圆锥曲线方程
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2023年3月4日发(作者：青书学堂)圆锥曲线的方程与性质总结
1．椭圆
（1）椭圆概念
平面内与两个定点
1
F、
2
F的距离的和等于常数2a（大于
2
1
||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫
做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有
2
1
||||2MFMFa。
椭圆的标准方程为：
22
22
1
xy
ab
（0ab）（焦点在x轴上）或1
2
2
2
2
b
x
a
y
（0ab）（焦点
在y轴上）。
注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222bac；
②在
22
22
1
xy
ab
和
22
22
1
yx
ab
两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和
2y的分母的大小。例如椭圆
22
1
xy
mn
（0m，0n，mn）当
mn
时表示焦点在
x
轴上的椭圆；
当
mn
时表示焦点在y轴上的椭圆。
（2）椭圆的性质
①范围：由标准方程
22
22
1
xy
ab
知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的
矩形里；
②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲
线上，所以曲线关于
x
轴对称，同理，以
x
代替
x
方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以
x
代替
x
，
y代替y方程也不变，则曲线关于原点对称。
所以，椭圆关于
x
轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对
称中心叫椭圆的中心；
③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与
x
轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程
中，令0x，得yb，则
1
(0,)Bb，
2
(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即
1
(,0)Aa，
2
(,0)Aa是椭圆与
x
轴的两个交点。
所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。
同时，线段
2
1
AA、
2
1
BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，
a
和b分别叫做椭
圆的长半轴长和短半轴长。
由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为
a
；在
22
RtOBF中，
2
||OBb，
2
||OFc，
22
||BFa，且222
2222
||||||OFBFOB，即222cab；
④离心率：椭圆的焦距与长轴的比
c
e
a
叫椭圆的离心率。∵0ac，∴01e，且e越接近1，
c就越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于
a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。
2．双曲线
（1）双曲线的概念
平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（
12
||||||2PFPFa）。
注意：①式中是差的绝对值，在
12
02||aFF条件下；
12
||||2PFPFa时为双曲线的一支；
21
||||2PFPFa时为双曲线的另一支（含
1
F的一支）；②当
12
2||aFF时，
12
||||||2PFPFa表示
两条射线；③当
12
2||aFF时，
12
||||||2PFPFa不表示任何图形；④两定点
12
,FF叫做双曲线的焦点，
12
||FF叫做焦距。
（2）双曲线的性质
①范围：从标准方程1
2
2
2
2
b
y
a
x
，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。
即22ax，ax即双曲线在两条直线ax的外侧。
②对称性：双曲线1
2
2
2
2
b
y
a
x
关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，
原点是双曲线1
2
2
2
2
b
y
a
x
的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。
③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线1
2
2
2
2
b
y
a
x
的方程里，对称轴是,xy轴，
所以令0y得ax，因此双曲线和
x
轴有两个交点
)0,()0,(
2
aAaA
，他们是双曲线1
2
2
2
2
b
y
a
x
的
顶点。
令0x，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。
1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴
的两个端点。
2）实轴：线段
2
AA叫做双曲线的实轴，它的长等于2,aa叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段
2
BB
叫做双曲线的虚轴，它的长等于2,bb叫做双曲线的虚半轴长。
④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近
线。从图上看，双曲线1
2
2
2
2
b
y
a
x
的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。
⑤等轴双曲线：
1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；
2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直。
注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，
同时其他几个亦成立。
3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交
点在
x
轴，当0时焦点在y轴上。
⑥注意1
916
22
yx
与
22
1
916
yx
的区别：三个量,,abc中,ab不同（互换）
c
相同，还有焦点所在
的坐标轴也变了。
3．抛物线
（1）抛物线的概念
平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点
F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。
方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。
注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（
2
p
,0），它的准线方程是
2
p
x；
（2）抛物线的性质
一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程
还有其他几种形式：
pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标
以及准线方程如下表：
标准方程
22
(0)
ypx
p
22
(0)
ypx
p
22
(0)
xpy
p
22
(0)
xpy
p
图形
焦点坐标
(,0)
2
p
(,0)
2
p
(0,)
2
p
(0,)
2
p
准线方程
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
范围0x0x
0y0y
对称性
x
轴
x
轴
y轴y轴
顶点
(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)
离心率1e1e1e1e
说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有
一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：
是焦点到准线的距离。
4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理
一、方程的曲线：
在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程
f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐
标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。
点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P0(x0,y0)在曲线C上f(x0,y0)=0；点P0(x0,y0)不
在曲线C上f(x0,y0)≠0。
两条曲线的交点：若曲线C1，C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则点P0(x0,y0)是C1，C2的交点
{
0),(
0),(
002
001
yxf
yxf
方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲
线就没有交点。
二、圆：
1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.
2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2
o
F
x
y
l
o
x
y
F
l
x
y
o
F
l
(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)
2
,
2
(
ED
半径是
2
422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+
2
D
)2+(y+
2
E
)2=
4
4F-ED22
②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-
2
D
,-
2
E
);
③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.
（3）点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x0,y0)，则｜MC｜＜r点M在圆C
内，｜MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=2
0
2
0
b)-(ya)-(x。
（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共
点；直线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。
②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离
22BA
CBbAa
d
与半径r的大小关系来判定。
三、圆锥曲线的统一定义：
平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常
数e(e＞0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为
离心率。当0＜e＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。
四、椭圆、双曲线、抛物线：
椭圆双曲线抛物线
定义
1．到两定点F1,F2的距离之
和为定值2a(2a>|F1F2|)的
点的轨迹
2．与定点和直线的距离之
比为定值e的点的轨迹.
（0 1．到两定点F1,F2的距离之差的 绝对值为定值2a(0<2a<|F1F2|) 的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为 定值e的点的轨迹.（e>1） 与定点和直线的距离相等的 点的轨迹. 轨迹条件 点集：({M｜｜MF1+｜MF2｜ =2a,｜F1F2｜＜2a}. 点集：{M｜｜MF1｜-｜MF2｜. =±2a,｜F2F2｜＞2a}. 点集{M｜｜MF｜=点M到直 线l的距离}. 图形 方 程 标准 方程 1 2 2 2 2 b y a x (ba>0)1 2 2 2 2 b y a x (a>0,b>0) pxy22 参数 方程 为离心角）参数 ( sin cos by ax 为离心角）参数 ( tan sec by ax pty ptx 2 22 (t为参数) 范围─axa，─byb|x|a，yRx0 中心原点O（0，0）原点O（0，0） 顶点 (a,0),(─a,0), (0,b),(0,─b) (a,0),(─a,0)(0,0) 对称轴 x轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b x轴，y轴; 实轴长2a,虚轴长2b. x轴 焦点F1(c,0),F2(─c,0)F1(c,0),F2(─c,0) )0, 2 ( p F 准线 x=± c a2 准线垂直于长轴，且在椭圆 外. x=± c a2 准线垂直于实轴，且在两顶点的 内侧. x=- 2 p 准线与焦点位于顶点两侧， 且到顶点的距离相等. 焦距 2c（c=22ba）2c（c=22ba） 离心率 )10(e a c e)1(e a c e e=1 【备注1】双曲线： ⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为 xy ，离心率2e. ⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲 线. 2 2 2 2 b y a x 与 2 2 2 2 b y a x 互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：0 2 2 2 2 b y a x . ⑸共渐近线的双曲线系方程：)0( 2 2 2 2 b y a x 的渐近线方程为0 2 2 2 2 b y a x 如果双曲线的渐近线为 0 b y a x 时，它的双曲线方程可设为)0( 2 2 2 2 b y a x . 【备注2】抛物线： （1）抛物线2y=2px(p>0)的焦点坐标是( 2 p ,0)，准线方程x=- 2 p ，开口向右；抛物线2y=-2px(p>0)的 焦点坐标是(- 2 p ,0)，准线方程x= 2 p ，开口向左；抛物线2x=2py(p>0)的焦点坐标是(0, 2 p )，准线方程 y=- 2 p ，开口向上； 抛物线2x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,- 2 p ），准线方程y= 2 p ，开口向下. （2）抛物线2y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离 20 p xMF；抛物线2y=-2px(p>0)上的点 M(x0,y0)与焦点F的距离 02 x p MF （3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为 2 p ，顶点到准线的距离 2 p ， 焦点到准线的距离为p. （4）已知过抛物线2y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设 A(x1,y1),B(x2,y2)，则弦长AB= 21 xx+p或 2sin 2p AB(α为直线AB的倾斜角)，2 21 pyy， 2 , 41 2 21 p xAF p xx(AF叫做焦半径). 五、坐标的变换： （1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变 换.实施坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程. （2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标 轴的平移，简称移轴。 （3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x′O′ y′中的坐标是),(''yx.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则 kyy hxx ' ' 或 kyy hxx ' ' 叫做平移(或移轴)公式. （4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表： 方程焦点焦线对称轴 椭圆 2 2h)-(x a + 2 2k)-(y b =1 (±c+h,k) x=± c a2 +h x=h y=k 2 2h)-(x b + 2 2k)-(y a =1 (h,±c+k) y=± c a2 +k x=h y=k 双曲线 2 2h)-(x a - 2 2k)-(y b =1 (±c+h,k) x=± c a2 +k x=h y=k 2 2k)-(y a - 2 2h)-(x b =1 (h,±c+h) y=± c a2 +k x=h y=k 抛物线 (y-k)2=2p(x-h) ( 2 p +h,k)x=- 2 p +h y=k (y-k)2=-2p(x-h) (- 2 p +h,k)x= 2 p +h y=k (x-h)2=2p(y-k) (h, 2 p +k)y=- 2 p +k x=h (x-h)2=-2p(y-k) (h,- 2 p +k)y= 2 p +k x=h 六、椭圆的常用结论： 1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角. 平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去 长轴的两个端点. 3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离. 4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5.若 000 (,)Pxy在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则过 0 P的椭圆的切线方程是00 22 1 xxyy ab . 6.若 000 (,)Pxy在椭圆 22 22 1 xy ab 外，则过 0 P作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方 程是00 22 1 xxyy ab . 7.椭圆 22 22 1 xy ab (a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点 12 FPF，则椭圆 的焦点角形的面积为 12 2tan 2FPF Sb . 8.椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）的焦半径公式 10 ||MFaex, 20 ||MFaex( 1 (,0)Fc, 2 (,0)Fc 00 (,)Mxy). 9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应 于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P 和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 是椭圆 22 22 1 xy ab 的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为AB的中点，则 2 2 OMAB b kk a ，即 0 2 0 2 ya xb K AB 。 12.若 000 (,)Pxy在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则被Po所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 xxyyxy abab ； 【推论】： 1、若 000 (,)Pxy在椭圆 22 22 1 xy ab 内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 xxyy xy abab 。椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞o）的两个顶点为 1 (,0)Aa, 2 (,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2 交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2、过椭圆 22 22 1 xy ab (a＞0,b＞0)上任一点 00 (,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点， 则直线BC有定向且 2 0 2 0 BC bx k ay （常数）. 3、若P为椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点, 12 PFF, 21 PFF，则tant 22 ac co ac . 4、设椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2 中，记 12 FPF, 12 PFF, 12 FFP，则有 sin sinsin c e a . 5、若椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在 椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6、P为椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则 211 2||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当 2 ,,AFP三点共线时，等号成立. 7、椭圆 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()AaBbAxByC. 8、已知椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1） 2222 1111 ||||OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为 22 22 4ab ab ;（3） OPQ S 的最小值是 22 22 ab ab . 9、过椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x 轴于P，则 || ||2 PFe MN . 10、已知椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点 0 (,0)Px,则 2222 0 abab x aa . 11、设P点是椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF，则 (1) 2 12 2 |||| 1cos b PFPF .(2) 12 2tan 2PFF Sb . 12、设A、B是椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1) 2 222 2|cos| || s ab PA acco .(2) 2tantan1e.(3) 22 22 2 cot PAB ab S ba . 13、已知椭圆 22 22 1 xy ab （a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相 交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点. 14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切 线垂直. 15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). （注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.） 17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e. 18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 七、双曲线的常用结论： 1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角. 2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长 轴的两个端点. 3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交. 4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支） 5、若 000 (,)Pxy在双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）上，则过 0 P的双曲线的切线方程是00 22 1 xxyy ab . 6、若 000 (,)Pxy在双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则 切点弦P1P2的直线方程是00 22 1 xxyy ab . 7、双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点 12 FPF， 则双曲线的焦点角形的面积为 12 2t 2FPF Sbco . 8、双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞o）的焦半径公式：( 1 (,0)Fc, 2 (,0)Fc）当 00 (,)Mxy在右支上时， 10 ||MFexa, 20 ||MFexa；当 00 (,)Mxy在左支上时， 10 ||MFexa, 20 ||MFexa。 9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交 相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF. 10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q交于点 M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF. 11、AB是双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),( 00 yx为AB的中点，则 0 2 0 2 ya xb KK ABOM ，即 0 2 0 2 ya xb K AB 。 12、若 000 (,)Pxy在双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是 22 0000 2222 xxyyxy abab . 13、若 000 (,)Pxy在双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 22 00 2222 xxyy xy abab . 【推论】： 1、双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）的两个顶点为 1 (,0)Aa, 2 (,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于 P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 2、过双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞o）上任一点 00 (,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点，则直线BC有定向且 2 0 2 0 BC bx k ay （常数）. 3、若P为双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点, 12 PFF, 21 PFF，则tant 22 ca co ca （或tant 22 ca co ca ）. 4、设双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在 △PF1F2中，记 12 FPF, 12 PFF, 12 FFP，则有 sin (sinsin) c e a . 5、若双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时， 可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 6、P为双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则 21 ||2||||AFaPAPF,当且仅当 2 ,,AFP三点共线且P和 2 ,AF在y轴同侧时，等号成立. 7、双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC. 8、已知双曲线 22 22 1 xy ab （b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ. （1） 2222 1111 ||||OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 22 22 4ab ba ;（3） OPQ S 的最小值是 22 22 ab ba . 9、过双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平 分线交x轴于P，则 || ||2 PFe MN . 10、已知双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于 点 0 (,0)Px,则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 11、设P点是双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记 12 FPF， 则(1) 2 12 2 |||| 1cos b PFPF .(2) 12 2cot 2PFF Sb . 12、设A、B是双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB, PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1) 2 222 2|cos| || |s| ab PA acco . (2)2tantan1e.(3) 22 22 2 cot PAB ab S ba . 13、已知双曲线 22 22 1 xy ab （a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双 曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点. 14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必 与切线垂直. 15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直. 16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率). (注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点). 17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e. 18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 八、抛物线的常用结论： ①xcbyay2顶点 ) 24 4 ( 2 a b a bac . ②)0(22ppxy则焦点半径 2 P xPF ;)0(22ppyx则焦点半径为 2 P yPF . ③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的. ④pxy22（或pyx22）的参数方程为 pty ptx 2 22 （或 22 2 pty ptx ）（t为参数）. pxy22pxy22pyx22pyx22 图形 ▲ y x O ▲ y x O ▲ y x O ▲ y x O 焦点)0, 2 ( p F)0, 2 ( p F) 2 ,0( p F) 2 ,0( p F 准线 2 p x 2 p x 2 p y 2 p y 范围 Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx 对称轴x轴 y 轴 顶点（0,0） 离心率 1e 焦点 12 x p PF 12 x p PF 12 y p PF 12 y p PF