反常积分计算

反常积分计算

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2023年3月2日发(作者：包身工读后感)

第七讲非黎曼积分（反常积分）

一、知识结构

我们知道黎曼积分要求积分区间有限，并且积分区

间是闭区间（闭区域）.下面研究积分区间无限,或积分

区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,

所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们

主要研究它的计算问题,而对反常积分,主要研究它的

收敛问题.

1、一元函数的反常积分

(1)一元函数反常积分的概念和定义

我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间ba,

或有限闭区域D，如果将积分区间ba,换成无限区间

),[a或非闭区间],(ba（a是被积函数的瑕点）或,a，

由此产生的积分我们称为反常积分，反常积分是相对于

黎曼积分所提出的，“反常”指将黎曼积分中的有限闭区

间ba,换成无限区间),[a或非闭区间],(ba（a是被积函

数的瑕点,即函数)(xf在点x处无界）.

定义1函数)(xf在无限区间),[a连续，则定义





A

a

A

a

dxxfdxxf)(lim)(，如果极限



A

a

A

dxxf)(lim存在，我

们称反常积分

a

dxxf)(收敛.

定义2函数)(xf在非闭区间],(ba连续，而在点a右邻

域内无界（a是被积函数)(xf的瑕点）即函数在点a无界，

则定义





b

k

ak

b

a

b

a

dxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)(

0





,如果极限





b

a

dxxf





)(lim

0

存在，我们称反常积分b

a

dxxf)(收敛.

函数)(xf在点a右邻域内无界的意思是：



)(limxf

ax

.

注意:函数在点a没有定义,但函数)(xf在点a右极限

)(limxf

ax

可以存在,这时a不是被积函数)(xf的瑕点.

例如,函数

x

xsin

在点0处没有定义,但1

sin

lim

0



x

x

x

,所以

0x不是积分1

0

sin

dx

x

x

的瑕点.1

0

sin

dx

x

x

不是反常积分.

将积分1

0

sin

dx

x

x

看作推广的黎曼积分.因为,如果被积

函数)(xf在闭区间ba,上仅有有限个第一类间断点,则

积分b

a

dxxf)(为推广的黎曼积分,它也是收敛的.

定义3函数)(xf在开区间),(ba内连续，ba,都是函数

)(xf的瑕点，则定义



















b

c

c

a

b

c

c

a

b

a

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)()()(

00

,

如果极限



c

a

dxxf





)(lim

0

和







b

c

dxxf)(lim

0

均存在，我们称反

常积分b

a

dxxf)(收敛.

定义4函数)(xf在无限区间),(a连续，a是函数)(xf

的瑕点，则定义













A

b

A

b

ab

b

aa

dxxfdxxfdxxfdxxfdxxf)(lim)(lim)()()(

0





,

如果极限



b

a

dxxf





)(lim

0

和



A

b

A

dxxf)(lim均存在，我们称反常

积分

a

dxxf)(收敛.

②积分区域无限且被积函数),(yxf有瑕点（了解）.

2、一元函数反常积分的性质与收敛判别

请同学们切记如下例子中的结论.

例讨论积分dx

xp1

0

1

和dx

xp

1

1

的敛散性.

解显然dx

x

1

0

1

和dx

x



1

1

均发散.

在区间]1,0(上,当1p时,函数

xxp

11

,即前者的图

像在后者的图像下方,这时dx

xp1

0

1

收敛(请同学给出证明).

当1p时,函数

xxp

11

,即前者的图像在后者的图像上

方,这时dx

xp1

0

1

发散(请同学给出证明).

在区间),1[上,当1p时,函数

xxp

11

,即前者的图

像在后者的图像上方,这时dx

xp

1

1

发散(请同学给出证

明).当1p时,函数

xxp

11

,即前者的图像在后者的图

像下方,这时dx

xp1

0

1

收敛(请同学给出证明).

结论:



















时当

时，当，

1,

1

1

1

11

0p

p

p

dx

xp

和



















.1,

1

1

1

1

1时当

时，当，

p

p

p

dx

xp

(1)无穷积分的性质与收敛性判别

①无穷积分的性质

(a)若dxxf

a

)(

1与dxxf

a

)(

2收敛,则

dxxfkxfk

a

)]()([

2211

也收敛,且

dxxfkdxxfkdxxfkxfk

aaa

)()()]()([

22112211.

(b)若)(xf在任何有限闭区间],[ua上可积,ba,则

dxxf

a

)(与dxxf

b

)(同敛态(同时收敛或同时发散),并且

dxxfdxxfdxxf

b

b

aa

)()()(.

(c)若)(xf在任何有限闭区间],[ua上可积,且有

dxxf

a)(收敛，则dxxf

a

)(收敛，且

dxxfdxxf

aa)()(.

当dxxf

a)(收敛时,称dxxf

a

)(绝对收敛.我们称收

敛而不绝对收敛者为条件收敛.

②无穷积分的收敛判别

(a)柯西收敛准则

对无穷积分dxxfdxxf

u

a

u

a

)(lim)(



的敛散性用以下准

则可以作出判断.

定理1(柯西收敛准则)无穷积分dxxf

a

)(收敛的充要

条件是:对0,0U,)(UU,当Uuu

21

,时,

有dxxfdxxfdxxfu

u

u

a

u

a

)()()(2

1

21.

无穷积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准

则得到.

(b)比较法则

定理2(比较法则)设定义在),[a上的两个函数)(xf

和)(xg都在任何有限区间],[ua上可积,且满足

)()(xgxf,),[ax,则当dxxg

a

)(收敛时dxxf

a)(必收

敛;当dxxf

a)(发散时dxxg

a

)(必发散.

考虑当dxxg

a

)(收敛时dxxf

a)(必收敛是否正确当

dxxf

a)(发散时dxxg

a

)(必发散是否正确

推论1设定义在),[a上的两个函数)(xf和)(xg都在任

何有限区间],[ua上可积,0)(xg,且c

xg

xf

x



)(

)(

lim,则有

①当c0时,dxxf

a)(与dxxg

a

)(同敛态;

②当0c时,由dxxg

a

)(收敛可推知dxxf

a)(也收

敛;

③当

c

时,由dxxg

a

)(发散可推知dxxf

a)(也发

散.

利用不等式

c

xg

xf

c

)(

)(

，即

)()()(xgcxfxgc可证上述结论.

推论2设)(xf是定义在),[a(0a)的函数,且在任何

有限区间],[ua上可积,则有:

①当

px

xf

1

)(,),[ax,且1p时,dxxf

a)(收敛;

②当

px

xf

1

)(,),[ax,且1p时,dxxf

a)(发散.

利用结论



















时当

时，当，

1,

1

1

1

1

1p

p

p

dx

xp

可证上述结论.

推论3设)(xf是定义在),[a(0a)的函数,在任何有

限区间],[ua上可积,且

cxfxp

x





)(lim,则有:

①当cp0,1时,dxxf

a)(收敛;

②当cp0,1时,dxxf

a)(发散.

利用不等式

c

xg

xf

c

)(

)(

，即

)()()(xgcxfxgc可证上述结论.

(c)狄利克雷判别法

定理3(狄利克雷判别法)若u

a

dxxfuF)()(在),[a上

有界,)(xg在),[a上当

x

时单调趋于0,则

dxxgxf

a

)()(收敛(了解).

(d)阿贝尔(Abel)判别法

定理4(阿贝尔(Abel)判别法)若dxxf

a)(收敛，)(xg

在),[a上单调有界,则dxxgxf

a

)()(收敛(了解).

(2)瑕积分的性质与收敛判别

①瑕积分的性质

(a)若)(

1

xf与)(

2

xf都以ax为瑕点，

21

,kk为常数，则

当瑕积分dxxf

b

a

)(

1与dxxf

b

a

)(

2收敛时,瑕积分

dxxfkxfkb

a

)]()([

2211

必定收敛,且

dxxfkdxxfkdxxfkxfkb

a

b

a

b

a

)()()]()([

22112211.

(b)设函数)(xf以ax为瑕点，),(bac为任一常数，

则瑕积分dxxf

b

a

)(与dxxf

c

a

)(同敛态(同时收敛或同时发

散),并且dxxfdxxfdxxf

b

c

c

a

b

a

)()()(，其中)(xfb

c为定积

分.

(c)设函数)(xf以ax为瑕点，若)(xf在],(ba的任一

内闭区间],[bu上可积,则当dxxf

b

a)(收敛时，dxxfb

a

)(也必

收敛，且dxxfdxxf

b

a

b

a)()(.

当dxxf

b

a)(收敛时,称dxxfb

a

)(绝对收敛.我们称收敛

而不绝对收敛者为条件收敛.

②瑕积分的收敛判别

(a)柯西收敛准则

对瑕积分

dxxfdxxf

b

u

au

b

a

)(lim)(

的敛散性用以下准则可

以作出判断.

定理1(柯西收敛准则)瑕积分dxxf

b

a

)(（瑕点为a）收

敛的充要条件是:对0,0,)(,当

auau

21

0,0时,有

dxxfdxxfdxxfu

u

b

u

b

u

)()()(2

121

.

瑕积分的柯西收敛准则可由函数极限的柯西收敛准则

得到.

(b)比较法则

定理2(比较法则)设定义在],(ba上的两个函数)(xf和

)(xg，瑕点同为ax，)(xf和)(xg都在任何有限区间

],(],[babu上可积,且满足)()(xgxf,],(bax,则当

dxxgb

a

)(收敛时dxxf

b

a)(必收敛;当dxxfb

a)(发散时

dxxgb

a

)(必发散.

考虑当dxxg

b

a

)(收敛时dxxf

b

a)(必收敛是否正确当

dxxfb

a)(发散时dxxgb

a

)(必发散是否正确

推论1又若0)(xg,且c

xg

xf

ax



)(

)(

lim,则有

①当c0时,dxxf

b

a)(与dxxgb

a

)(同敛态;

②当0c时,由dxxg

b

a

)(收敛可推知dxxf

b

a)(也收敛;

③当

c

时,由dxxg

b

a

)(发散可推知dxxf

b

a)(也发散.

利用不等式

c

xg

xf

c

)(

)(

，即

)()()(xgcxfxgc可证上述结论.

推论2设)(xf是定义在],(ba的函数,瑕点为ax，且

在任何有限区间],(],[babu上可积，则有:

①当

pax

xf





1

)(,且10p时,dxxfb

a)(收敛;

②当

pax

xf





1

)(,且1p时,dxxfb

a)(发散.

利用结论



















时当

时，当，

1,

1

1

1

11

0p

p

p

dx

xp

可证上述结论.

推论3设)(xf是定义在],(ba的函数,瑕点为ax，且

在任何有限区间],(],[babu上可积，且



)(limxfaxp

ax

,

则有:

①当0,10p时,dxxf

b

a)(收敛;

②当0,1p时,dxxf

b

a)(发散.

2、多元函数的反常积分

(1)积分区域无限且被积函数),(yxf没有瑕点

①函数),(yxfz在无限区域:D),[),[ca上的反常

积分

定义5函数),(yxfz在无限区域:D),[),[ca连

续，则定义







A

a

B

c

B

A

ac

D

dyyxfdxdyyxfdxdxdyyxf),(lim),(),(,如果极

限存在，我们称反常积分

ac

dyyxfdx),(收敛.

②函数),(yxfz在无限区域:D],(],(yx上的反

常积分

定义6函数),(yxfz在无限区域:D],(],(yx连

续，则定义









x

A

y

B

B

A

xy

D

dyyxfdxdyyxfdxdxdyyxf),(lim),(),(,如果极

限存在，我们称反常积分

xydyyxfdx),(收敛.

由于式中

xydyyxfdx),(的积分上限中的yx,与被积函

数中的

yx,

不同,所以

xydyyxfdx),(经常表示为



xydttufdu),(.这种积分是概率论与数理统计中常用求

概率分布函数),(yxF的积分,即

xydyyxfdxyxF),(),(,

其中),(yxf.

③函数),(yxfz在无限区域),(),(上的反

常积分(请同学给出其定义).

④函数),(yxfz在无限区域),(),[a上的反常

积分(请同学给出其定义).

⑤函数),(yxfz在无限区域),[),[ca上的反常积

分(请同学给出其定义).

上述积分在概率中经常用到.已知随机变量YX,,函数

),(yxf是随机变量YX,的概率密度函数,),(yxF表示随机

变量YX,的分布函数,则概率



xydyyxfdxyxFyYxXP),(),(),(,







x

X

x

X

dxyxfdyyxfdxxFxFYxXP),(),()(),(),(

,







y

Y

y

Y

dyyxfdxyxfdyyFyFyYXP),(),()(),(),(

,

其中),(yxf

X

,),(yxf

Y

分别称为YX,边缘概率密度函数,

),(yxF

X

,),(yxF

Y

分别称为YX,边缘分布函数.

例如(考研2010年数学一)设二维随机变量),(YX的概

率密度函数为

2222),(yxyxAeyxf,x,y,

求常数

A

及条件概率密度)(xyf

XY

.

解:因为1),(F,所以





































dyAedx

dyAedxdyyxfdxyxF

yyx

yxyx

22

22

)(

22),(),(1

作变量替换















sin

cos

ry

ryx

，r0，

20，即















sin

sincos

ry

rrx

.

则



r

r

r

y

r

y

x

r

x

rJ

































cossin

sincossincos

),(.

所以

AdrrAeddyAedxryyx











0

2

0

)()(222,进

而



1

A.

2222

22

2222

22

11

(,)

()

1

()

(,)

xxyyxxyy

YX

xxyy

X

ee

fxy

fyx

fx

fxydy

edy























222222

222222

222222

()2

0

111

(,)

111

2

xxyyxxyyxxyy

xyxxtxt

eee

yxtdydt

eedyeedteedt

















222222

2

22

222222

2

11

1

22

00

111

1

(,)

11

11

2

2

xxyyxxyyxxyy

x

xuxu

eee

tudtdu

u

e

euedueuedu





























22

22

2

22

2

1

1

,.

1

xxyy

xxyy

x

e

ey

e















注:由余元公式)10(

sin

)1()(s

s

ss





得:















2

1

.

还可以用以下方法计算















2

1

.余元公式

)10(

sin

)1()(s

s

ss





的证明过程很繁杂,在此证明

略.

先计算dxdye

D

yx)(22,其中区域

D

:ayax0,0.

因为222:ayxD

a

,222

2

2:ayxD

a

.则

dxdyedxdyedxdye

a

a

D

yx

D

yx

D

yx

2

222222)()()(,

即

dxdyedxedyedxedxdye

a

a

D

yx

a

x

aa

yx

D

yx















2

2222222)(

2

000

)(.

令















sin

cos

ry

rx

,

2

0,0



ar.则

2221

4

)(a

D

yxedxdye

a





.

令















sin

cos

ry

rx

,

2

0,20



ar.则

2

2

222)(1

4

a

D

yxedxdye

a





.

所以2222

2

0

1

4

1

4

a

a

xaedxee

















.因为



4

1

4

lim2





a

a

e,

4

1

4

lim22







a

a

e,所以

20

2



dxex,

进而















dxex

0

22

2

1

.

上面的积分给出了反常积分计算的一个重要方法:

夹逼方法.同学们应切记这种方法.

(2)多元函数反常积分性质与收敛性判别

3、含参量的反常积分（考数学专业的同学需要掌握）

(1)含参量反常积分的概念和定义

(2)含参量反常积分性质与收敛性判别

二、解证题方法

1、反常积分的计算

反常积分的计算题在考研中很少出现,如果出现,一

般用变量替换法求解.

例1(南京农业大学2004年)求dx

x

x



1

0ln

1

.

解令tex,则dtedxt.进而

0

2

1

2

1

1

ln

1

0000

00

2

0

2

01

0























dt

t

e

du

u

e

dt

t

e

du

u

e

dt

t

e

dt

t

e

dt

t

ee

dte

t

e

dx

x

x

tutu

tttt

t

t

.

例2(南京大学2000年)求dt

t

t

x

x





1

1

2

0

cos

lim.

解令

x

t

1

,则dx

x

dt

2

1

,所以

1sin

1

sin1sinlim

1

1

sinlim

1

1

cos

lim

cos

lim1

2

1

1

2

0

















































t

t

x

dt

x

x

dt

t

t

tt

t

t

x

x

.

例3(南京农业大学2004年)求dx

x



0

41

1

.

解作变量替换

x

t

1

,则

dt

t

t

dx

x

dx

x

dx

x

dx

x



































2

0

1

4

1

0

4

1

4

1

0

4

0

4

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

dx

xxxx

x

dx

x

x

dx

x

x

dx

x





















1

0

22

2

1

0

4

2

1

0

4

2

1

0

42121

1

1

1

11

1

dx

xx

dx

xx









1

0

2

1

0

221

1

2

1

21

1

2

1

dx

x

dx

x









1

0

2

1

0

2121

1

121

1



4

2

0

1

12arctan

2

1

0

1

12arctan

2

1

xx.

例4(上海理工大学2003年)已知积分

2

sin

0



dx

x

x

,计

算dx

x

x















0

2sin

.

解

dx

x

xx

x

x

xdxdx

x

x























0

2

1

0

2

0

2cossin2

0

sin

)(sin

sin

2

sinsin

lim)2(

2

2sinsin

lim

22

0

0

2

0



















































a

a

b

b

xd

x

x

a

b

x

x

b

a

b

a

22

sinsin

lim

2

22

0

























a

a

a

b

b

b

a

.

例5(兰州大学2005年)求1

0

lnxdx.

解首先判断积分1

0

lnxdx反常性。

因为lnx在[0,1]上有间断点0，并且

0

limln

x

x



，所以

积分1

0

xdxln是反常积分。



111

0

00

1

lnlimlnlimlnln

aa

aa

xdxxdxxxxdx

a











aaaaaadxxx

aaa

a

a

a



















1limlnlim1lnlimlnlim

000

1

1

0

11

1

1

lim1

1

ln

lim1limlnlim

2

0000







a

a

a

a

aaa

aaaa

.

(2)反常积分的收敛性判别

例1(数学(一)2010年)设

nm,

为正整数，则反常积分



1

0

2)1(ln

n

m

x

x

的收敛性

A.仅与m的取值有关；B.仅与n的取值有关;C.与

nm,的取值都有关；D.与nm,的取值都无关.

解选D.理由如下：反常积分dx

x

x

n

m

1

0

2)1(ln

可能有两

个瑕点1,0.所以

dx

x

x

dx

x

x

dx

x

x

c

n

m

c

n

m

n

m









1

2

0

2

1

0

2)1(ln)1(ln)1(ln

,

其中10c.

(1)先讨论积分dx

x

xc

n

m



0

2)1(ln

的收敛性.

因为nm

n

m

x

n

m

x

x

x

x

x

x12

2

0

2

0

lim

)1(ln

lim









，所以当

nm

12

时，

0x不是dx

x

xc

n

m



0

2)1(ln

的瑕点，进而dx

x

xc

n

m



0

2)1(ln

收敛.

当

nm

12

时，0x是dx

x

xc

n

m



0

2)1(ln

的瑕点,由于

c

x

x

x

x

x

x

n

m

mn

x

n

m

mn

x













1lim

)1(ln

0lim

2

21

0

2

21

0

,

1

21

0

mn

p,由瑕积分比较判别法知,

dx

x

xc

n

m



0

2)1(ln

收敛.

再讨论dx

x

x

c

n

m

1

2)1(ln

的收敛性.

作变量替换xt1,则

dt

t

t

dt

t

t

dx

x

xc

n

m

c

n

m

c

n

m









1

0

2

0

1

2

1

2

1

ln

1

ln

)1(ln

.因为





n

m

tt

t

1

ln

lim

2

0

，所以0t是积分dt

t

tc

n

m



1

0

2

1

ln

的瑕点。

可找到满足10p的)2(

1

m

m

p,使得



22

13

22

2

1

000

11

ln

2

ln

lim0limlim0

111

mm

m

m

nnn

ttt

ttt

t

t

tc

ttt

















,

其中c0.由瑕积分的敛散性判定的比较法则知,

dx

x

x

c

n

m

1

2)1(ln

收敛.

综上所述,反常积分

1

0

2)1(ln

n

m

x

x

的收敛性与

nm,

的

取值都无关.

例2(汕头大学2003年)判断无穷积分dx

xp

0)1(

1

的

敛散性,并证明你的结论.

解因为1

1

1

1

lim

1

lim

)1(

1

lim



























































p

x

p

x

p

p

x

x

x

x

x

x,所

以,当1p时,dx

xp

0)1(

1

收敛,当1p时,

dx

xp

0)1(

1

发散.

例3(中山大学2007年)判断积分dxexx



0

22.

解因为

222

2

234

22

2

lim

2

4

limlimlim

x

x

x

x

x

x

x

xe

x

xe

x

e

x

exx









0

2

lim

2

4

lim

22





x

x

x

xexe

x

.

所以,由比较判别法知积分dxexx



0

22收敛.

例4(中国地质大学2005年)讨论





1lnq

pxx

dx

(0,qp)

的敛散性.

解因为







q

p

xxxln

1

lim

1

,所以1x是





1lnq

pxx

dx

的瑕

点.将





1lnq

pxx

dx

化为:

21

11

II

xx

dx

xx

dx

xx

dx

e

q

p

e

q

p

q

p



lnlnln

.

因为1

1

1

1

1

1

1

111



































p

x

qp

q

x

qp

q

xxxx

x

xx

xlim

)(

)(lim

)(ln

)(lim,

所以由瑕积分收敛的比较判别法知,当1q时

1

I收敛,

当1q时

1

I发散.下面讨论反常积分

2

I的敛散性.

(1)当1q时,如果1p,则由

0

)(ln

1

lim

)(ln

1

lim

)(ln

1

lim















q

x

q

x

qp

p

xxxxx

x和1p,反常积

分

2

I收敛.

(2)当1q时,如果1p,则





e

q

e

q

px

dx

xx

dx

lnln

收

敛,即反常积分

2

I收敛.

(3)当1q时,如果1p,不好判断.