定积分的定义
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2023年3月3日发(作者：钢筋标注详解)课题：定积分的概念
一、教学内容：
1.定积分的概念及几何意义；
2.利用定积分的概念或几何意义计算简单的定积分。
二、教材分析：
内容定位：
1．工具性：定积分的概念为一些专业课的某些知识提供了理
论基础,如《工程力学》中的重心、惯性矩等等;定积分的几何意
义为求某些简单的定积分提供了计算方法。
2．职业能力：主要体现在提高了学生用积分思想分析解决专
业问题的能力。
3．课程方面：本次课是学生学习完导数和不定积分这两个概
念后的学习,定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺
垫,起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引入体现着微积
分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思
想。所以,无论从内容还是数学思想方面,本次课在教材中都处于
重要的地位。
高职高专数学教学中,定积分一直是教材中的一个重点,也是
一个难点。说是重点,源于定积分的实用性和现实性,同时它也是
其它知识点的基础。说是难点,因为学生对定积分概念的理解存在
困难。因此,在高职高专数学教学过程中,如何使得学生学好定积
分显得尤为重要。
三、教学目标：
通过探求曲边梯形的面积，使学生了解定积分的实际背景，
理解定积分的思想方法，构建定积分的认识基础;通过“数形结
合”的方法使学生理解定积分的几何意义,掌握定积分的概念。
教案
四、教学重点、难点：
〔教学重点〕：定积分的概念、定积分的几何意义；
〔教学难点〕：用定义求简单的定积分。
五、学情分析：
我所教授的学生从知识结构上来说属于好坏差别很大，有的
接受新知识很快，有的很慢，有的根本听不懂，基于这些特点，
结合教学内容，我以板书教学为主，多媒体教学为辅，把概念较
强的课本知识直观化、形象化，引导学生探索性学习。
六、教学方法：
根据对学生的学情分析，本次课主要采用案例教学法，问题
驱动教学法，讲与练互相结合，以教师的引导和讲解为主，同时
充分调动学生学习的主动性和思考问题的积极性。
七、教学手段：传统教学与多媒体资源相结合。
八、教学时数：1课时。
九、教学过程：
1、由两个实际例子引出定积分的概念.
定积分是积分学的另一个重要的基本概念，和导数概念一
样，它也是在解决各种实际问题中逐渐形成并发展起来的，现已
成为解决许多实际问题的有力工具．本节将首先从实际问题出发
引出定积分的概念，并介绍定积分的几何意义．
例1求曲边梯形的面积．
初等数学可以计算多边形、圆形和扇形等规则图形的面积，
但对于较复杂的曲线所围成的图形(图4.1)的面积计算则无能为
力．如图所示，我们总可以用若干互相垂直的直线将图形分割成
如阴影部分所示的基本图形，它是由两条平行线段，一条与之垂
直的线段，以及一条曲线弧所围成，这样的图形称为曲边梯形．
特别地，当平行线之一缩为一点时，称为曲边三角形．
那么，为什么要研究曲边梯形呢？
重要思想：
1.由已知求
未知；
2.极限思
想；
3.问题归
结；
因为求任何曲线围成的几何图形的面积，都可归结为求若干
个曲边梯形的面积的代数和.现把问题归结如下：
求由直线和连续曲线所围成的曲边梯形(图4.2)的面积．
如果曲边梯形的高不变,即(常数),则根据矩形面积公式面
积=底高
便可求出它的面积．但如果是一般曲线，则底边上每一点处的高
随变化而变化，上述计算公式就不适用．对于这样一个初等数学
无能为力的问题，我们解决的思路是：将曲边梯形分成许多小长
条(图4.2),每一个长条都用相应的矩形去代替,把这些矩形的面积
加起来,就近似得到曲边梯形的面积．小长条分得越细，近似程度
越好，取“极限”就是面积．具体地，分四步来解决．
（1）分割(化整为零) 在区间内任意添加个分点：
将区间分成个子区间，这些子区间的长度记为，
并用符号表示这些子区间的最大长度．过个分点作轴的垂线，于
是将曲边梯形分割成个小曲边梯形，它们的面积记作．显然．
（2）近似代替（以直代曲） 在第个子区间上任取一点，作以为
高，为底的第个小矩形，小矩形的面积为 第个小曲边梯形的
面积．
（3）求和（求曲边梯形面积的近似值） 将个小矩形的面积加
起来，便得到原曲边梯形面积的近似值 ．
（4）取极限（积零为整）不难想到，当分割越来越细(即越来越
大，同时最长的子区间长度越来越小时)，个矩形的面积和就越来
越接近于原曲边梯形的面积．于是当时，矩形面积之和的极限就
是原曲边梯形的面积S，即
．
例2求变速直线运动的路程
已知作直线运动物体的速度为，求该物体在时间间隔内运动的
路程ｓ．
如果物体作匀速直线运动，即速度是常量，那么
4.化整为
零；
5.以直代
曲。
分割方法--
--任意
分割要求--
--最大宽度
趋于零
路程＝速度时间
但现在物体运动的速度是变量，我们可以采取与计算曲边梯形
面积相似的方法来计算要求的路程．
（1）分割（化整为零）在时间区间内任意添加个分点：
将区间分成个子区间，这些子区间的长度记为，并用符号表示这
些子区间的最大长度．这样就把路程ｓ分割成段路程．
显然 ．
（2）近似代替（以匀代变）在第个子区间上任取一点，则表示
物体在时间段上以匀速运动时所经过的路程．当很小时，速度的
变化也很小，可以近似地看做不变，即在时间段上物体近似地以
匀速运动，于是有 ．
（3）求和（求总路程的近似值）把个子区间上按匀速运动计算
出的路程加起来，就得到 ．
（4）取极限（积零为整）不难想到，当对时间间隔的分割越来越
细，小区段上看作匀速运动时的路程之和就越来越接近．于是当
时，和式的极限即为的精确值．
总结：上述二问题一个是几何问题，一个是物理问题，但从
数学的角度来考察，所要解决的数学问题相同：求与某个变化范
围内的变量有关的总量问题．数学结构相同：求个乘积之和，当
时的极限．
它们研究的对象有三个共同的特点：
（1）都有一个在某一区间上的连续函数；
（2）所研究的量在这一区间上具有可加性：即区间被分为个小
区间时，所研究的量也被相应的分割为个部分量，且总量等于部
分量之和；
（3）在每一小区间上都可确定相应的部分量的近似值.
由此找到了研究这些问题的相同方法：
（1）化整为零，找出局部近似值；
（2）积零为整，求出和式的极限,得精确值.
这里的教学
过程：教师
提出问题，
让学生思
考，教师给
出解决方
案，让学生
思考回答为
什么求极限
得到的就是
我们要求的
精确值，教
师进行必要
的引导、分
析与归纳，
在此基础上
一步一步引
导学生抽象
出定积分的
概念.
2、定积分的概念.
定义1 设是定义在区间上的有界函数，用点：将区间任意分成
个子区间，这些子区间的长度记为．在每个子区间上任取一点，作
个乘积的和式．如果当最大子区间长度时，和式的极限存在，并且
极限值与区间的分法以及的取法无关，则该极限值称为函数在区
间上的定积分．记作，即 ．
其中右端的称为积分元素，称为积分和（或和式），左端的符号“”称为积
分号，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分变量，称为积分区间，称为
积分下限，称为积分上限．
定积分存在称函数在区间上可积，否则称为不可积．
有了定积分的概念，前面两个问题可以分别表述为：
曲边梯形的面积是曲线在区间上的定积分，即．
变速直线运动的物体所经过的路程是速度在时间区间上的定积
分，即
由定积分的定义可知
(1)定积分只与函数的对应法则以及定义区间有关，而与表示积
分变量的字母无关，因而
=
(2)定积分的实质是一种特殊和式（个乘积之和）
的特殊极限（）．（该极限与的分法无关，与的取法无关）．
(3)对的不同分法及对在区间的不同取法，将有不同的，定积分
要求所有和有相同的极限值.
(4），但.只有当把作等分时，.
什么条件下可积？
定理1 设函数在上连续，则函数在上可积．
定理2 设函数在上有界，且只有有限个间断点，则函数在上可
积．
例3利用定义计算的值.
教师分析与引导：因在区间内是连续的，故是存在的，是一常
数，且此数的大小与的分法及对在区间的取法无关，为了好计
可积的充分
条件说明：
-----几何
直观
这里的教学
过程：教师
提出问题
(定积分的
几何意义)
并给出答
案，让学生
思考并回答
为什么，教
师进行必要
的引导、分
析与归纳.
下面请同学
们进一步思
考：，为什
么？
解：提示学
生画出图
形，发现此
算：把区间分成等份分点和小区间长度分别为取作积分和
因为当所以
3、定积分的几何意义
从例子，我们看到当时，定积分表示曲边梯形的面积．当时，
曲边梯形在轴的下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的
负值．当在上有正、有负时，则定积分在几何上表示：曲线，直
线，及轴所围成的几块曲边梯形面积的代数和(图4.3)，即
．
例4利用定积分的几何意义说明： （．
教师分析与引导：这里被积函数，我们已经知道了定积分的几
何意义，故让学生画出草图，观察易得此积分表示底为，高为1的
矩形的面积．
所以有
例5根据定积分的几何意义推出下列积分的值：
（1）,（2）,（3）,（4）.
教师分析与引导：画出图形
（1）由下图（1）所示，.
积分等于矩
形长为4，
高为5的面
积，故教师
提问：
为什么？
这个问题的
教学过程：
首先让学生
思考，并回
答问题.然
后教师进行
必要的引
导、分析与
归纳，并给
出完整的回
答.
教师进行必
要的引导、
分析与归
纳，在此基
础上一步一
步引导学生
得出下面的
定理3：
（2）由上图（2）所示，.
（3）由上图（3）所示，.
（4）由上图（4）所示，.
定理3 设函数在上连续，
（1）如果为奇函数，则.
（2）如果为偶函数，.
4、课堂小结与思考题
这节课我们从实际例子出发学习了定积分的概念及几何意义.
定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通
过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个
与积分变量无关的常量.
希望同学们认真理解定积分的概念和几何意义，并灵活地掌握
用定义或几何意义求简单的定积分的值.希望同学们灵活地看待问
题，积极地思考问题，不断地发现问题和解决问题.
切记，数学离不开解题，更离不开思考问题.只有通过解题和
思考问题才能积累经验，提高能力，把握本质，体会奥妙，产生
灵感，变得熟练.
最后，还有二个问题请同学们仔细思考和认真解答：
（1）计算，的值
（2）若当，有，下面两个式子是否均成立，为什么？
①,②.
5、作业布置
作业：教材97页的第1题的（1）、（2）、（3）小题和第4题.
十、参考教材：
[1]郭运瑞，陈付贵.高等数学（上册）.北京：人民教育出版社，2009
[2]李进金.高等数学（上册）.南京：南京大学出版社，2006
图4.1
图4.2
A
B
图4.3
2
A
(
2
)
-
1
-
1
1
1
1
A
1
A
(
1
)
1
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1
3
A
4
A
5
A
2
π
π
(
3
)
1
1
(4)