对称式
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2023年2月28日发(作者：会计顶岗实习周记).
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谈数学中的对称美与在解题中的应用
摘要本文首先讨论了数和式中的对称美.其次运用对称思想来解决数学问题.
在数学问题的解题过程中，巧妙地构造对称美，从整体上把握问题的实质，优
化解题过程.先是就对称在微积分中的应用，列举了一些重要的结论及其在解题
中的具体应用.再研究了几何图形中的对称美.然后讨论了数学中其它方面的对
称美.特别是对称在记忆数学公式和数学方法中的应用.最后探讨了对称思想在
数学教学中的应用，通过在数学教学中落实对称的数学美的思想方法，从而促
进学生形成学习数学知识的良好的、积极的情感行为，更好地理解数学知识，
提高学生解决数学问题的能力.
关键词：对称；数学美；轮换对称性；积分区间；对称性原理；数学思想
.
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1引言
1.1对称美
对称性的感受逐惭成为一项美学准则，广泛应用于建筑、造型艺术、绘画
以及工艺美术的装饰之中.你可以从许多中、外著名的建筑、艺术珍品中看到.
天坛的建筑、天安门的建筑、颐和园长廊的建筑以及各种花瓶、古人饮酒的爵
和各种花边等等是旋转对称、左右对称和平移对称的典型例子.这些对称美给人
以匀称、均衡、连贯、流畅的感受，因而体现着一种娴静、稳重、庄严.
在现实世界中,既有形态各异的自然对称,又有巧夺天工的人工对称,它们构
成了一幅人与自然和谐的优美画卷.因此,对称是宇宙和自然界的基本属性,也是
事物适应周围环境而生存发展和繁衍生息的自然规律,充分展现出事物协调环
境、自我完善的、和谐的自然美.
1.2数学中的对称美
美，不仅存在于艺术、文学中，存在于大自然以及社会生活中，而且也存
在于自然科学中，存在于数学之中.早在两千多年前，古代哲学家、数学家普洛
克拉斯曾说过：“哪里有数，哪里就有美.”这就是说，数学中也充满了美的因素.
作为一门科学，数学在其内容结构上和方法上都具有自身的某种美，即数
学美.数学美的内容非常丰富，包括普适美、对称美、简洁美、比例美、和谐美、
奇趣美等特性.其中对称性是数学美的重要特性之一，正如德国著名的数学家和
物理学家魏尔所说的：“美和对称性紧密相连”.数学对称美是数学美的重要组成
部分,它普遍存在于初等数学与高等数学的各个分支，在数学研究中有着重要的
作用,一直是数学们长期追求的目标，有时甚至把它作为一种尺度，是数学创造
与发现的美学方法之一.
.
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在数学中，不少的概念与运算，都是由人们对于“对称”问题的探讨派生出来
的.数学中众多的轴对称，中心对称图形和等量关系都被赋予了平衡、协调的对
称美.对于数学概念，也是一分为二地成对出现的：整－分，奇－偶，和－差，
曲－直，方－圆，分解－组合，平行－交叉，正比例－反比例……，都显得那么
的稳定、和谐、协调、平衡，如此地奇妙动人.
2数和式的对称美
2.1数的对称美
在数学中，如果一个整数，它的各位数字是左右对称的，我们就称这个数
是对称数.例如：1234321、123321等.
对称数可以分为奇位对称数和偶位对称数.奇位对称数是指位数是奇数的
对称数，奇位对称数位数最中间的那个数字称为对称轴数.偶位对称数是指位数
是偶数的对称数，偶位对称数没有对称轴数.
产生对称数的方法有很多种：
(1)形如11、111、1111、……的数的平方数是对称数.如：
1×9+2=11
12×9+3=111
...............
123456789×9+10=1111111111
(2)某些自然数与它的逆序数相加，得出的和再与和的逆序数相加，连续进
行下去，也可得到对称数.
.
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如：475
475+574=1049
1049+9401=10450
10450+05401=15851
15851也是对称数.
美的主要形式就是秩序，匀称和确定性，上面的几个式子就巧妙的体现了
数和式中的对称美.可以看出，数学与美学是紧密相连，相辅相成的.
2.2式的对称美
如果在代数式中，把任意的两个字母对换，代数式仍然保持不变，像这样
的代数式就称为是对称代数式或对称式.如：
223223,2,33xyzxxyyxxyxyy,互换式子中的,xy,得到的式子仍然成
立.在对称式中，字母是对称的，地位是平等的.
在二项式定理：
10()nnnnknkknnnnnn
nnnnnnn
abCabCabCabCabCabCabCab
中，如果把当1,2,nn的二项式展开式的系数列成如下：
1
11
121
1331
14641
15101051
.
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1615201561
0
n
C1
n
C2
n
C3
n
Cn
n
C
这就是著名的“杨辉三角”，它是宋朝数学家杨辉的杰作.杨辉三角是我国数学发
展史上的一个成就，它反映的就是数学美的对称性.
在代数学中，也存在着漂亮的对称式，如：初等对称多项式：
112
2121311
12
n
nnn
nn
xxx
xxxxxxxx
xxx
，
它在解题中也有广泛的应用.其中在运用初等对称多项式解题时联系最紧密的
就是根与系数的关系定理：对于n次多项式11
110
()nn
nn
fxaxaxaxa
的
n个根
12
,,,
n
xxx
有如下关系：
1
12
2
121311
0
12
(1)
n
n
n
n
nnn
n
n
n
n
a
xxx
a
a
xxxxxxxx
a
a
xxx
a
由此定理可以非常简便的求出关于多项式根的对称多项式的值.
例1.设
1
a，
2
a，
3
a是方程
0876523xxx
的三个根，计算：
))()((2
331
2
1
2
332
2
2
2
221
2
1
aaaaaaaaaaaa（*）
的值.
解：令
3211
aaa
.3132212
aaaaaa
，
3213
aaa
，
.
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则
5
6
1
,
5
7
2
,
5
8
3
.
再将（*）式化为初等对称多项式的多项式，得：
))()((2
331
2
1
2
332
2
2
2
221
2
1
aaaaaaaaaaaa
=3
23
3
1
2
2
2
1
=-
625
1679
.
由上面的例子可以看出，对称性在数学中是广泛存在的，数学与对称是紧密
相连的.
3对称美在数学中的应用
3.1对称在数学解题中的应用
解题是一门艺术，对称性是艺术的一个非常重要的要素，如果在解题的过
程中注意到对称性，那么就可以减少一些繁琐的计算，化难为易，提高解题的
效率，达到事半功倍的效果.微分与积分也是一对具有对称美的事物，而对称性
的方法也是微积分计算中常用的方法.
3.1.1对称在微分学中的一些结论与应用
定理：（1）若(,)(,)uxyuyx，则(,)(,)
yx
uxyuyx；
(2)若(,)(,)uxyuyx，则(,)(,)
yx
uxyuyx.
因此若求出
x
u，则可直接写出
y
u，
xx
u与
yy
u的关系，也是如此.
例2.设()xyuexy，求出
x
u，
y
u，
xx
u，
yy
u.
解：2()(1)xyxyxy
x
ueyxyeexyy，
223(1)(2)xyxyxy
xx
ueyxyyeyexyyy.
对称的有：2(1)xy
y
uexxy，32(2)xy
yy
uexxyx.
3.1.2对称在积分学中的一些结论和应用
.
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3.1.2.1在重积分计算中，经常利用多元函数的轮换对称性来解题.
轮换对称性的定义:若积分区域或被积函数的表达式中,将其变量x,y,z按下
列次序:x→y;y→z;z→x后,其表达式均不变,则称积分区域或被积函数关于变量
x,y,z具有轮换对称性.
定理1：(二重积分的坐标轮换对称性)
如果区域D的边界曲线方程是关于x,y地位对称，
(,)fxy
在D上连续,则
(,)(,)
DD
fxydxdyfyxdxdy
定理2：(三重积分的坐标轮换对称性)
如果有界闭区域的边界曲面的方程关于x,y,z地位对称,()fu在上连续,
则
()()()fxdxdydzfydxdydzfzdxdydz
.
由此，可以推广到：
定理3：(n重积分的坐标轮换对称性)
如果n维有界闭区域V的边界曲面的方程关于
12
,,,
n
xxx地位对称，()fu
在V上连续,则
112
()
n
fxdxdxdx=
212
()
n
fxdxdxdx
=
12
()
nn
fxdxdxdx
例3.计算三重积分2()()fxdxdydzxyzdxdydz
，其中是
0,0,0xayaza所围成正方形(a为一大于0的实数).
解：2222()(222)Ixyzdxdydzxyzxyxzyzdxdydz
中被积函数及积分区域都有轮换对称性.
所以222xdxdydzydxdydzzdxdydz
，
.
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xydxdydzxzdxdydzyzdxdydz
，
故2(36)Ixxydxdydz
26
000
5
(36)
2
aaadzdyxxydxa
.
3.1.2.2利用积分区间的对称性和被积函数的奇偶性，可简化定积分的计算.
定理：设()fx是ba,上的连续函数，则通过变换
xabt
，可得：
()b
a
fxdx=()
b
a
fabxdx
22()()
ab
a
fxfabxdx
这就是积分区间的对称原理.
特别地，当
()()fxfabx
时，有()
b
a
fxdx22()
ab
a
fxdx
.
例4.求积分2
2
01tan
dx
x
.
解：由于
2
1
()
1tan
fx
x
在0,
2
上有界，且只有可去间断点
2
x
,故定积分
存在.
由积分区间对称原理可得：
原积分2
2
0
2
111
2
1tan
1tan()
2
dx
x
x
22
22
00
1111
224
1tan1cot
dxdx
xx
.
若被积函数是非奇非偶时，通过适当的换元或拆项等方法也可转化为对称
区间的积分问题.
把积分区间的对称性原理推广到二元函数积分中，可以得到结论：
结论1：设D关于y轴对称,则
(,)
D
fxydxdy1
2(,)(,)
0(,)
D
fxydxdyfxyx
fxyx
若关于变量为偶函数
若关于变量为奇函数
’
.
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其中
1
D是D的右半部分:
1
{(,)|(,),0}DxyxyDx且.
结论2：设D关于x轴对称,则
(,)
D
fxydxdy1
2(,)(,)
0(,)
D
fxydxdyfxyy
fxyy
若关于变量为偶函数
若关于变量为奇函数
’
其中
1
D是D的上半部分:
1
{(,)|(,),0}DxyxyDy且.
结论3：设D关于x轴和y轴均对称，且
(,)fxy
关于变量x和变量y均为偶函数，则
1
(,)4(,)
DD
fxydxdyfxydxdy
其中
1
D是D在第一象限的部分：
1
{(,)|(,),0,0}DxyxyDxy且.
结论4：设D关于原点对称,则
(,)
D
fxydxdy12
2(,)2(,),(,)(,)
0(,)(,)
DD
fxydxdyfxydxdyfxyfxy
fxyfxy
如果
如果
其中
1
{(,)|(,),0}DxyxyDx且,
2
{(,)|(,),0}DxyxyDy且.
结论5：设D关于直线y=x对称，则
(,)(,)
DD
fxydxdyfyxdxdy
特别地，当
12
(,)()()fxyfxfy时,
1212
()()()()
DD
fxfydxdyfyfxdxdy.
例5.计算二重积分2(751)
D
Ixxyd,其中22:1Dxy.
解：D关于x轴和y轴均对称,而75xy和分别关于变量x和y为奇函数,故
(75)0
D
xyd,
所以：22(1)
DDD
Ixdxdd21
2
00
5
(cos)
4
drrdr
.
同样地，将它应用到三重积分中.
例6.计算三重积分()xzdxdydz
,其中是由曲面
.
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22zxy
与221zxy
所围成的区域.
解:关于坐标面x=0对称,且关于变量x为奇函数,故0xdxdydz
.
所以()xzdxdydzzdxdydz
21
2
4
000
cos*sin
8
ddrrdr
.
例10.计算三重积分
222
222
ln(1)
1
V
zxyz
dxdydz
xyz
,
其中222(,,)|1Vxyzxyz
.
解:积分区域V是以原点O(0,0,0)为中心的单位球域,所以V关于xoy平面对称，被积
函数
222
222
ln(1)
(,,)
1
zxyz
fxyz
xyz
是关于z的奇函数,
故由对称性知
222
222
ln(1)
0
1
V
zxyz
dxdydz
xyz
.
由上可见，在解决微积分问题时，巧妙应用对称性的观点去解题，可以使运
算过程更加的快捷、流畅，计算结果更加的精确.
3.2对称在数学中的其他应用
对称是形式美的显著特征,就数学而言,不仅让枯燥抽象的数学公式变得容
易记忆,而且也是数学命题证明必不可少的一种方法.
3.2.1利用对称性记忆公式
在数学分析中,斯托克斯公式有一种形式表示法:
sinsinsin
c
s
PdxQdyRdzds
xyz
PQR
其中P,Q,和R为连续可微函数,S为逐片光滑的有界双侧曲面,C为包围S的逐段光滑
的简单闭曲线,(sin,sin,sin)为曲面S在点(,,)xyz处的单位法向量,方向为逆
.
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时针,这个公式的右边是用第一型曲面积分表示的,被积函数是一个三阶行列式.
若取xy平面上的平面区域D作曲面S,并取上侧,则斯托克斯公式右侧的三阶
行列式为
001
xy
xyz
PQ
PQR
于是斯式公式就变成了格林公式,由此可见,格林公式是斯式公式的特例.
类似地,奥式公式可表示为
(sin,sin,sin)(,,)(,,)(,,)
SV
PQRdsPQRdv
xyz
其中S是包围V的逐片光滑曲面,P,Q,R在S+V上是连续可微的,
(sin,sin,sin)为
曲面S上点(,,)xyz处的单位法向量.
不难看出,斯式公式和奥式公式都是由三个矢量(P,Q,R),
(sin,sin,sin),及
(,,)
xyz
所决定的.
上述一些形式上的对称性,是数学分析中追求对称形式美的有利证据.一些望
而生怯的公式由于有了对称美,变得非常容易记忆了.
3.2.2数列解题中的的对称思想
在数列解题中,存在着大量的对称思想,无论是等差数列还是等比数列,都
含有丰富的对称之美.
我们知道：只要
mnpq
，其中
,,,mnpqN
，就有
（ⅰ）mnpq
aaaa
（等差数列）
（ⅱ）mnpq
aaaa
（等比数列）
利用这个数量关系来处理有关数列问题，常常能化繁为简.