旋转曲面的方程
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2023年3月4日发(作者：蜘蛛的外形)推荐精选
第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面
§4.1柱面
1、已知柱面的准线为：
02
25)2()3()1(222
zyx
zyx
且（1）母线平行于
x
轴；（2）母线平行于直线czyx,，试求这些柱面的方程。
解：（1）从方程
02
25)2()3()1(222
zyx
zyx
中消去
x
，得到：25)2()3()3(222zyyz
即：0
2
3
5622zyyzzy
此即为要求的柱面方程。
（2）取准线上一点
),,(
0000
zyxM，过
0
M且平行于直线
cz
yx
的直线方程为：
zz
tyy
txx
zz
tyy
txx
0
0
0
0
0
0
而
0
M在准线上，所以
022
25)2()3()1(222
tzyx
ztytx
上式中消去t后得到：
zyxxyzyx
此即为要求的柱面方程。
2、设柱面的准线为
zx
zyx
2
22
，母线垂直于准线所在的平面，求这柱面的方程。
解：由题意知：母线平行于矢量2,0,1
任取准线上一点
),,(
0000
zyxM，过
0
M的母线方程为：
tzz
yy
txx
tzz
yy
txx
22
0
0
0
0
0
0
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而
0
M在准线上，所以：
)2(2
)2(22
tztx
tzytx
消去t，得到：zxxzzyx
此即为所求的方程。
3、求过三条平行直线211,11,zyxzyxzyx与的圆柱面方程。
解：过原点且垂直于已知三直线的平面为0zyx：它与已知直线的交点为
)
3
4
,
3
1
,
3
1
(),1,0,1(,0,0,0，这三点所定的在平面0zyx上的圆的圆心为
)
15
13
,
15
11
,
15
2
(
0
M，圆的方程为：
0
75
98
)
15
13
()
15
11
()
15
2
(222
zyx
zyx
此即为欲求的圆柱面的准线。
又过准线上一点),,(
1111
zyxM，且方向为1,1,1的直线方程为：
tzz
tyy
txx
tzz
tyy
txx
1
1
1
1
1
1
将此式代入准线方程，并消去t得到：
013112)(5222zyxzxyzxyzyx
此即为所求的圆柱面的方程。
4、已知柱面的准线为)(),(),()(uzuyuxu，母线的方向平行于矢量ZYXS,,，
试证明柱面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
SvuYx)(
与
Zvuzz
Yvuyy
Xvuxx
)(
)(
)(
式中的vu,为参数。
证明：对柱面上任一点),,(zyxM，过M的母线与准线交于点))(),(),((uzuyuxM
，则，
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SvMM
即
SvMOOM
亦即SvuYY)(，SvuYY)(
此即为柱面的矢量式参数方程。
又若将上述方程用分量表达，即：
ZYXvuzuyuxzyx,,)(),(),(,,
Zvuzz
Yvuyy
Xvuxx
)(
)(
)(
此即为柱面的坐标式参数方程。
§4.2锥面
1、求顶点在原点，准线为01,0122zyzx的锥面方程。
解：设为锥面上任一点),,(zyxM，过M与O的直线为：
z
Z
y
Y
x
X
设其与准线交于
),,(
000
ZYX，即存在t，使ztZytYxtX
000
,,，将它们代入准线
方程，并消去参数t，得：
0)()(222yzyzzx
即：0222zyx
此为所要求的锥面方程。
2、已知锥面的顶点为)2,1,3(，准线为
0,1222zyxzyx，试求它的方程。
解：设),,(zyxM为要求的锥面上任一点，它与顶点的连线为：
2
2
1
1
3
3
z
Z
y
Y
x
X
令它与准线交于
),,(
000
ZYX，即存在t，使
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tzZ
tyY
txX
)2(2
)!(1
)3(3
0
0
0
将它们代入准线方程，并消去t得：
222zyxxzyzxyzyx
此为要求的锥面方程。
4、求以三坐标轴为母线的圆锥面的方程。
解：（这里仅求Ⅰ、Ⅶ卦限内的圆锥面，其余类推）
圆锥的轴l与kji,,等角，故l的方向数为1:1:1
与l垂直的平面之一令为1zyx
平面1zyx在所求的锥面的交线为一圆，该圆上已知三点)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(，
该圆的圆心为)
3
1
,
3
1
,
3
1
(，故该圆的方程为：
1
)
3
2
()
3
1
()
3
1
()
3
1
(2222
zyx
zyx
它即为要求圆锥面的准线。
对锥面上任一点),,(zyxM，过M与顶点O的母线为：
z
Z
y
Y
x
X
令它与准线的交点为
),,(
000
ZYX，即存在t，使ztZytYxtX
000
,,，将它们代入
准线方程，并消去t得：
0zxyzxy
此即为要求的圆锥面的方程。
5、求顶点为)4,2,1(，轴与平面022zyx垂直，且经过点)1,2,3(的圆锥面的方程。
解：轴线的方程为：
1
4
2
2
2
1
zyx
过点)1,2,3(且垂直于轴的平面为：
0)1()2(2)3(2zyx
即：01122zyx
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该平面与轴的交点为)
9
37
,
9
20
,
9
11
(，它与)1,2,3(的距离为：
3
116
)1
9
37
()2
9
20
()3
9
11
(222d
要求圆锥面的准线为：
01122
9
116
)
9
37
()
9
20
()
9
11
(222
zyx
zyx
对锥面上任一点),,(zyxM，过该点与顶点的母线为：
4
4
2
2
1
1
z
Z
y
Y
x
X
令它与准线的交点为
),,(
000
ZYX，即存在t，使,)1(1
0
txX,)2(2
0
tyY
tzZ)4(4
0
将它们代入准线方程，并消去t得：
1852521zyxzxyzxyzyx
6、已知锥面的准线为)(),(),()(uzuyuxu，顶点A决定的径矢为
0000
,,zyx，
试证明锥面的矢量式参数方程与坐标式参数方程分别为：
0
()(1)vuv
与
0
0
0
()(1)
()(1)
()(1)
xvxuvx
yvyuvy
zvzuvz
式中，vu,为参数。
证明：对锥面上任一点),,(zyxM，令
OM
，它与顶点A的连线交准线于
((),(),())Mxuyuzu
，即OM()u
。
//AMAM
，且0AM
（顶点不在准线上）
AMvAM
即
00
(())vu
亦即
0
()(1)vuv
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此为锥面的矢量式参数方程。
若将矢量式参数方程用分量表示，即：
000
{,,}{(),(),()}(1){,,}xyzvxuyuzuvxyz
0
0
0
)1()(
)1()(
)1()(
zvuvzz
yvuvyy
xvuvxx
此为锥面的坐标式参数方程，vu,为参数。
§4.3旋转曲面
1、求下列旋转曲面的方程：
（1）；
111
112
xyz
绕
1
112
xyz
旋转
（2）；
1
211
xyz
绕
1
112
xyz
旋转
（3）
1
133
xyz
绕z轴旋转；
（4）空间曲线
2
221
zx
xy
绕z轴旋转。
解：（1）设
1111
(,,)Mxyz是母线
111
112
xyz
上任一点，过
1
M的纬圆为：
111
222222
111
()()2()0(1)
(1)(1)(2)
xxyyzz
xyzxyz
又
1
M在母线上。
111
111
112
xyz
从（1）——（3）消去
111
,,xyz，得到：
22255224444480xyzxyyzxzxyz
此为所求的旋转面方程。
（2）对母线上任一点
1111
(,,)Mxyz，过
1
M的纬圆为：
111
222222
111
()()2()0(1)
(1)(1)(2)
xxyyzz
xyzxyz
因
1
M在母线上，111
1
211
xyz
(3)
从（1）——（3）消去
111
,,xyz，得到：
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22255236230xyzxyyzxzxyz
此为所求的旋转面的方程。
（3）对母线上任一点
1111
(,,)Mxyz，过该点的纬圆为：
1
222222
111
(1)
(2)
zz
xyzxyz
又
1
M在母线上，所以：111
1
133
xyz
（3）
从（1）——（3）消去
111
,,xyz，得到：
2229()10690xyzz
此为所求的旋转面方程。
（4）对母线上任一点
1111
(,,)Mxyz，过
1
M的纬圆为：
1
222222
111
(1)
(2)
zz
xyzxyz
又
1
M在母线上，所以
2
11
22
11
(1)
1(2)
zx
xy
从（1）——（3）消去
111
,,xyz，得到：
221xy
2
11
101zzxz
即旋转面的方程为：221xy
(01)z
2、将直线
01
xyz
绕z轴旋转，求这旋转面的方程，并就,可能的值讨论这是什
么曲面？
解：先求旋转面的方程式：
任取母线上一点
1111
(,,)Mxyz，过
1
M的纬圆为：
1
222222
111
(1)
(2)
zz
xyzxyz
又111
01
xyz
（3）
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p
p
))(),(),((uzuyuxM
x
y
z
O
从（1）——（3）消去
111
,,xyz，得到：
222220xyz
此即为所求旋转面的方程。
当0,0时，旋转面为圆柱面（以z轴为轴）；
当0,0时，旋转面为圆锥面（以z轴为轴，顶点在原点）；
当,0时，旋转面变为z轴；
当0,0时，旋转面为单叶旋转双曲面。
3、已知曲线的参数方程为(),(),()xxuyyuzzu，将曲线绕z轴旋转，求旋转曲
面的参数方程。
解：如图，设((),(),())Mxuyuzu为上任一点，则对经过M的纬圆上任一点(,,)pxyz，
令p在xoy面上的射影为p
令
(,)iop
，则
opoppp
，
而22()()opxuyu
2222()()cos()()sinopxuyuixuyuj
而
()ppzuk
2222()()cos()()sin()xuyuixuyujzuk
此即为旋转面的矢量式参数方程，vu,为参数。
其坐标式参数方程为：
22
22
()()cos
()()sin(02)
()
xxuyu
yxuyu
zzu
§4.4椭球面
1、做出平面20x与椭球面
222
2
1
494
xyz
的交线的图形。
解：平面20x与椭球面
222
2
1
494
xyz
的交线为：
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z
y
x
zx
O
223
944
2
yz
x
，即
22
1
27
3
4
2
yz
x
——椭
图形为
2、设动点与点(1,0,0)的距离等于从这点到平面4x的距离的一半，试求此动点的轨迹。
解：设动点(,,)Mxyz，要求的轨迹为，则
222222
1
(,,)(1)434412
2
Mxyzxyzxxyz
即：
222
1
433
xyz
此即为的方程。
3、由椭球面
222
222
1
xyz
abc
的中心（即原点），沿某一定方向到曲面上的一点的距离为r，
设定方向的方向余弦分别为,,，试证：
222
2222
1
rabc
证明：沿定方向{,,}到曲面上一点，该点的坐标为{,,}rrr
该点在曲面上
222222
222
1
rrr
abc
即
222
2222
1
rabc
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4、由椭球面
222
222
1
xyz
abc
的中心，引三条两两相互垂直的射线，分别交曲面
123
,,ppp，
设
112233
,,opropropr，试证：
222222
123
111111
rrrabc
证明：利用上题结果，有
222
2222
1
(1,2,3)iii
i
i
rabc
其中,,
iii
是
i
op的方向余弦。
若将(1,2,3)
i
opi所在的直线看成新的坐标系的三个坐标轴，则
123
,,是坐标矢量关于
新坐标系的方向余弦，从而222
123
1，同理，222
123
1，222
123
1
所以，
222222222
123123123
222222
123
222
111111
()()()
111
rrrabc
abc
即：
222222
123
111111
rrrabc
5、一直线分别交坐标面,,yozzoxxoy于三点,,ABC，当直线变动时，直线上的三定点
,,ABC也分别在三个坐标面上变动，另外，直线上有第四点p，它与三点的距离分别为
,,abc，当直线按照这样的规定（即保持,,ABC分别在三坐标面上）变动，试求p点的轨
迹。
解：设
112233
(0,,),(,0,),(,,0)AyzBxzCxy，则知：
2121
33
1221
,
xzzy
xy
zzzz
2121
1221
(,,0)
xzzy
C
zzzz
又设(,,)pxyz，,,pAapBbpCc
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2222
11
2222
22
2222
2121
1221
()()(1)
()()(2)
()()(3)
xyyzza
xxyzzb
xzzy
xyzc
zzzz
又p在AB的连线上，11
1121
yyzz
x
xyzz
（4）
从（1）——（4）消去
1122
,,,yzxz，得到
222
222
1
xyz
abc
此为点的轨迹方程。
6、已知椭球面
222
222
1()
xyz
cab
abc
，试求过
x
轴并与曲面的交线是圆的平面。
解：设要求的平面为：0yz
它与椭球面的交线为：
（*）
222
222
1
0
xyz
abc
yz
若（*）为圆，因（*）以原点为对称，故圆心在原点，所以圆的半径为
a
，从而交线上的点
都在球面：2222xyza上
即有：
2
222222
22
1
[1()]zazza
bc
亦即：
222
22
22
(1)0
aa
z
bc
222
2
22
10
aa
bc
即：
22
2
22
(1)1
aa
bc
222
2
222
acb
cba
推荐精选
z
x
y
O
z
x
y
O
22
22
bac
cba
满足要求的平面方程为：
22
22
0
bac
yz
cba
§4.5双曲面
1、画出以下双曲面的图形：
（1）
222
1
1694
xyz
；（2）
222
1
1649
xyz
解：图形如下：
2、给定方程
222
1(0)
xyz
ABC
ABC
试问当取异于,,ABC的各种数值时，它表示怎样的曲面？
解：对方程
222
1(0)
xyz
ABC
ABC
（*）
1º、当A时，（*）不表示任何实图形；
2º、当AB时，（*）表示双叶双曲面；
3º、当BC时，（*）表示单叶双曲面；
4º、当C时，（*）表示椭球面。
3、已知单叶双曲面
222
1
494
xyz
，试求平面的方程，使这平面平行于yoz面（或
xoz
面）
且与曲面的交线是一对相交直线。
解：设所求的平面为xk，则该平面与单叶双曲面的交线为：
推荐精选
z
（*）
222
1
494
xyz
xk
亦即
222
1
944
yzk
xk
为使交线（*）为二相交直线，则须：
2
10
4
k
，即2k
所以，要求的平面方程为：2x
同理，平行于xoy的平面要满足它与单叶双曲面的交线为二相交直线，则该平面为：3y
4、设动点与(4,0,0)的距离等于这点到平面1x的距离的两倍，试求这动点的轨迹。
解：设动点(,,)Mxyz，所求轨迹为，则
2222222(,,)(4)21(4)4(1)Mxyzxyzxxyzx
亦即：
222
1
41212
xyz
此为的轨迹方程。
5、试求单叶双曲面
222
1
1645
xyz
与平面230xz的交线对xoy平面的射影柱面。
解：题中所设的交线为：
222
1
1645
230
xyz
xz
从此方程中消去z，得到：
2220241160xyx
此即为要求的射影柱面方程。
6、设直线l与
m
为互不垂直的两条异面直线，C是l与
m
的公垂线的中点，,AB两点分别
在直线l，
m
上滑动，且90ACB，试证直线AB的轨迹是一个单叶双曲面。
证明：以l，
m
的公垂线作为z轴，C作为坐标原点，再令
x
轴与l，
m
的夹角均为
，公
垂线的长为2c，若设tg，则l，
m
的方程分别为：
推荐精选
x
y
m
l
•
•
•
O
),,(
11
cyxA•
0
:
yx
l
zc
0
:
yx
m
zc
令
11
(,,)Axyc，
22
(,,)Bxyc，则有：
1122
0,0yxyx
又ACCB，所以：222222222
11221212
()()(2)xycxycxxyyc
亦即2
1212
0xxyyc（2）
又设(,,)Mxyz为AB上任一点，则
c
cz
yy
yy
xx
xx
2
12
1
12
1
(3)
从（1）——（3）中消去
2211
,,,yxyx，得：
222222222)1()1(czyx
即：
1
11
2
2
2
22
2
2
2
2
c
z
c
y
c
x
(4)
l不垂直
m
，1
（4）表示单叶双曲面，即AB的轨迹是一单叶双曲面。
7、试验证单叶双曲面与双叶双曲面的参数方程分别为：
ctguz
vuby
vuax
sinsec
cossec
与
ucz
vbtguy
vatgux
sec
sin
cos
解：对方程：
ctguz
vuby
vuax
sinsec
cossec
消去参数vu,，有：1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
此即为单叶双曲面；
推荐精选
又对方程：
ucz
vbtguy
vatgux
sec
sin
cos
消去参数vu,，有：1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
此即为双叶双曲面方程。
§4.6抛物面
1、已知椭圆抛物面的顶点在原点，对称面为
xoz
面与yoz面，且过点)6,2,1(和)1,1,
3
1
(，
求这个椭圆抛物面的方程。
解：据题意可设，要求的椭圆抛物面的方程为：
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
令确定
a
与b
)6,2,1(和)1,1,
3
1
(均在该曲面上。
有：
2
1
9
1
12
41
22
22
ba
ba
从而
5
61
,
5
361
22
ba
所以要求的椭圆抛物面的方程为：z
yx
2
5
6
5
3622
即：
zyx531822
2、适当选取坐标系，求下列轨迹的方程：
（1）到一定点和一定平面距离之比为定常数的点的轨迹；
（2）与两给定的异面直线等距离的点的轨迹，已知两异面直线间的距离为a2，夹角为2。
解：（1）取定平面为xoy面，过定点且垂直于xoy面的直线作为z轴，则定点的坐标设为
),0,0(a，而定平面即为0z，设比值常数为
c
，并令所求的轨迹为，则
点c
z
azyx
zyxM
222)(
),,(
即
02)1(22222aazzcyx
推荐精选
此为的方程。
（2）取二异面直线的公垂线为轴，中点的坐标为原点；再取
x
轴，使其与二异面直线的夹
角相等，则二异面直线的方程为：
az
xtgy0
与
az
xtgy0
设所求的轨迹为，则
2
222
2
222
1
1100
1
1100
),,(
tg
tg
yxxaz
tg
azy
tg
tg
yxxaz
tg
azy
zyxM
即：
22222222)()()()()()(yxtgazaztgyxtgazaztg
经同解化简得：xy
a
z
cossin
此即所要求的轨迹方程。
3、画出下列方程所代表的图形：
（1）1
94
22
z
yx
；（2）xyz；（3）
2
22
z
zyx
4、画出下列各组曲面所围成的立体的图形：
（1）6,1223,63,0,0zyxyxyxzy
（2）
;1,22y，xzyx三坐标平面
（3）1,
2
1
,2yxyzyx
（4）
1,12222zyyx
解：略。
5、试验证椭圆抛物面与双曲抛物面的参数方程可分别写成：
2
2
1
sin
cos
uz
vbuy
vaux
与
uvz
vuby
vuax
2
)(
)(
式中的vu,为参数。
推荐精选
解：对方程
2
2
1
sin
cos
uz
vbuy
vaux
消去参数vu,得：z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
这正是椭圆抛物面的方程。
对方程
uvz
vuby
vuax
2
)(
)(
消去参数vu,得：z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
这正是双曲抛物面的方程。
§4.7单叶双曲面与双叶双曲面的直母线
1、求下列直纹面的直母线族方程：
（1）0222zyx（2）axyz
解：（1）从原方程得：222yzx
即：yyzxzx))((
亦即：
ytzx
tyzx
t
zx
y
y
zx
)(
为了避免取极限，将上方程写成：
sytzx
tyzxs
)(
)(
（1）
若将原方程变形为：222xzy，则可得到：
uxzyv
vxzyu
)(
)(
（2）
若令)(
2
1
stu，)(
2
1
stv，则（2）便是（1）
推荐精选
原曲面的直母线族是（1），其中ts,不全为零。
（2）原方程变形为：ay
x
z
亦即：tay
x
z
tay
xtz
（1）
由ax
y
z
得：
sax
syz
（2）
（1）（2）即这原曲面的两组直母线族方程。
2、求下列直线族所成的曲面（式中的为参数）
（1）
011
2
zyx
；（2）
442
442
zyx
zyx
解：（1）原方程等价于
z
yx2
从此式中消去，得：yxz2
此即为直母线（1）所形成的曲面。
（2）从原方程中消去得：1
416
2
22
z
yx
此即为（2）的直母线族所形成的曲面。
3、在双曲抛物面z
yx
416
22
上，求平行于平面0423zyx的直母线。
解：双曲抛物面z
yx
416
22
的两族直母线为：
z
yx
u
u
yx
)
24
(
24
及
z
yx
v
v
yx
)
24
(
24
第一族直母线的方向矢量为：},1,2{u
第二族直母线的方向矢量为：},1,2{v
推荐精选
据题意，要求的直母线应满足：
204232
104232
vv
uu
要求的直母线方程为：
z
yx
yx
24
1
24
及
224
2
24
zyx
yx
4、试证单叶双曲面1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
的任意一条直母线在xoy面上的射影，一定是其腰圆
的切线。
证明：单叶双曲面的腰圆为
0
1
2
2
2
2
z
b
y
a
x
两直母线为：
)1(
1
)1(
b
y
vc
z
a
x
b
y
v
c
z
a
x
它在xoy面内的射影为：
0
)
1
(
12
z
v
vb
y
v
v
a
x
（2）
将（2）的第一式代入（1）的第一式得：
4
4
)]
1
(
1
[
2
2
2
b
y
v
vb
y
v
v
即：0)
1
()
1
(
2
])
1
(
1
[22
2
22
2
v
v
yv
v
b
y
v
v
b
上述方程的判别式为：
0)
1
()
1
(
4
)
1
(
4
22
2
22
22
v
vv
v
b
v
vb
（2）与（1）相比，证毕。
5、求与两直线
1
1
23
6
zyx
与
21
4
2
8
3
zyx
相交，而且与平面0532yx平
行的直线的轨迹。
解：设动直线与二已知直线分别交于
),,(),,,(
111000
zyxzyx，则
推荐精选
1
1
23
6
000
zyx
，
21
4
2
8
3
111
zyx
又动直线与平面0532yx平行，所以，0)(3)(2
1010
yyxx
对动直线上任一点),,(zyxM，有：
01
0
01
0
01
0
zz
zz
yy
yy
xx
xx
从（1）——（4）消去
111000
,,,,,zyxzyx，得到：z
yx
4
49
22
6、求与下列三条直线
zy
x1
，
zy
x1
与
5
2
4
1
3
2
zyx
都共面的直线所构成的曲面。
解：动直线不可能同时平行于直线
zy
x1
及直线
zy
x1
不妨设其与第一条直线交于),,1(p
注),,1(p与第二条直线的平面为：0)()1(zyx
过p与直线
5
2
4
1
3
2
zyx
的平面为0)]()1(3[)](3)1[(zyxzyx
动直线的方程为：
0)]()1(3[)](3)1[(
0)()1(
zyxzyx
zyx
从上式中消去参数，得：
1222zyx
此为所要求的轨迹方程。
7、试证明经过单叶双曲面的一直母线的每个平面一定经过属于另一族直母线的一条直母
线，并举一反例，说明这个命题与双曲抛物面的情况下不一定成立。
证明：单叶双曲面1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
的一族直母线为：
)1()(
)1()(
b
y
u
c
z
a
x
v
b
y
v
c
z
a
x
u
过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()([
b
y
u
c
z
a
x
vt
b
y
v
c
z
a
x
us
推荐精选
即：0)1()()1()(
b
y
tu
c
z
a
x
tv
b
y
sv
c
z
a
x
su（1）
另一族直母线为：
)1()(
)1()(
b
y
m
c
z
a
x
n
b
y
n
c
z
a
x
m
过该族中一条直母线的平面为：0)]1()([)]1()([
b
y
m
c
z
a
x
nl
b
y
n
c
z
a
x
mk
即0)1()()1()(
b
y
ml
c
z
a
x
nl
b
y
kn
c
z
a
x
km（2）
对照（1）、（2）得，只要令vltnuksm,,,，得（2）便是（1）了
亦即过
u
族每一直母线的任一平面都经过
v
族中的一条直母线，
同理，对
v
族的直母线也有类似性质。
对双曲抛物面：z
b
y
a
x
2
2
2
2
2
其族直母线为：
z
b
y
a
x
u
u
b
y
a
x
)(
2
（*）
取其中的一条（即取定
u
），显然平面u
b
y
a
x
2通过直母线（*），但该平面不通过
v
族直
母线中的任何一条，这是因为：
v
族直母线
zv
b
y
a
x
w
b
y
a
x
)(
的方向矢量为}
2
,
1
,
1
{
ab
v
ab
而0
22
0
1111
abab
v
abba
平面u
b
y
a
x
2不能通过
v
族中的任何直母线。
8、试求单叶双曲面1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
上互相垂直的两条直母线交点的轨迹方程。
解：由于过单叶双曲面上每点仅有一条
u
母线和一条
v
母线，
推荐精选
所以它的同族直母线不能相交，设单叶双曲面的二垂直相交的直母线为：
)1()(
)1()(
b
y
w
c
z
a
x
u
b
y
u
c
z
a
x
w
)1()(
)1()(
b
y
t
c
z
a
x
v
b
y
v
c
z
a
x
t
将两方程化为标准式，得：
)(
2
)(
2
)(
2
)(
22
22
22
22
tvc
vt
tva
z
bvt
y
tva
vt
vta
x
由此求出二直线的交点坐标为：
utvw
wtuvc
z
utvw
utvwb
y
utvw
wtuva
x
)(
,
)(
,
)(
又二直线垂直，
0))((4))((22222222222tvwucuvwtbtvwua
2
2222222
2
222222222222222
2
22222222222222
2
222222222222222222
2
222222
222
)(
)2)((
)(
4)(2)())((
)(
)(2)())((
)(
)(2)()()(
)(
)()()(
utvw
uvwttuvwcba
utvw
uvwtbuvwtcbatuwvbtuvwca
utvw
uvwtcbatuwvbcatwvu
utvw
uvwtcbatwvuctuwvbtwvua
utvw
wtuvcutvwbwtuva
zyx
222cba
即222222cbazyx
又交点在单叶双曲面上，所以：1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
推荐精选
故交点的轨迹为
cbazyx
c
z
b
y
a
x
22222
2
2
2
2
2
2
1
9、试证明双曲抛物面)(2
2
2
2
2
baz
b
y
a
x
上的一两条直母线直交时，其交点必在一双曲
线上。
证明：由于过双曲抛物面上一点仅有一条
u
族直母线，也仅有一条
v
族直母线，所以同族的
直母线不能相交。
设两相交的直母线为：
0
02
abzuayubx
abuaybx
其方向矢量为}2,,{uba
与
0
02
abzuayubx
abuaybx
其方向矢量为}2,,{vba
由二直线直交，所以：)(
4
1
042222abuvuvba（*）
二直母线的交点坐标为：
uvz
vuby
vuax
2
)(
)(
但由（*）式有：
2
22
22
2
2
2
2
ab
z
ab
b
y
a
x
（**）
（**）为一双曲线方程，交点在一双曲线上。
10、已知空间两异面直线间的距离为a2，夹角为2，过这两条直线分别作平面，并使这
两平面相互垂直，求这样两平面交线的轨迹。
解：建立坐标系：取二异面直线的公垂线作为z轴，公垂线的中点为原点O，让
x
轴与二异
面直线夹角相等，则二直线方程为：
az
xtgy0
与
az
xtgy0
过这两直线的平面为：
0)()(:
1
xtgyuaz
0)()(:
2
xtgymazl
推荐精选
二平面的交线为：
0)()(
0)()(
xtgymazl
xtgyuaz
（1）
21
0)1(2tguml
（2）
当二异面直线不直交时，1tg，从（1）（2）中消去mlu,,,，得：
1
)1()1(2
2
22
2
22
2
a
z
tga
y
ctga
x
——单叶双曲面
此为要求的轨迹方程。
当二异面直线直交时，则1tg，此时，（1）（2）变为：
0)()(
0)()(
xymazl
xyuaz
)1(
0l)2(
当0时，)1(
为
0)()(
0
xymazl
xy
它的轨迹为平面0xy。
当0l时，)1(
为
0
0)()(
xy
xyuaz
它的轨迹为平面0xy
从而当二异面直交时，动直线（1）的轨迹为二平面：
0xy与0xy
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）