轨迹方程怎么求

发布时间：2023-06-10 作者：admin 来源：文学

轨迹方程怎么求

2023年3月2日发(作者：描写秋雨的句子)

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轨迹方程的求法

一、知识复习

轨迹方程的求法常见的有（1）直接法；（2）定义法；（3）待定系数法（4）参数法（5）

交轨法；（6）相关点法

注意：求轨迹方程时注意去杂点，找漏点.

一、知识复习

例1：点P（－3，0）是圆x2+y2－6x－55=0内的定点，动圆M与已知圆相切，且过点P，

求圆心M的轨迹方程。

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例2、如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠

APB=90°，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

解：设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在Rt△ABP中，|AR|=|PR|.

又因为R是弦AB的中点，依垂径定理：在Rt△OAR中，|AR|2=|AO|2－|OR|2=36－(x2+y2)

又|AR|=|PR|=22)4(yx

所以有(x－4)2+y2=36－(x2+y2),即x2+y2－4x－10=0

因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动.

设Q(x,y)，R(x

1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=





y

代入方程x2+y2－4x－10=0,得

()

(22





xyx

－10=0

整理得：x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程.

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例3、如图,直线L

1和L2相交于点M,L1L2,点NL1.以A,B为端点的曲线段C上

的任一点到L

2的距离与到点N的距离相等.若AMN为锐角三角形,|AM|=17,|AN|=

3,且|BN|=6.建立适当的坐标系,求曲线段C的方程.

解法一：如图建立坐标系，以l

为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点。

依题意知：曲线段C是以点N为焦点，以l

为准线的抛物线的一段，其中A，B分别为C的端点。

设曲线段C的方程为

)0,(),0(22yxxxppxy

BA，

其中x

分别为A，B的横坐标，P=|MN|。

)2(92)

(

)1(172)

(

3||,17||

)0,

(),0,

(









ANAM

得由

所以

由①，②两式联立解得



。再将其代入①式并由p>0解得















或

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因为△AMN是锐角三角形，所以A



，故舍去









∴p=4,x

由点B在曲线段C上，得

||

BNx

B。

综上得曲线段C的方程为

)0,41(82yxxy

解法二：如图建立坐标系，分别以l

、l

为

轴，M为坐标原点。

作AE⊥l

,AD⊥l

，BF⊥l

垂足分别为E、D、F

设A(x

)、B(x

)、N(x

,0)

依题意有

)0,63)(2(8

}0,,)(|),{(

),(

6||||

4||||||

||||

22||||||

3|||||

222

















yxxy

yxxxxyxxyx

PCyxP

NBBEx

AEAMME

ENMEx

AMN

DAAMDMy

ANDAMEx

BAN

的方程故曲线段

属于集合上任一点则由题意知是曲线段设点

为锐角三角形故有由于

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例4、已知两点)2,0(),2,2(QP以及一条直线：y=x，设长为2的线段AB在直线



上移动，

求直线PA和QB交点M的轨迹方程．

解：PA和QB的交点M（x，y）随A、B的移动而变化，故可设)1,1(),,(ttBttA，

则PA：),2)(2(

2





tx

yQB：).1(

2





tx

消去t，得.082222yxyx

当t=－2，或t=－1时，PA与QB的交点坐标也满足上式，所以点M的轨迹方程是

.0822222yxxyx

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例5、设点A和B为抛物线y2=4px(p＞0)上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥

AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.

解法一：设M(x,y)，直线AB的方程为y=kx+b

由OM⊥AB，得k=－

由y2=4px及y=kx+b，消去y,得k2x2+(2kb－4p)x+b2=0

所以x

1x2=

,y1y2=

pb4

，

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7/20

由OA⊥OB，得y

1y2=－x1x2

所以

pk4

=－

,b=－4kp

故y=kx+b=k(x－4p),

得x2+y2－4px=0(x≠0)

故动点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)，

它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点.

解法二：设A(x

1,y1),B(x2,y2),M(x,y)依题意，有



























pxy

①－②得(y

1－y2)(y1+y2)=4p(x1－x2)

若x

1≠x2,则有

2121







⑥①×②,得y1

2·y

2=16p2x1x2③代入上式

有y

1y2=－16p2⑦

⑥代入④，得





⑧⑥代入⑤，得

21











所以

)(4

ypx

yyp







即4px－y

2=y(y1+y2)－y1

2－y

1y2⑦、⑧代入上式，得x2+y2－4px=0(x≠0)

当x

1=x2时，AB⊥x轴，易得M(4p,0)仍满足方程.

①

②

③

④

⑤|

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故点M的轨迹方程为x2+y2－4px=0(x≠0)它表示以(2p,0)为圆心，以2p为半径的圆，

去掉坐标原点.

轨迹方程(练习1)

1．(08、山东文22)已知曲线

C：

||||

1(0)

所围成的封闭图形的面积为

45，曲线

C的内切圆半径为

，记

C为以曲线

C与坐

标轴的交点为顶点的椭圆．(1)求椭圆

C的标准方程；

(2)设AB是过椭圆

C中心的任意弦，L是线段AB的

垂直平分线，

是

上异于椭圆中心的点．

①若||MO＝λ||OA(O为坐标原点)，当点

在椭圆

C上

运动时，求点M的轨迹方程；

②若

是

与椭圆

C的交点，求AMB的面积的最小值．

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解：(1)由题意得

245

















4522ba，

椭圆方程：22

＝1．

(2)若AB所在的斜率存在且不为零，设

AB所在直线方程为y＝kx(k≠0)，A(

yx，)．

①由

ykx

















2020

4545AA





，



222

20(1)

45AA

OAxy







．

设M(x，y)，由|MO|＝λ|OA|(λ≠0)



|MO|2＝λ2|OA|22

222

20(1)









．

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因为L是AB的垂直平分线，所以直线L的方程为y＝

k＝

，代入上式有：

2222

20(1)

20()











，由022yx2225420xy，

当k＝0或不存时，上式仍然成立.，综上所述，M的轨迹方程为

，（λ0）．

②当k存在且k0时，

2020

4545AA





，

|OA|2＝

20(1)

45AA







．

由



















2020

5454MM





，

20(1)







．



2222

1111

20(1)20(1)

4554

OAOM





＝

．

2119

||||20OAOB

OAOM





||||OBOA≥

．

||||2

OBOAS

AMB





＝||||OBOA≥

，

当且仅当4＋5k2＝5＋4k2时，即k＝



1时等号成立．

当

140

025225

29AMB



，；

当k不存在时，

140

5425

29AMB



．

综上所述，AMB的面积的最小值为

．

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2．（07、江西理21）设动点P到点(10)A，和(10)B，的距离分别为

d和

d，2APB，且存

在常数(01)，使得2

sindd．

(1)证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；

(2)过点B作直线与双曲线C的右支于MN，两点，试

确定的范围，使OM·ON＝0，其中点O为坐标原点．

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解：(1)在PAB△中，2AB，即222

1212

22cos2dddd，

1212

4()4sindddd，即2

1212

44sin212dddd（常数），

点P的轨迹C是以AB，为焦点，实轴长221a的双曲线，方程为：







．

（2）设

()Mxy，，

()Nxy，

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①当MN垂直于x轴时，MN的方程为1x，(11)M，，(11)N，在双曲线上．

即2

1115

110











，

因为01，所以





．

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为

(1)ykx．

由

(1)

ykx



















得：

2222(1)2(1)(1)()0kxkxk





，由题意知：2(1)0k







2(1)

(1)











，

(1)()

(1)











1212

(1)(1)

(1)

yykxx









．

由OM·ON＝0，且MN，在双曲线右支上，

所以

1212

(1)

512

xxyy































































．

由①②知





．

3．（09、海南）已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy

的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的

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距离分别是7和1．（1）求椭圆C的方程；（2）若

为椭圆C上的动点，

为过

且垂直

于x轴的直线上的点，2

（e为椭圆C的离心率），求点M的轨迹方程，并说明轨

迹是什么曲线．

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解：（Ⅰ）设椭圆长半轴长及分别为a，c．由已知得













a＝4，c＝3



椭圆C的方

程为

167

．

（2）设M（x，y），P（

x，

y）．

其中

x∈[－4，4]，

x＝x．有22

001

167

……①

由

得：22







＝

．

故2222

16()9()xyxy

【下面是寻找关系式

x＝f（x，y），

y＝g（x，y）

的过程】

又















71122

……………………………………②

②式代入①：22

001

167

并整理得：

(44)

yx，所以点M的轨迹是两条平行于x

轴的线段．

轨迹方程(练习2)

4．（09、重庆理）已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为

y，离心率

e

，M是椭圆上的动点．

(1)若C、D的坐标分别是(0，√3)、(0，－√3)，求||MC·||MD的最大值；

(2)如图，点A的坐标为(1，0)，点B是圆221xy上的点，点N是点M(椭圆上的点)在

轴上的射影，点Q满足

条件：OQ＝

＋

，QA·BA＝0．求线段QB的中点P的轨迹方程．

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解：(1)设椭圆方程为：

（a＞b＞0）．准线方程

y＝

，

e

＝

2a，32c1b

椭圆方程为：

x．所以：C、D是椭圆

x的两个焦点||MC＋||MD＝4．||MC·||MD≤

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||||

(2

MDMC

，当且仅当||MC＝||MD，即点M的坐标为(1,0)时上式取等号||MC·||MD的最大

值为4．

(2)设M(,),(,)

mmBB

xyBxy，

(,)

Qxy

，N(0，

4422

yx，122

yx．

由OQ＝

＋ON



xx2，

yy

4)2(2222

mmQQ

yxyx………①

由QA·BA＝0

(

yx，1

)·(

yx，1)＝(

x1

)(

x1)＋

＝0



BQBQ

yyxx1

…………②

记P点的坐标为(

x，

y)，因为P是BQ的中点



BQP

xxx2

，

BQP

yyy2

2222)

()

(BQBQ

yyxx



＝)22(

2222

BQBQBQBQ

yyxxyyxx

＝)]1(25[



xx＝)245(



x

PPP

xyx

动点P的方程为：1)

(22yx．

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5．（09、安徽）已知椭圆

＋

＝1（a＞b＞0）的离心率为

．以原点为圆心，以椭圆短半轴长为半径的圆

与直线y＝x＋2相切．

（1）求a与b的值；

（2）设该椭圆的左，右焦点分别为

F和

F，直线

L过

F且与x轴垂直，动直线

L与y轴垂直，

L交

L于点p.

求线段

PF的垂直平分线与直线

L的交点M的轨迹方程，并指明曲线类型

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解：（1）e＝



＝

．又圆心（0，0）到直线y＝x＋2的距离d＝半径b＝

2211



，

∴2b＝2，2a＝3．1



（2）

F（－1，0）、

F（1，0），由题意可设P（1，t）（t≠0）.那么线段

PF的中点为N（0，

）．

L的方程为：y＝t，设M(

yx,)是所求轨迹上的任意点.

【下面求直线MN的方程，然后与直线

L的方程联立，求交点M的轨迹方程】

直线

PF的斜率k＝

，∴线段

PF的中垂线MN的斜率＝－

．

所以：直线MN的方程为：

y－

＝－

x．由































，

消去参数t得：

xy42，即：

xy42，其轨迹为抛物线（除原点）．

又解：由于

＝（－x，

－y），

PF＝（－x，

－y）．∵

PF＝0，

∴















x0)

(·)

,(，

，消参数t得：xy42（x≠0），其轨迹为抛物线（除原点）．

6．(07湖南理20）已知双曲线222xy的左、右焦点分别为

F，

，过点

的动直线与双曲线相交于AB，两

点．【直接法求轨迹】

（1）若动点M满足

1111

FMFAFBFO（其中O为坐标原点），求点M的轨迹方程；

(2)在x轴上是否存在定点C，使CA·CB为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由．

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解：(1)由条件知

(20)F，，

(20)F，，设

()Axy，，

()Bxy，．设()Mxy，，则

(2)FMxy，，

111

(2)FAxy，，

1221

(2)(20)FBxyFO，，，，

由

1111

FMFAFBFO12

26xxx

yyy











12

4xxx

yyy











AB的中点坐标为

xy







，．

当AB不与x轴垂直时，12

xxx











，

即

1212

()

yyxx





．

又因为AB，两点在双曲线上，所以22

2xy，22

2xy，两

式相减得

12121212

()()()()xxxxyyyy，即

1212

()(4)()xxxyyy．

将

1212

()

yyxx





代入上式，化简得22(6)4xy．

当AB与x轴垂直时，

2xx，求得(80)M，，也满足上述方程．

所以点M的轨迹方程是22(6)4xy．

（2）假设在x轴上存在定点(0)Cm，，使CA·CB为常数．

当AB不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)ykxk．

代入222xy有2222(1)4(42)0kxkxk．

则

xx，是上述方程的两个实根，所以





，







，

于是

CB2222

1212

(1)(2)()4kxxkmxxkm

2222

(1)(42)4(2)

kkkkm







2(12)244

2(12)

mkm

mmm







．

因为

是与k无关的常数，所以440m，即1m，此时

＝－1．

当AB与x轴垂直时，点AB，的坐标可分别设为(22)，，(22)，，

此时

＝(1，√2)·(1，－√2)＝－1．故在x轴上存在定点(10)C，，使

为常数．

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