利用上面的公式变形。
因为，25=5
2
，所以，25
7
=（5
2
）
7
=（5
7
）
2
，
因为，12=2×6，所以，5
12
=（5
2
）
6
=（5
6
）
2
，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解：
因为，25=5
2
，所以，25
7
=（5
2
）
7
=（5
7
）
2
，
因为，12=2×6，所以，5
12
=（5
2
）
6
=（5
6
）
2
，
所以，25
7
-5
12
=（5
7
）
2
-（5
6
）
2
=（5
7
+5
6
）（5
7
-5
6
）
=5
6
×5
6
（5+1）（5-1）
=5
6
×5
6
×24
=5
6
×5
5
×24×5
=120×5
6
×5
5
。
所以，25
7
-5
12
能被120整除。
例2、2
48
-1能被60和70之间的两个数整除。这两个数各是多少？
分析
因为，48=2×24，所以，2
48
=（2
2
）
24
=（2
24
）
2
，这样，就满足了平方差公式的要求了。
解：
因为，48=2×24，所以，2
48
=（2
2
）
24
=（2
24
）
2
，
所以，2
48
-1=（2
24
）
2
-（1）
2
=（2
24
+1）（2
24
-1）
=（2
24
+1）（2
24
-1）=（2
24
+1）【（2
12
）
2
-（1）
2
】
=（2
24
+1）【（2
12
+1）（2
12
-1）】
=（2
24
+1）（2
12
+1）【（2
6
）
2
-（1）
2
】
=（2
24
+1）（2
12
+1）【（2
6
+1）（2
6
-1）】
=（2
24
+1）（2
12
+1）（2
6
+1）【（2
3
）
2
-（1）
2
】
=（2
24
+1）（2
12
+1）（2
6
+1）【（2
3
+1）（2
3
-1）】
=（2
24
+1）（2
12
+1）（2
6
+1）×9×7
=（2
24
+1）（2
12
+1）（2
6
+1）×65×63
因为，整除的两个数在60和70之间，
且60＜63＜70，60＜65＜70，
所以，这两个数分别是63、65。