第二换元积分法

第二换元积分法

-

2023年3月2日发(作者：q345r)

精品文档

精品文档

第二节换元积分法

要求：掌握用第一、二换元积分法求不定积分。

重点：第一、二换元积分法。

难点：选择恰当的变量代换。

作业：习题4－2（

252

P）***6)8)10)11)14)17)20)23)24)25)28)31)32)33)35)36)38)39)40)

1,2

问题提出：利用不定积分的基本积分表及性质可以求出一些不定积分，但它毕竟是有

限的，还有不少积分只靠上述方法是解决不了的，如xdx5sin、dxxex22．为了求出更

多的不定积分，有必要研究求不定积分的其它方法，换元积分法是本节要介绍的一种方法.

换元积分法其意思是用新变量去代换原变量，使原被积函数式变成一个比较简单的或积分表

中已有的形式.它实质为复合函数求导运算的逆运算．按引入新变量的方式分第一换元积分

法和第二换元积分法.

一、第一换元积分法

复合函数的微分已知函数)(),(xuuFy，则复合函数)]([xfy，

因此导数)()]([xxfy





，

微分duuFdxxxFdy)()()]([







．

如函数2sinxy，令2xu，得uysin，

导数xxxu

dx

du

du

du

dx

dy

2cos2cos2，

微分

xdxxxd2cos)(sin22，

上式两边积分得，

2

22cos2(cossin)sin

xu

xxdxuduucxC



.

再如

2

222

xu

xuuxexdxedueceC



.

这里我们的思想方法是与复合函数求导方法一样，引入中间变量

u

来化简运算.

定理1设函数)(uf具有原函数)(uF，且)(xu可导，则函数)]([xF是函数

)()]([xxf

的原函数，即有换元公式

()

[()]()[()][()]

uu

fxxdxFxCfudu









.

这个公式称第一换元公式（或凑微分法）.

证明思路，上式两边求导，得[()][()]'()dFxfxxdx.

计算方法

精品文档

精品文档

（1）分被积式为两部分dudxx



)(和)()]([ufxf，且)(uf的原函数易求；

（2）对该积分求出的原函数)(uF中的

u

换为函数)(x，即)(xu.

如

2

2cos2cossinsin2

xu

xdxuduuCxC



，

要想掌握第一换元法要熟记几个常用的微分：

()adxdaxb，2

2

1

dxxdx，xddx

x

ln

1

，)

1

(

1

2x

ddx

x

，xd

x

dx

2，

xxdedxe，xdxdxcossin，

2

1

arcsin

1

dxdx

x





，

2

1

arctan

1

dxdx

x





.

下列分类举例：

1．直接引入新变量（乘个常数或除个常数即可）

例1．求不定积分

x

dx

23

2

.

解



u

du

x

dxux23

23

2

ln||ln|32|uCxC.

一般地积分

duuf

a

baxdbaxf

a

dxbaxf

ubax

)(

1

)()(

1

)(

例2．求不定积分

)ln21(xx

dx

.

解

)ln21(xx

dx











x

xd

x

xd

ln21

)ln2(

2

1

ln21

ln

1(12ln)1

ln|12ln|

212ln2

dx

xC

x







.

例3．求不定积分dxxx21.

解dxxx21

)1(1

2

1

)(1

2

1

2222xdxxdx

33

22

22

121

(1)(1)

233

xcxC.

例4．求不定积分dx

x

ex3

.

解dx

x

ex3

xdexdexx3

3

2

2333

2

3

xeC.

2．通过代数变形后再引入新变量

精品文档

精品文档

例5．求不定积分

22xa

dx

.

解

22xa

dx













2

2

21

1

)(1

)(

1

u

du

a

a

x

a

x

ad

a

u

a

x

11

arctanarctan

x

uCC

aaa

.

即有公式

22xa

dx

=

1

arctan

x

C

aa

.

例6．求不定积分xxee

dx

.

解xxee

dx











1)(122x

x

x

x

e

de

e

dxe

arctanxeC.

例7．求不定积分

22xa

dx

)0(a.

解

22xa

dx











22)(1)(1

1

a

x

a

x

d

a

x

dx

a

arcsin

x

C

a



即有公式

22xa

dx

arcsin

x

C

a



利用上述公式计算不定积分

223xx

dx

.

解

223xx

dx











1)12(32322xx

dx

xx

dx

22

(1)1

arcsin

2

2(1)

dxx

C

x







.

例8．求不定积分

22ax

dx

.

解因为)

11

(

2

11

22axaxa

ax











，

所以dx

axaxa

ax

dx













)

11

(

2

1

22

1

(ln||ln||)

2

xaxaC

a



精品文档

精品文档

1

ln||

2

xa

C

axa







.

即有公式

22ax

dx1

ln||

2

xa

C

axa







.

3．利用三角公式变形的积分

常用的三角公式)2cos1(

2

1

sin2xx，)2cos1(

2

1

cos2xx.

例9．求不定积分xdxtan.

解xdxtan





x

xd

dx

x

x

cos

cos

cos

sin

ln|cos|xC

即有公式xdxtanln|cos|xC.

同理得公式cotln|sin|xdxxC.

例10．求不定积分xdxcsc.

解xdxcsc

22

sincos11cos

ln||

sinsin1cos21cos

dxxdxx

dxC

xxxx









2

2

1(1cos)1cos

ln||ln||

2sinsin

xx

CC

xx





ln|csccot|xxC.

即有公式xdxcsc

x

dx

sin

ln|csccot|xxC

利用互余关系可求不定积分xdxsec.

解xdxsec







)

2

sin(

)

2

(

cos





x

xd

x

dx

ln|csc()cot()|

22

xxC





ln|sectan|xxC.

即有公式xdxsecln|sectan|xxC.

得到一些以后经常用到的需要记住的积分公式.

（16）tanln|cos|xdxxC；（17）cotln|sin|xdxxC；

（18）secln|sectan|xdxxxC；（19）cscln|csccot|xdxxxC；

精品文档

精品文档

（20）

22

1

arctan

dxx

C

axaa





；（21）

22

arcsin

dxx

C

a

ax





；

（22）

22

11

ln||

2

xa

dxC

xaaxa







.

例11．求不定积分xdx2sin.

解xdx2sin

dxxdxdxx]2cos[

2

1

)2cos1(

2

1



11

sin2

24

xxC.

例12．求不定积分xdx4cos.

解xdx4cos

dxx2)]2cos1(

2

1

[



dxxx)2cos2cos21(

4

1

2

dx

x

x



)

2

4cos1

2cos21(

4

1

dxxx)4cos

2

1

2cos2

2

3

(

4

1

311

sin2sin4

8432

xxC.

对于被积函数是xk2sin或xk2cos时，均可利用公式

)2cos1(

2

1

cos2xx，)2cos1(

2

1

sin2xx

将被积函数降为一次方，再积分.

例13．求不定积分xdx3sin.

解xdx3sinxdxcos)cos1(23

1

coscos

3

xxC.

对于被积函数是xk12sin或xk12cos时，将其化为xk2sin或xk2cos及sinx或

cosx

的一次方次，对于xk2sin（xk2cos或），利用公式1cossin22xx，对于sinx或

cosx

，

利用sincosxdxdx或cossinxdxdx，把被积函数化为只含)sin(cosxx或的函数，

再积分.

例14．求不定积分xdx6sec.

解xdx6secxdxxdxxtan)tan1(secsec2

224

xdxxtan)tantan21(42

35

21

tantantan

35

xxxC.

例15．求不定积分xdxx52cossin.

精品文档

精品文档

解xdxx52cossinxdxxxcos)sin1(sin2

22

xdxxxsin)sinsin21(sin422

xdxxxsin)sinsin2(sin642

357

121

sinsinsin

357

xxxC.

例16．求不定积分xdxx35sectan.

解xdxx35sectanxxdxsecsectan24xxdxsecsec)1(sec2

2

2

xdxxxsec)secsec2(sec246

753

121

secsecsec

753

xxxC.

凡被积函数是xntan与xmsec类函数相乘时，均可用公式1tansec22xx与

xdxxd2sectan，xdxxxdsectansec变形后再积分.

例17．求不定积分xdxx2cos3cos.

解xdxx2cos3cos

dxxx)5cos(cos

2

111

sinsin5

210

xxC

凡被积函数为sinsin;coscos;sincosmxnxmxnxmxnx时，需用积化和差公式化为

两项和后再积分.

1

sinsin[cos()cos()]

2

xyxyxy，

1

coscos[cos()cos()]

2

xyxyxy，

1

cossin[sin()sin()]

2

xyxyxy.

说明

第一换元法在积分中常用，如何选择适当的变量代换，却没有一般的方法可循，这种方

法的特点是凑微分.要掌握该方法，需要熟记一些函数的微分公式.

如几个典型的凑微分法

)()(

1

)(baxdbaxf

a

dxbaxf，222)(

2

1

)(dxxfxdxxf，

xxxxdeefdxeef)()(，xdxfdx

x

xfln)(ln

1

)(ln，

xdxfxdxxfsin)(sincos)(sin，xdxfxdxxfcos)(cossin)(cos，

精品文档

精品文档

xdxfdx

x

xftan)(tan

cos

1

)(tan

2

，dshxshxfchxdxshxf)()(，





xdxfdx

x

xfarcsin)(arcsin

1

1

)(arcsin

2

，





xdxfdx

x

xfarctan)(arctan

1

1

)(arctan

2

.

并善于根据这些公式，从被积式中凑出合适的微分因子.另外，还需熟悉一些典型的例

子，并要多多练习，不断积累经验.

二、第二换元法

由第一换元法例题可以看出，它们的主要思想是通过适当选择新变量)(xu，使原

不定积分的被积式化为duuf)(，而要容易求出原函数)(uF，使)()(ufuF



.由此得出

不定积分[()]FxC，即

[()]()()()[()]fxxdxfuduFuCFxC

.

但用第一换元法可以解决的不定积分的类型仍受到限制，它既要求积分式适当分解为

)()]([xdxf，又同时)(uf的原函数容易求，有些函数很难做到这一点.

例如不定积分

x

dx

1

.

解求这个积分的主要困难是

x

，所以令

tx

，

则

x

dx

1

dt

t

t

t

tdttx













1

11

2

1

21

2(1)2(ln|1|)

1

dtttC

t







2(ln|1|)xxC

.

这就提示我们对一般不易用第一换元法求原函数的不定积分()fxdx，能否用变量

)(tx代换，使原积分的被积式dtttfdxxf)()]([)(

，并且)()]([ttf

的原函数

)(tG易求出，这就是我们要介绍的第二换元法.

定理2设()xt是单调、可导函数，并且'()0t，又设[()]'()ftt具有原函

数()t，则有换元公式

1

1

()

()[[()]'()]()[()]

tx

fxdxfttdttCxC











.

精品文档

精品文档

其中1()x是()xt的反函数.

证明设[()]'()ftt的原函数为()t，记1[()]()xFx，利用复合函数的求导

法则及反函数的导数公式，得到

1

'()[()]'()

'()

ddt

Fxftt

dtdxt









[()]()ftfx.

即()Fx是()fx的原函数.所以有

1

1

()

()()[()][[()]'()]

tx

fxdxFxCxCfttdt











.

下面举例说明公式的应用.

1．三角代换

例1．计算不定积分

22ax

dx

)0(a.

解因为被积函数

22

1

ax

的定义域为ax||，所以分区间讨论.

（1）当

ax

时，设taxsec，则sectandxattdt，

为了保证反函数的单值、单调性，限制

2

0



t.则

tatataataaxtan|tan|)1(secsec222222，

于是



tdt

ta

tdtta

ax

dx

sec

tan

tansec

22

1

ln|sectan|ttC

22

1

ln||

xxa

C

aa





22

1

ln||lnxxaCa

22ln||xxaC

（2）当

ax

时，令

ux

，那么

au

，由上面讨论，得

22

1

2222

ln()

dxdu

uuaC

xaua







22

11

22

1

ln()lnxxaCC

xax





精品文档

精品文档

22

22

1

2

lnln()

xxa

CxxaC

a



.

综上所述，当

ax

及

ax

时，有公式

22

22

ln||

dx

xxaC

xa





.

例2．计算不定积分

22ax

dx

)0(a.

解设taxtan，则tdtadx2sec)

2

|(|



t，则

tatataaxsec|sec|tan1222，

所以



tdt

ta

tdta

ax

dx

sec

sec

sec2

22

1

ln|sectan|ttC

又因为

a

ax

t

22

sec





，且0tansectt，

所以

22

1

22

ln()

dxxxa

C

aa

xa







22ln()xxaC

由上两例可得公式（23）、（24）22

22

ln||

dx

xxaC

xa





.

例3．计算不定积分

942x

dx

.

解

942x

dx







223)2(

)2(

2

1

x

xd

2

1

ln|249|

2

xxC

例4．计算不定积分dxxa22)0(a.

解设,cos,sintdtadxtax

2

||



t，

tdtatdtataadxxa2222222coscossin

221

(1cos2)[sin2]

222

aa

tdtttC

22

sincos

22

aa

tttC.

精品文档

精品文档

又因为

a

x

tarcsin，

a

xa

t

22

cos



，

于是

2222

22arcsin

22

axaxax

axdxC

aaa





2

22arcsin

22

xax

axC

a

.

一般被积函数含有22ax，22ax，22xa因子，采用三角代换法.

（1）当被积函数中含22xa时，设taxsin；

（2）当被积函数中含22xa时，设taxtan；

（3）当被积函数中含22ax时，设taxsec.

另外，还可用公式122tshtch计算之.

如

1

22

xashtdxacht

dtdttC

acht

xa









2

11

ln[()1]

xxx

arcshCC

aaa



22ln()xxaC.

下面利用前面给出的24个公式计算下列各题.

例5．计算不定积分

322xx

dx

.

解

322xx

dx









22)2()1(

)1(

x

xd

11

tan

22

x

arcC





例6．计算不定积分

21xx

dx

.

解

21xx

dx









22)

2

1

()

2

5

(

)

2

1

(

x

xd

21

arcsin

5

x

C





精品文档

精品文档

2．倒代换（

t

x

1

）

分母次方较高，主要消去被积函数分母中变量

x

的高次方，设

t

x

1

.

例7．计算不定积分

2321

dx

xxx

(1)x.

解设

t

x

1

，那么

2t

dt

dx，于是

2321

dx

dx

xxx

2

2

2

1

()

12

32

31

tdt

dt

t

tt

tt









2

(1)1

arcsin

2

4(1)

dtt

C

t









1

arcsin

2

x

C

x



.

3．其它代换

例8．计算不定积分

121

xdx

x

.

解令

21xt

，则

21

2

t

x



，dxtdt.

于是

121

xdx

x



2

232

1

1111

2

()[]

12232

t

tdtttdtttC

t









3

2

11

(21)(21)

64

xxC.

例9．计算不定积分

xe

dx

1

.

精品文档

精品文档

解

xe

dx

1













2

2

1

2

tt

dt

t

dt

ttex11

2()2(lnln(1))

1

dtttC

tt







2ln

1

t

C

t





2ln

1

x

x

e

C

e





22ln(1)

x

xeC.

另一个方法：

xe

dx

1

222

22

1

11

xxx

xx

eee

dxdxdx

ee









22ln(1)

x

xeC