综合分析法

综合分析法

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2023年3月1日发(作者：十六进制对照表)

2.2.1综合法和分析法

学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、

易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)

[自主预习·探新知]

1．综合法

定义推证过程特点

利用已知条件和某些数学定

义、公理、定理等，经过一系

列的推理论证，最后推导出所

要证明的结论成立，这种证明

方法叫做综合法

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3

→…→Qn⇒Q(P表示已知条件、已有的

定义、公理、定理等，Q表示所要证明

的结论)

顺推证法或由因

导果法

2.分析法

定义框图表示特点

一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成

立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结

为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定

义、公理等)为止．这种证明方法叫做分析法.

逆推证法

或执果索

因法.

思考1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？

[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的每一步推理都是

严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．

思考2:综合法与分析法有什么区别？

[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待

求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．

[基础自测]

1．思考辨析

(1)综合法是执果索因的逆推证法．()

(2)分析法就是从结论推向已知．()

(3)所有证明的题目均可使用分析法证明．()

[答案](1)×(2)×(3)×

2．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ”的证明：“cos4θ－sin4θ＝

(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ”，其过程应用了()

【导学号：48662070】

A．分析法B．综合法

C．综合法、分析法综合使用D．间接证法

B[从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综合法的证明思路．]

3．要证明A>B，若用作差比较法，只要证明________．

A－B>0[要证A>B，只要证A－B>0.]

4．将下面用分析法证明

a2＋b2

2

≥ab的步骤补充完整：要证

a2＋b2

2

≥ab，只需证a2＋

b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然成立，因此原不等式成立．

a2＋b2－2ab≥0(a－b)2≥0(a－b)2≥0[用分析法证明

a2＋b2

2

≥ab的步骤为：

要证

a2＋b2

2

≥ab成立，只需证a2＋b2≥2ab，

也就是证a2＋b2－2ab≥0，

即证(a－b)2≥0.由于(a－b)2≥0显然成立，所以原不等式成立．]

[合作探究·攻重难]

综合法的应用

(1)已知a，b是正数，且a＋b＝1，证明：

1

a

＋

1

b

≥4.

(2)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c

－b)sinC.

①求证：A的大小为

π

3

；②若sinB＋sinC＝3，证明△ABC为等边三角形.

【导学号：48662071】

[证明](1)法一：因为a，b是正数且a＋b＝1，

所以a＋b≥2ab，所以ab≤

1

2

，所以

1

a

＋

1

b

＝

a＋b

ab

＝

1

ab

≥4.

法二：因为a，b是正数，所以a＋b≥2ab>0，

1

a

＋

1

b

≥2

1

ab

>0，所以(a＋b)











1

a

＋

1

b

≥4.

又a＋b＝1，所以

1

a

＋

1

b

≥4.

法三：

1

a

＋

1

b

＝

a＋b

a

＋

a＋b

b

＝1＋

b

a

＋

a

b

＋1≥2＋2

b

a

·

a

b

＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”

号．

(2)①由2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC，

得2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c，

即bc＝b2＋c2－a2，

所以cosA＝

b2＋c2－a2

2bc

＝

1

2

，所以A＝

π

3

.

②因为A＋B＋C＝180°，

所以B＋C＝180°－60°＝120°.

由sinB＋sinC＝3，得sinB＋sin(120°－B)＝3，

sinB＋(sin120°cosB－cos120°sinB)＝3，

3

2

sinB＋

3

2

cosB＝3，

即sin(B＋30°)＝1.因为0°

所以30°

所以A＝B＝C＝60°，

即△ABC为等边三角形．

[规律方法]综合法的解题步骤

[跟踪训练]

1．如图2­2­1所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝

60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

图2­2­1

(1)证明：CD⊥AE；

(2)证明：PD⊥平面ABE.

[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，

∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD.

∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC.

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA.

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC.

由(1)知，AE⊥CD，又PC∩CD＝C，

∴AE⊥平面PCD.

而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD.

∵PA⊥底面ABCD，

∴PD在底面ABCD内的射影是AD.

又AB⊥AD，∴AB⊥PD.

又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

分析法的应用

设a，b为实数，求证：a2＋b2≥

2

2

(a＋b).

【导学号：48662072】

[证明]当a＋b≤0时，∵a2＋b2≥0，

∴a2＋b2≥

2

2

(a＋b)成立．

当a＋b＞0时，

用分析法证明如下：要证a2＋b2≥

2

2

(a＋b)，

只需证(a2＋b2)2≥











2

2

a＋b

2

.

即证a2＋b2≥

1

2

(a2＋b2＋2ab)，即证a2＋b2≥2ab.

∵a2＋b2≥2ab对一切实数恒成立，

∴a2＋b2≥

2

2

(a＋b)成立．

综上所述，不等式得证．

[规律方法]用分析法证明不等式的三个关注点

分析法证明不等式的依据是不等式的基本性质、基本不等式、已知的重要不等式

等.

分析法是综合法的逆过程，即从“未知”看“需知”，执果索因，逐步靠拢“已

知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件或充要条件.

分析法为逆推证明，因此在使用时要注意逻辑性与规范性.其格式一般为“要

证……，只要证……，只需证……，……显然成立，所以……成立”.

[跟踪训练]

2．已知a，b是正实数，求证：

a

b

＋

b

a

≥a＋b.

【导学号：48662073】

[证明]要证

a

b

＋

b

a

≥a＋b，

只要证aa＋bb≥ab·(a＋b)．

即证(a＋b－ab)(a＋b)≥ab(a＋b)，

因为a，b是正实数，

即证a＋b－ab≥ab，

也就是要证a＋b≥2ab，

即(a－b)2≥0.

而该式显然成立，所以

a

b

＋

b

a

≥a＋b.

综合法和分析法的综合应用

[探究问题]

1．在实际解题时，综合法与分析法是否可以结合起来使用？

提示：在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题

思路，再利用综合法有条理地表述解答过程．

2．你会用框图表示综合法与分析法交叉使用时的解题思路吗？

提示：用框图表示如下：

其中P表示已知条件、定义、定理、公理等，Q表示要证明的结论．

已知a、b、c是不全相等的正数，且0

求证：logx

a＋b

2

＋logx

b＋c

2

＋logx

a＋c

2

思路探究：解答本题的关键是利用对数运算法则和对数函数性质转化成整式不等式证

明．

[证明]要证明：

logx

a＋b

2

＋logx

b＋c

2

＋logx

a＋c

2

只需要证明logx









a＋b

2

·

b＋c

2

·

a＋c

2

由已知0

a＋b

2

·

b＋c

2

·

a＋c

2

>abc.

由公式

a＋b

2

≥ab>0，

b＋c

2

≥bc>0，

a＋c

2

≥ac>0，

又∵a，b，c是不全相等的正数，

∴

a＋b

2

·

b＋c

2

·

a＋c

2

>a2b2c2＝abc.

即

a＋b

2

·

b＋c

2

·

a＋c

2

>abc成立．

∴logx

a＋b

2

＋logx

b＋c

2

＋logx

a＋c

2

母题探究：1.(变条件)删掉本例条件“0

a＋b

2

＋lg

b＋c

2

＋lg

c＋a

2

＞

lga＋lgb＋lgc.

[证明]要证lg

a＋b

2

＋lg

b＋c

2

＋lg

c＋a

2

＞lga＋lgb＋lgc，只需证

lg











a＋b

2

·

b＋c

2

·

c＋a

2

≥lg(a·b·c)，

即证

a＋b

2

·

b＋c

2

·

c＋a

2

＞abc.

因为a，b，c为不全相等的正数，

所以

a＋b

2

≥ab＞0，

b＋c

2

≥bc＞0，

c＋a

2

≥ac＞0，

且上述三式中等号不能同时成立，

所以

a＋b

2

·

b＋c

2

·

c＋a

2

＞abc成立，

所以lg

a＋b

2

＋lg

b＋c

2

＋lg

c＋a

2

＞lga＋lgb＋lgc成立．

2．(变条件)把本例条件“0

1

a

＋

1

b

＋

1

c

>a＋b＋c.

[证明]法一：由左式推证右式

∵abc＝1，且a，b，c为互不相等的正数，

∴

1

a

＋

1

b

＋

1

c

＝bc＋ac＋ab＝

bc＋ac

2

＋

ac＋ab

2

＋

ab＋bc

2

>bc·ac＋ac·ab＋ab·bc

＝c＋a＋b.

∴

1

a

＋

1

b

＋

1

c

>a＋b＋c.

法二：由右式推证左式

∵a，b，c为互不相等的正数，且abc＝1，

∴a＋b＋c＝

1

bc

＋

1

ac

＋

1

ab

<

1

b

＋

1

c

2

＋

1

a

＋

1

c

2

＋

1

a

＋

1

b

2

(基本不等式)＝

1

a

＋

1

b

＋

1

c

.

[规律方法]分析综合法的解题思路

分析综合法的解题思路是：根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q；根据结

论的结构特点去转化条件，得到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证.

[当堂达标·固双基]

1．欲证2－3<6－7成立，只需证()

A．(2－3)2<(6－7)2

B．(2－6)2<(3－7)2

C．(2＋7)2<(3＋6)2

D．(2－3－6)2<(－7)2

C[∵2－3<0，6－7<0，

故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2.]

2.在△ABC中，若sinAsinB

【导学号：48662074】

A．直角三角形B．锐角三角形

C．钝角三角形D．等边三角形

C[由sinAsinB0，所以cosC<0，即△ABC一定

是钝角三角形．]

3．如果aa＋bb＞ab＋ba，则实数a，b应满足的条件是________．

a≠b且a≥0，b≥0[aa＋bb＞ab＋ba

⇔aa－ab＞ba－bb⇔a(a－b)＞b(a－b)

⇔(a－b)(a－b)＞0⇔(a＋b)(a－b)2＞0，

只需a≠b且a，b都不小于零即可．]

4．设a＞0，b＞0，c＞0，若a＋b＋c＝1，则

1

a

＋

1

b

＋

1

c

的最小值为________．

9[因为a＋b＋c＝1，且a＞0，b＞0，c＞0，所以

1

a

＋

1

b

＋

1

c

＝

a＋b＋c

a

＋

a＋b＋c

b

＋

a＋b＋c

c

＝3＋

b

a

＋

a

b

＋

c

b

＋

b

c

＋

a

c

＋

c

a

≥3＋2

b

a

·

a

b

＋2

c

b

·

b

c

＋2

c

a

·

a

c

＝3＋6＝9.当且仅当a＝b＝

c时等号成立．]

5．设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.(请用分析法和综合法两种方法证明)

【导学号：48662075】

[证明]法一：3a3＋2b3－(3a2b＋2ab2)＝3a2(a－b)＋2b2(b－a)＝(3a2－2b2)(a－b)．

因为a≥b>0，所以a－b≥0,3a2－2b2>0，从而(3a2－2b2)(a－b)≥0，

所以3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.

法二：要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2，只需证3a2(a－b)－2b2(a－b)≥0，

只需证(3a2－2b2)(a－b)≥0，∵a≥b>0.∴a－b≥0,3a2－2b2>2a2－2b2≥0，

∴上式成立．