分类讨论思想
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2023年3月1日发(作者：奸的好人)⾼中数学解题必备技巧：分类讨论思想（附例题详解）
所谓分类讨论，就是当题⽬所给的对象不能进⾏统⼀研究时，就需要对研究对象按某个标准进⾏分类，然后对每个类别
级别进⾏研究，得出每⼀类的结论，最后将各类结果进⾏综合，得到整个问题的解答。
分类讨论思想是⼀种重要的数学思想⽅法，其基本思路是将⼀个较复杂的数学问题分解(或分割)成若⼲个基础性问题，
通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略。
分类讨论，是⼀种重要的数学思想，也是⼀种逻辑⽅法，同时⼜是⼀种重要的解题策略。在⾼中数学中，分类讨论时⾮
常重要的⼀种解题思路，每次⾼考的数学试卷中，必然会有需要⽤到这种思想⽅法的题⽬。
⼀、分类讨论的要求及其意义
1、分类讨论的要求：
⾸先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进⾏合理分类，即标准统⼀、不重不漏、
分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进⾏讨论，分级进⾏，获取阶段性结果；最后进⾏归纳⼩结，综合得出结论。
2、分类讨论的因素：
(1)由数学概念⽽引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、⼆次函数的定义、直线的倾斜⾓等。
(2)由数学运算要求⽽引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次⽅根为⾮负数，对数运算中真数与底数的要求，
指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以⼀个正数、负数，三⾓函数的定义域，等⽐数列{an}的前n项和公式等。
(3)由性质、定理、公式的限制⽽引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等。
(4)由图形的不确定性⽽引起的分类讨论：如⼆次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等。
(5)由参数的变化⽽引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对
不同的参数值要运⽤不同的求解或证明⽅法等。
⼆、分类讨论思想的原则
为了分类的正确性，分类讨论必需遵循⼀定的原则进⾏，在中学阶段，我们经常⽤到的有以下四⼤原则：
(1)同⼀性原则：分类应按照同⼀标准进⾏，即每次分类不能同时使⽤⼏个不同的分类根据。
(2)互斥性原则：分类后的每个⼦项应当互不相容，即做到各个⼦项相互排斥，分类后不能有些元素既属于这个⼦项，
⼜属于另⼀个⼦项。
(3)相称性原则：分类应当相称，即划分后⼦项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。
(4)层次性原则：分类有⼀次分类和多次分类之分，⼀次分类是对被讨论对象只分类⼀次；多次分类是把分类后的所有
的⼦项作为母项，再次进⾏分类，直到满⾜需要为⽌。
三、分类讨论思想的应⽤与例题详解
（⼀）分类讨论思想在集合中的应⽤
在集合运算中常常需要结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对⼀些含参数的集合问题，常需要进
⾏分类讨论求解。
（⼆）分类讨论思想在函数中的应⽤
（⼆）分类讨论思想在函数中的应⽤
1.⽤分段函数来分类讨论
2．函数中含参数的分类讨论
（三）分类讨论思想在不等式中的应⽤
1．涉及运算要求的分类讨论
我们在解题过程中，往往将式⼦变形或转化为另外⼀个式⼦来进⾏解题和运算，很多变形和运算是受条件限制的，如解
不等式当两边同时乘（除）以⼀个代数式时，要考虑代数式的值是否为负；解⽆理不等式时，去掉根号要考虑两边是否
都⼤于0等等。
2．含参数不等式的分类讨论
（四）分类讨论思想在排列组合中的应⽤
分类讨论思想在排列组合中也常见，尤其是解含有约束条件的排列组合问题时，运⽤分类讨论的⽅法可以把复杂的问题
化为简单的问题。
（五）分类讨论思想在数列中的应⽤
在有些数列问题中存在不确定的因素，如等⽐数列的公⽐q是否为1；数列的项的个数为偶数还是奇数等等，就那样的
数列问题，我们要进⾏分类讨论。
（六）分类讨论思想在圆锥曲线中的应⽤
（七）分类讨论思想在⽴体⼏何中的应⽤
点，线，⾯是组成⼏何图形的三个要素，有些⽴体⼏何题中，这三者的位置关系是不确定的，因此要对每种情况进⾏分
类讨论求解，这样防⽌漏解。下⾯⼀题是涉及点与线的位置关系不确定的分类讨论。
四、避免和简化分类讨论
分类讨论时⼀种重要的解题策略，但它不是万能的。对于分类讨论的问题，在熟悉和掌握分类讨论的同时，要注意克服
盲⽬讨论的思维定势，要认真审查题⽬的特点，充分挖掘题中潜在的特殊性和简单性，尽可能避免分类讨论，简化分类
讨论过程，从⽽提⾼分类讨论的效果。
(1)通过逆向思维避免分类讨论
当问题不易直接求解时，可考虑它的反⾯，通过对其反⾯情况的分析研究，使问题得到解决。
(2)有的讨论题，若⽤化参数为函数的⽅法求解，则可简化讨论。
(2)有的讨论题，若⽤化参数为函数的⽅法求解，则可简化讨论。