抛物线的标准方程

抛物线的标准方程

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抛物线及其标准方程（一）（理科）

总第41课时

一、【教学目标】1、掌握抛物线的定义、方程及标准方程的推导；

2、握抛物线焦点、焦点位置与方程关系、焦距；

二、【教学重点】抛物线的标准方程及定义

三、【教学难点】抛物线标准方程的推导

四、【学法指导】1、渗透数形结合思想；2.、提高学生解题能力。

五、【教学过程】

一．知识要点

1、抛物线的概念：

定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。

点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线。

注意：定点F不在l上，如果在的话，轨迹是什么？轨迹方程是什么？

2、推导抛物线的标准方程：

（1）建系设点:过F作直线FK⊥l,垂足为K，

以KF为x轴，KF的中垂线为y轴建系，

设KF=p（p>0）,那么焦点F的坐标为)0,

2

(

p

，

准线l的方程为

2

p

x

（2）设抛物线上的点M（x,y）到l的距离为d，

抛物线即集合P={M|MF=d}

代数方程：

|

2

|)

2

(22

p

xy

p

x

化简方程得：022ppxy叫做抛物线的标准方程

注意：（1）它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

2

p

,0），

它的准线方程是

2

p

x。

（2）一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，所以抛物线的标准

方程还有其他几种形式：

pxy22，pyx22，pyx22.

这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程、开口方向、对称轴如下表：

图形标准方程焦点坐标准线方程开口方向对称轴

六、典题互动

例1、（1）已知抛物线的标准方程是xy62，求它的焦点坐标和准线方程。

（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），求它的标准方程。

（3）已知抛物线过点（-3，2），求它的标准方程

例2、点M与点F（0，1）的距离比它到直线:20ly的距离小1，求点M的轨迹方程。

例3、（1）求抛物线28yx上与焦点距离为4的点的坐标为_______________；

（2）已知抛物线26yx，定点A（2，3），F为焦点，P为抛物线上的动点，则

PF+PA的最小值为____________，此时P点坐标是。

七、当堂反馈

1、若),(

00

yxP是抛物线xy322上一点，F为抛物线的焦点，则PF=。

2、抛物线xy42上一点P到焦点的距离是5，则P点的坐标是。

3、写出下列抛物线的焦点坐标、准线方程：

（1）xy2（2）yx82

(3))0(2aaxy（4）0722xy

课外作业

1、填表：

方程

xy42yx32xy322yx4222axy

焦点坐标

准线方程

焦点到准线

的距离

2、求适合下列条件的抛物线的标准方程：

（1）焦点为（6，0）；（2）焦点为（0，－5）；

（3）准线方程为

3

2

y；

（4）焦点到准线的距离为5；

（5）以直线2x+3y+6=0与坐标轴的交点为焦点；

（6）顶点与椭圆1

134

22



yx

的中心重合，且以此椭圆焦点为焦点；

3、若抛物线22ypx的焦点与椭圆

22

1

62

xy

的右焦点重合，则p的值为。

4、抛物线x2=4y上一点P到焦点F的距离为3，则P点的纵坐标为。

5、已知点(-2，4),F为抛物线y=2

8

1

x的焦点，P为抛物线上的动点，则PM+PF的最小值

为，此时点P的坐标为。

6、已知抛物线的顶点是双曲线

14491622yx的中心，而焦点是双曲线的左顶点，则

抛物线的方程是。

7、到定点（2，－1）的距离与到定直线2x+3y-1=0距离相等的点的轨迹是，

其方程是

8、过抛物线2yax(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长

分别为p、q，则

11

pq

=。

9、已知直线y=x-2与抛物线xy22相交于点A、B,求证：OA⊥OB.

10、过点Q(4,1)作抛物线xy82的弦AB恰好被Q所平分，求AB所在直线的方程.

11、求抛物线2yx上的点到直线4380xy距离的最小值。

12、已知抛物线的焦点在y轴上，点M(m,-3)是抛物线上的一点，M到焦点的距离是5，

求m的值及抛物线的标准方程、准线方程。