柯西收敛准则

柯西收敛准则

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2023年3月2日发(作者：计件工资制)

函数极限的柯西收敛准则

以下内容来⾃中科⼤数学分析教程P73,定理2.4.7

函数在x_{0}点的极限的定义

若存在l，forallepsilon>0，existsdelta>0，使得当|x-x_{0}|

则有|f(x)-l|

定理：函数f(x)在x_{0}处有极限的充要条件是forallepsilon>0,existsdelta>0,

quadquad使得任意x_{1},x_{2}inU(x_{0},delta)时，有

quadquad|f(x_{1})-f(x_{2})|

证明：

1.必要性

若f(x)在x_{0}点的极限为l，即forallfrac{epsilon}{2}>0,existsdelta,当x_{1},x_{2}inU(x_{0},delta)

有|f(x_{1})-l|

则：|f(x_{1})-f(x_{2})|=|f(x_{1})+l-l-f(x_{2})|

quadquadleqslant|f(x_{1})-l|+|f(x_{2})-l|

quadquadleqslantfrac{epsilon}{2}+frac{epsilon}{2}=epsilon

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