椭圆公式
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2023年3月2日发(作者：好习惯的重要性)创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
椭圆之邯郸勺丸创作
1.
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
2.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.
平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H
点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.
4.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
5.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
6.若000
(,)Pxy
在椭圆
22
22
1
xy
ab
上，则过0
P
的椭圆的切线方程是
00
22
1
xxyy
ab
.
7.若000
(,)Pxy
在椭圆
22
22
1
xy
ab
外，则过Po作椭圆的两条切线切
点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是
00
22
1
xxyy
ab
.
8.椭圆
22
22
1
xy
ab
(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭
圆上任意一点12
FPF
，则椭圆的焦点角形的面积为
12
2tan
2FPF
Sb
.
9.椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的焦半径公式：
10
||MFaex
,20
||MFaex
(1
(,0)Fc
,2
(,0)Fc
00
(,)Mxy
).
10.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴
上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线
于M、N两点，则MF⊥NF.
11.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆
长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点M，A2P和A1Q交于点N，则
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
MF⊥NF.
是椭圆
22
22
1
xy
ab
的不服行于对称轴的弦，M
),(
00
yx
为AB的中
点，则
2
2
OMAB
b
kk
a
，
即0
2
0
2
ya
xb
K
AB
。
13.若000
(,)Pxy
在椭圆
22
22
1
xy
ab
内，则被Po所平分的中点弦的方程
是
22
0000
2222
xxyyxy
abab
.
14.若000
(,)Pxy
在椭圆
22
22
1
xy
ab
内，则过Po的弦中点的轨迹方程是
22
00
2222
xxyy
xy
abab
.
推导
1.椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞o）的两个顶点为1
(,0)Aa
,2
(,0)Aa
，
与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹
方程是
22
22
1
xy
ab
.
2.过椭圆
22
22
1
xy
ab
(a＞0,b＞0)上任一点00
(,)Axy
任意作两条
倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且
2
0
2
0
BC
bx
k
ay
（常数）.
3.若P为椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一
点,F1,F2是焦点,12
PFF
,21
PFF
，则
tant
22
ac
co
ac
.
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
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4.设椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于
长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF1F2中，记12
FPF
,
12
PFF
,12
FFP
，则有
sin
sinsin
c
e
a
.
5.若椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，
左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆上求一点P，
使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.
6.P为椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A
为椭圆内一定点，则211
2||||||2||aAFPAPFaAF
,当且仅
当2
,,AFP
三点共线时，等号成立.
7.椭圆
22
00
22
()()
1
xxyy
ab
与直线
0AxByC
有公共点的充要
条件是22222
00
()AaBbAxByC
.
8.已知椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭
圆上两动点，且
OPOQ
.（1）2222
1111
||||OPOQab
;（2）
|OP|2+|OQ|2的最大值为
22
22
4ab
ab;（3）OPQ
S
的最小值是
22
22
ab
ab.
9.过椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右
支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P，则
||
||2
PFe
MN
.
10.已知椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两
点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点0
(,0)Px
,则
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
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2222
0
abab
x
aa
.
11.设P点是椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）上异于长轴端点的任
一点,F1、F2为其焦点记12
FPF
，则
(1)
2
12
2
||||
1cos
b
PFPF
.(2)12
2tan
2PFF
Sb
.
12.设A、B是椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的长轴两端点，P是
椭圆上的一点，PAB,
PBA
,
BPA
，c、e分别
是椭圆的半焦距离心率，则有
(1)
2
222
2|cos|
||
s
ab
PA
acco
.(2)2tantan1e
.(3)
22
22
2
cot
PAB
ab
S
ba
.
13.已知椭圆
22
22
1
xy
ab
（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点
E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点,点C在
右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.
14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆
相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.
15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则
该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.
16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的
焦半径之比为常数e(离心率).
（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴
交点分别称为内、外点.）
17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.
18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
创作时间：贰零贰壹年柒月贰叁拾日
项.
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