勾股定理的证明方法
-
2023年3月5日发(作者：张晨晨)勾股定理的证明
【证法1】（课本的证明）
做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，再做
三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.
从图上可以看到，这两个正方形的边长都是a+b，所以面积相等.即
abcabba
2
1
4
2
1
4222
，整理得222cba.
【证法2】（邹元治证明）
以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积
等于
ab
2
1
.把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上，B、F、
C三点在一条直线上，C、G、D三点在一条直线上.
∵RtΔHAE≌RtΔEBF,
∴∠AHE=∠BEF.
∵∠AEH+∠AHE=90º,
∴∠AEH+∠BEF=90º.
∴∠HEF=180º―90º=90º.
∴四边形EFGH是一个边长为c的
正方形.它的面积等于c2.
∵RtΔGDH≌RtΔHAE,
∴∠HGD=∠EHA.
∵∠HGD+∠GHD=90º,
∴∠EHA+∠GHD=90º.
又∵∠GHE=90º,
∴∠DHA=90º+90º=180º.
∴ABCD是一个边长为a+b的正方形，它的面积等于
2ba
.
∴
2
2
2
1
4cabba
.∴222cba.
【证法3】（赵爽证明）
以a、b为直角边（b>a），以c为斜
边作四个全等的直角三角形，则每个直角
D
G
C
F
A
H
E
B
a
b
c
a
b
c
a
b
c
a
b
c
b
ab
a
b
a
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
c
b
a
b
a
c
G
D
A
C
F
EH
a
b
a
b
c
c
AB
C
D
E
P
G
F
E
ab
c
三角形的面积等于
ab
2
1
.把这四个直角三
角形拼成如图所示形状.
∵RtΔDAH≌RtΔABE,
∴∠HDA=∠EAB.
∵∠HAD+∠HAD=90º，
∴∠EAB+∠HAD=90º，
∴ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.
∵EF=FG=GH=HE=b―a,
∠HEF=90º.
∴EFGH是一个边长为b―a的正方形，它的面积等于
2ab
.
∴
2
2
2
1
4cabab
.
∴222cba.
【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）
以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面
积等于
ab
2
1
.把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.
∵RtΔEAD≌RtΔCBE,
∴∠ADE=∠BEC.
∵∠AED+∠ADE=90º,
∴∠AED+∠BEC=90º.
∴∠DEC=180º―90º=90º.
∴ΔDEC是一个等腰直角三角形，
它的面积等于
2
2
1
c
.
又∵∠DAE=90º,∠EBC=90º,
∴AD∥BC.
∴ABCD是一个直角梯形，它的面积等于
2
2
1
ba
.
∴
2
2
2
1
2
1
2
2
1
cabba
.
∴222cba.
【证法5】（梅文鼎证明）
做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c.把它
们拼成如图那样的一个多边形，使D、E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于
点P.
∵D、E、F在一条直线上,且RtΔGEF≌RtΔEBD,
∴∠EGF=∠BED，
∵∠EGF+∠GEF=90°，
∴∠BED+∠GEF=90°，
c
c
c
b
a
c
b
a
A
B
C
E
F
P
Q
M
N
∴∠BEG=180º―90º=90º.
又∵AB=BE=EG=GA=c，
∴ABEG是一个边长为c的正方形.
∴∠ABC+∠CBE=90º.
∵RtΔABC≌RtΔEBD,
∴∠ABC=∠EBD.
∴∠EBD+∠CBE=90º.
即∠CBD=90º.
又∵∠BDE=90º，∠BCP=90º，
BC=BD=a.
∴BDPC是一个边长为a的正方形.
同理，HPFG是一个边长为b的正方形.
设多边形GHCBE的面积为S，则
,
2
1
222abSba
abSc
2
1
22
,
∴222cba.
【证法6】（项明达证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为
c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使E、A、C三点在一条
直线上.
过点Q作QP∥BC，交AC于点P.
过点B作BM⊥PQ，垂足为M；再过点
F作FN⊥PQ，垂足为N.
∵∠BCA=90º，QP∥BC，
∴∠MPC=90º，
∵BM⊥PQ，
∴∠BMP=90º，
∴BCPM是一个矩形，即∠MBC=90º.
∵∠QBM+∠MBA=∠QBA=90º，
∠ABC+∠MBA=∠MBC=90º，
∴∠QBM=∠ABC，
又∵∠BMP=90º，∠BCA=90º，BQ=BA=c，
∴RtΔBMQ≌RtΔBCA.
同理可证RtΔQNF≌RtΔAEF.
从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.
【证法7】（欧几里得证明）
做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H、C、B三点
在一条直线上，连结
a
C
G
H
K
BF、CD.过C作CL⊥DE，
交AB于点M，交DE于点
L.
∵AF=AC，AB=AD，
∠FAB=∠GAD，
∴ΔFAB≌ΔGAD，
∵ΔFAB的面积等于
2
2
1
a
，
ΔGAD的面积等于矩形ADLM
的面积的一半，
∴矩形ADLM的面积=2a.
同理可证，矩形MLEB的面积=2b.
∵正方形ADEB的面积
=矩形ADLM的面积+矩形MLEB的面积
∴222bac，即222cba.
【证法8】（利用相似三角形性质证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过
点C作CD⊥AB，垂足是D.
在ΔADC和ΔACB中，
∵∠ADC=∠ACB=90º，
∠CAD=∠BAC，
∴ΔADC∽ΔACB.
AD∶AC=AC∶AB，
即ABADAC•2.
同理可证，ΔCDB∽ΔACB，从而有ABBDBC•2.
∴
222ABABDBADBCAC•
，即222cba.
【证法9】（杨作玫证明）
做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b（b>a），斜边长为c.
再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作AF⊥AC，AF交GT
于F，AF交DT于R.过B作BP⊥AF，垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为
E，DE交AF于H.
∵∠BAD=90º，∠PAC=90º，
∴∠DAH=∠BAC.
又∵∠DHA=90º，∠BCA=90º，
AD=AB=c，
∴RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴DH=BC=a，AH=AC=b.
由作法可知，PBCA是一个矩形，
所以RtΔAPB≌RtΔBCA.即PB=
CA=b，AP=a，从而PH=b―a.
∵RtΔDGT≌RtΔBCA,
A
B
D
C
a
c
b
9
8
7
6
54
3
2
1
P
Q
R
T
H
G
F
E
D
C
B
A
a
b
c
a
b
c
c
c
RtΔDHA≌RtΔBCA.
∴RtΔDGT≌RtΔDHA.
∴DH=DG=a，∠GDT=∠HDA.
又∵∠DGT=90º，∠DHF=90º，
∠GDH=∠GDT+∠TDH=∠HDA+∠TDH=90º，
∴DGFH是一个边长为a的正方形.
∴GF=FH=⊥AF，TF=GT―GF=b―a.
∴TFPB是一个直角梯形，上底TF=b―a，下底BP=b，高FP=a+（b―a）.
用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为
54321
2SSSSSc
①
∵
abaabbSSS•
2
1
438=
abb
2
1
2
，
985
SSS
，
∴8
2
432
1
SabbSS
=81
2SSb
.②
把②代入①，得
9881
2
21
2SSSSbSSc
=92
2SSb
=22ab.
∴222cba.
【证法10】（李锐证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、
b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示
面积的编号（如图）.
∵∠TBE=∠ABH=90º，
∴∠TBH=∠ABE.
又∵∠BTH=∠BEA=90º，
BT=BE=b，
∴RtΔHBT≌RtΔABE.
∴HT=AE=a.
∴GH=GT―HT=b―a.
又∵∠GHF+∠BHT=90º，
∠DBC+∠BHT=∠TBH+∠BHT=90º，
∴∠GHF=∠DBC.
∵DB=EB―ED=b―a，
∠HGF=∠BDC=90º，
∴RtΔHGF≌RtΔBDC.即27
SS
.
过Q作QM⊥AG，垂足是M.由∠BAQ=∠BEA=90º，可知∠ABE
=∠QAM，而AB=AQ=c，所以RtΔABE≌RtΔQAM.又RtΔHBT≌
RtΔABE.所以RtΔHBT≌RtΔQAM.即58
SS
.
M
H
Q
R
T
G
F
E
D
C
B
A
c
b
a
8
7
6
5
4
3
2
1
由RtΔABE≌RtΔQAM，又得QM=AE=a，∠AQM=∠BAE.
∵∠AQM+∠FQM=90º，∠BAE+∠CAR=90º，∠AQM=∠BAE，
∴∠FQM=∠CAR.
又∵∠QMF=∠ARC=90º，QM=AR=a，
∴RtΔQMF≌RtΔARC.即64
SS
.
∵54321
2SSSSSc
，61
2SSa
，873
2SSSb
，
又∵27
SS
，58
SS
，64
SS
，
∴87361
22SSSSSba
=52341
SSSSS
=2c，
即222cba.
【证法11】（利用切割线定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.如图，以B为圆心a为半
径作圆，交AB及AB的延长线分别于D、E，则BD=BE=BC=a.因为∠BCA=90º，
点C在⊙B上，所以AC是⊙B的切线.由切割线定理，得
ADAEAC•2
=
BDABBEAB
=
acac
=22ac，
即222acb，
∴222cba.
【证法12】（利用多列米定理证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c（如图）.过点A作AD∥CB，
过点B作BD∥CA，则ACBD为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接
四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有
BDACBCADDCAB•••，
∵AB=DC=c，AD=BC=a，
AC=BD=b，
∴222ACBCAB，即222bac，
∴222cba.
【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）
在RtΔABC中，设直角边BC=a，AC=b，斜边AB=c.作RtΔABC的内切圆⊙O，
切点分别为D、E、F（如图），设⊙O的半径为r.
∵AE=AF，BF=BD，CD=CE，
∴
BFAFCDBDCEAEABBCAC
a
b
a
a
BA
C
E
D
c
b
a
c
a
b
c
A
C
B
D
=CDCE=r+r=2r,
即rcba2，
∴crba2.
∴
222crba
，
即
222242crcrabba
，
∵
abS
ABC2
1
，
∴ABC
Sab
42
，
又∵AOCBOCAOBABC
SSSS
=
brarcr
2
1
2
1
2
1
=
rcba
2
1
=
rccr2
2
1
=rcr2，
∴
ABC
Srcr
442，
∴
abrcr242
，
∴22222cababba，∴222cba.
【证法14】（利用反证法证明）
如图，在RtΔABC中，设直角边AC、BC的长度分别为a、b，斜边AB的长为c，过
点C作CD⊥AB，垂足是D.
假设222cba，即假设222ABBCAC，则由
ABABAB•2=
BDADAB
=BDABADAB••
可知ADABAC•2，或者BDABBC•2.即AD：AC≠AC：AB，或者BD：BC≠BC：AB.
在ΔADC和ΔACB中，
∵∠A=∠A，
∴若AD：AC≠AC：AB，则
∠ADC≠∠ACB.
在ΔCDB和ΔACB中，
∵∠B=∠B，
∴若BD：BC≠BC：AB，则
∠CDB≠∠ACB.
又∵∠ACB=90º，
∴∠ADC≠90º，∠CDB≠90º.
这与作法CD⊥AB矛盾.所以，222ABBCAC的假设不能成立.
∴222cba.
【证法15】（辛卜松证明）
c
b
a
r
r
r
O
F
E
D
C
B
A
AB
D
C
a
c
b
ab
1
ab
1
ab
2
1
ab
2
1
2c
2b
2a
A
A
D
D
b
a
b
a
a
b
c
c
c
c
b
a
ab
ab
b
ab
a
设直角三角形两直角边的长分别为a、b，斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD.
把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为
abbaba222
2
；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，则正方形ABCD的
面积为
2
2
2
1
4cabba
=22cab.
∴22222cababba,
∴222cba.
【证法16】（陈杰证明）
设直角三角形两直角边的长分别为a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为a、
b的正方形（b>a），把它们拼成如图所示形状，使E、H、M三点在一条直线上.用数字表
示面积的编号（如图）.
在EH=b上截取ED=a，连结DA、DC，
则AD=c.
∵EM=EH+HM=b+a,ED=a，
∴DM=EM―ED=
ab
―a=b.
又∵∠CMD=90º，CM=a，
∠AED=90º，AE=b，
∴RtΔAED≌RtΔDMC.
∴∠EAD=∠MDC，DC=AD=c.
∵∠ADE+∠ADC+∠MDC=180º，
∠ADE+∠MDC=∠ADE+∠EAD=90º，
∴∠ADC=90º.
∴作AB∥DC，CB∥DA，则ABCD是一个边长为c的正方形.
∵∠BAF+∠FAD=∠DAE+∠FAD=90º，
∴∠BAF=∠DAE.
连结FB，在ΔABF和ΔADE中，
∵AB=AD=c，AE=AF=b，∠BAF=∠DAE，
∴ΔABF≌ΔADE.
∴∠AFB=∠AED=90º，BF=DE=a.
∴点B、F、G、H在一条直线上.
在RtΔABF和RtΔBCG中，
∵AB=BC=c，BF=CG=a，
∴RtΔABF≌RtΔBCG.
∵5432
2SSSSc
，621
2SSSb
，73
2SSa
，
76451
SSSSS
，
A
B
C
D
E
F
G
H
M
a
b
c
a
b
c
a
c
a
b
c
1
2
3
4
5
6
7