集合的含义与表示
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2023年3月1日发(作者：炖鱼怎么做好吃)1
1.1.1集合的含义与表示
知识点：
1.一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些元素组成的总体
叫做集合（set）(简称为集)。
注意：集合常用大写字母A，B，C，D，„表示，元素常用小写字母
,,,abcd
„
表示.
2.元素与集合的关系：
如果
a
是集合A的元素，就说
a
属于集合A，记作
aA
.
如果
a
不是集合A的元素，就说
a
不属于集合A，记作
aA
.
3.集合中元素的特征(三要素)：确定性、互异性、无序性.
解释：对于一个给定的集合，它的元素必须是明确的，即任何一个元素要
么在这个集合中，要么不在这个集合中，这就是集合中元素的确定性；
一个给定集合的元素是互不相同的，即集合中的元素不重复出现，这就是
集合的互异性；
集合中的元素具有无序性，即集合中的元素是没有顺序的，如果两个集合
中的元素完全相同，那么这两个集合相等.
4.常用数集的记法：
自然数集：N；有理数集：Q；整数集：Z；
实数集：R；正实数集：+R；正整数集：*NN
或.
5.集合的表示方法：自然语言、列举法、描述法、图示法.
列举法：把集合中的全部元素一一列举出来，并用大括号“{}”括起来
表示集合，这种表示集合的方法叫做列举法；
描述法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变
化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的
共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做
描述法.注:在不致混淆的情况下,也可以简写成列举法的形式,只
是去掉竖线和元素代表符号,如:所有直角三角形的集合可以表示
为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.
6、注意：类似“高个子”、“接近100”、“难题”等都没有具体的衡量标准，
是模棱两可的、不确定的，都不符合集合的概念。
7、认识集合：一看代表元素；二看元素性质。
集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y＝x2
＋1}、{y|y＝x2＋1，x∈R}和{(x，y)|y＝x2＋1，x∈R}，这三个集合是
不相同的．
2
8、用平面上一段封闭的曲线的内部表示集合，这种图形称为Venn图．用
Venn图、数轴上的区间及直角坐标平面中的图形等表示集合的方法称为
图示法。
9、含有有限个元素的集合叫有限集，含有无限个元素的集合叫无限集．
按照集合所含元素个数的多少分为：有限集、无限集、空集．规定空集
是有限集。
10、用描述法表示集合时，应该注意代表元素的性质．例如表示数集时代表
元素可用一个字母x表示，而表示点集时代表元素则用(x，y)来表示．
11、用描述法表示集合时，若需要多层次描述性质时，可选用“且”与“或”
等词连接．用描述法来表示一个集合，其表示形式可能有多种。
典型例题：
题型一：元素与集合的关系
2.用符号或填空：（1）0N;（2）2Z;(3)
2
3
Q;(4)Q。
已知2{2,25,12}aaa,且3A，求实数a的值。
解：3,23Aa或2253aa。1a或
3
2
a。但1a时
23a，2253aa与集合中元素的互异性矛盾，
3
2
a
4.已知2{2,25,12}aaa,且3A，求实数a的值。
5.已知集合A＝{x∈R|ax2＋2x＋1＝0}，其中a∈R.若1是集合A中的一个
元素，请用列举法表示集合A.
4．设P=15|xx，
23m
，则m__________P。
5．0_______；1_________*2,1|Naaxx.
3
7．设直线32xy上的点集为P，则P=_______。点（2，7）与P的关系
为（2，7）_____P.
9．已知12|),(xyyxA，}3|),{(xyyxB，Aa，Ba，求a。
11．已知集合M=4,433,222xxxx
，若M2，求满足条件的实数x
组成的集合。
12、集合A＝{x∈R|x＝a＋2b，a∈Z，b∈Z}．试判断下列元素x与集合A
的关系．
(1)x＝0；(2)x＝
1
2－1
；(3)x＝
1
3－2
；
(4)x
1∈A，x2∈A，x＝x1＋x2.
13、数集A满足条件：a∈A，则
1
1－a
∈A，其中a∈R，试证：
(1)若2∈A，则A中还有另外两个元素．
(2)集合A不可能只含一个元素．
分析：(1)利用条件，逐步代换．(2)这是证明不可能问题，宜采用反证法．
对于证明题中的一类诸如“不可能”、“至多”、“至少”、“不少于”等
问题，宜采用反证法，其证题步骤为：假设结论不成立，推理导出矛盾，肯
定结论成立．
4
题型二：集合中元素的特征
1．下面给出的四类对象中，能组成集合的是（）
A.高一某班个子较高的同学B.比较著名的科学家
C.无限接近于4的实数D.到一个定点的距离等于定长的点的全体
1.下列对象组成的集体是集合的是；
A.好心的人；B.我校2013级新生；
C.相当大的数；D.倒数等于它本身的数。
1．已知集合A={a,b,c}中的三个元素表示三角形ABC的三边长，那么
ABC一定不是_；
.A锐角三角形.B直角三角形.C钝角三角形.D等腰三角形
2．已知集合S={cba,,}中的三个元素可构成ABC的三条边长，那么ABC
一定不是（）
A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形
3、设A＝{1，k2，k2＋k＋2}，求实数k的取值范围．
4、在由3，x，x2－2x三个元素所组成的集合中，x应该满足什么条件？
5．集合{x，x2－x，x3－3x}中x不能取的值组成集合是________．
5
题型三：集合的表示
3.以方程2560xx和方程220xx的解为元素的集合.
3．若集合A＝｛x｜ax2＋2x＋a＝0，a∈R｝中有且只有一个元素，则a的
取值集合是（）
A．｛1｝B．｛－1｝C．｛0，1｝D．｛－1，0，1｝
已知集合A是关于x的方程：0432xax的解集，
（1）.若A中只有一个元素，求a的值；
（2）.若A中只有两个元素，求a的值；
（3）.若A中只至少有一个元素，求a的值。
已知集合A＝｛x｜ax2＋2x＋1＝0，a∈R，x∈R｝．
（1）若A中只有一个元素，求a的值，并求出这个元素；
（2）若A中至多只有一个元素，求a的取值范围．
答案：（1）a＝0，x＝－
2
1
或a＝1，x＝－1；（2）a≥1或a＝0．
3.请用适当的方法表示下列集合：
（1）方程xx2的所有实数根组成的集合；
（2）由1~10以内的所有素数组成的集合；
（3）不等式012x的解组成的集合；
（4）所有奇数组成的集合。
8．集合Nxxx,128|，用列举法可表示为_____________.
用适当的方法表示下图中的阴影部分的点(含边界上的点)组成的集合M.
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答案：
0,
2
3
1,
2
5
2|),(xyyxyx
。
1、用适当的方法表示下列集合：
①方程组
3x＋y＝2，
2x－3y＝27
的解集；
②1000以内被4除余1的正整数所组成的集合；
③直角坐标平面上在第三象限内的点所组成的集合；
2、设a、b都是非零实数，y＝
a
|a|
＋
b
|b|
＋
ab
|ab|
可能取的值组成的集合是____．
5．下列各项中的M与P表示同一集合的是()
A．M＝{x|x2＋1＝0},P＝{x|x2＝0}
B．M＝{x|y＝x2＋1}，P＝{y|y＝x2＋1}
C．M＝{y|y＝t2＋1，t∈R},P＝{t|t＝(y－1)2＋1，y∈R}
D．M＝{x|x＝2k，k∈Z}，P＝{x|x＝4k＋2，k∈Z}
题型四：集合中元素的个数
10．已知},2|{NxkxxP，若集合P中恰有3个元素，求k.
3．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B
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中所含元素个数为()
A．3个B．6个C．8个D．10个
解析：x＝5时，y＝1,2,3,4；x＝4时，y＝1,2,3；当x＝3时，y＝1,2；当x
＝2时，y＝1.共有4＋3＋2＋1＝10个．
题型五：集合中概念的综合
1．下面四个命题正确的是（）
A.10以内的质数集合是{0,3,5,7}B.“个子较高的人”不能构成集合
C.方程0122xx的解集是{1，1}D.偶数集为Nxkxx,2|
2．下面的结论正确的是（）
A．Qax，则NaB．Na，则a{自然数}
C．012x的解集是{-1，1}D．正偶数集是有限集
1、判断下列四个命题的正误，
（1）{0}是空集；
（2）若a∈A，则-aA；
（3）集合{x∈R|x2−2x+1=0}有两个元素
（4）集合{x∈Q|
6
x
∈N}是有限集
已知集合A={x|ax2+4x+4=0,x∈R,a∈R}只有一个元素，求a的值和这个元素．
已知A={x|ax2+2x+1=0}中只有一个元素，求a以及这个元素。
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已知1∈{x|x2+px-3=0}，求p与集合中的所有元素。
求{x|x2+4x+m+1=0}中所有元素之和。