奔驰定理证明

奔驰定理证明

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2023年3月2日发(作者：希望的英文)





1,0

,

OB





cos



,sin



，OC







cos,



sin



OA

OAsinOBsinOCsin



sinsin







,0







sinsin,0







0,0



0

OAsinOBsinOCsin0



OA

sin

OB

sin

OC

sin0

OAOBOC

OBOCsinOA

1OAOCsinOB

1OAOBsinOC0

•OAS•OBS•OC0

方法二：由

x,y,z0

，若

xOAyOBzOC0，则

O

A'

xOA,O

B'

yOB,OC'

zOC,使O

A'

O

B'

OC'

0













即O是

ABC的重心.

奔驰定理的三种证明方法：

方法一：建系：点A,B,C是单位圆上的任意三点.令A(1,0),B(

cos

,sin



)，C(

cos



,sin



)













1

222

即S

BOC



AOC

AOB



S:S:Sz:x:y

.

AOBBOCAOC

证明：作

'''

S

A

B'O



'

SBOCyzSAOC

ABC的重心，则S

3'

•OAS•OBS•OC0

kOAkOBkOC0.

OAO

A'

，过A点作AC平行于OB交OC于点C，过A点作AB平行



于OC交OB于点B.O

A'

O

B'

O

C'

S



S



k

O

B'



k

OB22

A'

BOC



S



k

OC'



kC

A

OA

k

OBOC

k

kOAkOBkOC0.

k:k:k，则

kOAkOBkOC0.

C，过A点作

AB平行于OC交OB于点

O

B'

OC'



则

S

AOB

'



1

2

1

OAOBsinAOB

2

OAOB'sinAOB



1

xy

S



BOC

',



1

S

1

,

A'OC'

xz

O是'''



A'OB'

S



B'OC'

S



A'OC'



1S

A'BC'

S:S:S

z:x:y

AOBBOCAOC

即S

BOCAOCAOB

方法三：★设O是



ABC内一点，且S:S:Sk:k:k，

BOCAOCAOB

123

则

设



123

‘’'‘‘’'



'

OB

OB

'

S

B



,

OC

S

OCS

SAOCkk

BOC

BOC11

同理

OC'

OC

S



,

OBS

S



'

OBS

SAOBk3

k3OB

BOCBOCBOC

1

1

k

k

2



3



11

即

123

★设O是



ABC外一点，不妨设点A和点O位于直线BC的两侧，

若S:S:S

BOCAOCAOB

123123

证明：过A点作

A

C

'平行于OB交OC于点



'

‘'

OB'S

B



S



k

k

O

B'

OB22



,

kOBS

Sk

OC

S

C



S



k

'



k

OOB

,

kC

k

OCS

S

BOC



OA



k

OBOC

k

kOAkOBkOC0.

kOBkOC0.



1OBOAsin









OCOA

sin，S

AOB

OC

k

OB

k

OC

OB

k

kOBkOC0.

例：O为

ABC内一点，OA2OB3OC0,则S

AP

xAB

yAC，则xy_____________

4:3:2

,设AO

AB

AC

,

例：3变式1：

2

AOC

同理

'

BOC11

AOB33



BOCBOC11

k

k

2



3



11

即

123

★当点O在

ABC的某一边上，设O在BC边上（不与B,C重合），则相当于k

0

，上

1

面的定理仍然成立.即

23

证明：S

AOC



1

22

S

SAOC

AOB







2

3

，则



k2

3

即

2



3

:S_________

AOBBOC

变式1:已知点P是



ABC内一点，

ABP,BCP,CAP

的面积之比为2：3：4，



变式2：（2016年清华大学自主招生）

已知O为



ABC内一点，S

AOB

:S

BOC

:S

AOC



则



___________,



_____________

24

变式2：

,

999

OAtanB•OBtanC•OC0

BPBPPC

tanA

2

1

APPCAPtanB



tanB

例：已知O是

ABC的垂心，OA2OB3OC0，则A=____________

OA

sinB

•OB

sinC

•OC0.

AO

pAB

qAC，则

p

的值为____________.（

3

）

OAsin2B•OBsin2C•OC0.

4

，若OCmOAnOB

m,nR



，则

例：已知O是ABC的外心，

C



mn_______________2,1



推论1：垂心

若O是

ABC的垂心，则tanA•

证明：S:S:Stan

A

:tan

B

:tan

C

由

S

SBOC

AOC

BOC

AOC

AOB

1

OCBP

•

OCAP

2

同理：

S

AOCtanC

即证.

AOB





（4

）

推论2：内心

若O是

ABC的内心，则sinA•

证明：S:S:Ssin

A

:sin

B

:sin

C

BOCAOCAOB

由S

BOC

:S

AOC

:S

AOB



1

ar

:

1

br

:

1

cr

222



a

:

b

:

c

sin

A

:sin

B

:sin

C

即证.

例：在



ABC中，AB=BC=2,AC=3,设O是



ABC

的内心,若O是



ABC的内心，若



q2

推论3：外心

若O是

ABC的外心，则sin2A•

证明：S

BOC

:S

AOC

:S

AOB



1R2sinBOC:

1R2sinAOC:

1R2sinAOBsin2A:sin2B:sin2C

.

222



