尺规作图三大问题
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2023年2月28日发(作者：CAGD)1
数学史上的三大几何问题
一、立方倍积
关于立方倍积的问题有一个神话流传：当年希腊
提洛斯（Delos）岛上瘟疫流行，居民恐惧也向岛上
的守护神阿波罗（Apollo）祈祷，神庙里的预言修女
告诉他们神的指示：“把神殿前的正立方形祭坛加到
二倍，瘟疫就可以停止。”由此可见这神是很喜欢数
学的。居民得到了这个指示后非常高兴，立刻动工做
了一个新祭坛，使每一稜的长度都是旧祭坛棱长的二
倍，但是瘟疫不但没停止，反而更形猖獗，
使他们都又惊奇又惧怕。结果被一个学者指出了错
误：「稜二倍起来体积就成了八倍，神所要的是二倍
而不是八倍。」大家都觉得这个说法很对，於是改在
神前并摆了与旧祭坛同形状同大小的两个祭坛，可是
瘟疫仍不见消灭。人们困扰地再去问神，这次神回答
说：「你们所做的祭坛体积确是原来的二倍，但形状
却并不是正方体了，我所希望的是体积二倍，而形状
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仍是正方体。」居民们恍然大悟，就去找当时大学者
柏拉图（Plato）请教。由柏拉图和他的弟子们热心
研究，但不曾得到解决，并且耗费了後代许多数学家
们的脑汁。而由于这一个传说，立方倍积问题也就被
称为提洛斯问题。
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数学史上的三大几何问题
二、化圆为方
方圆的问题与提洛斯问题是同时代的，由希腊人
开始研究。有名的阿基米得把这问题化成下述的形
式：已知一圆的半径是r，圆周就是2πr，面积是πr2。
由此若能作一个直角三角形，其夹直角的两边长分别
为已知圆的周长2πr及半径r，则这三角形的面积就
是(1/2)(2πr)(r)=πr2与已知圆的面积相等。由这
个直角三角形不难作出同面积的正方形来。但是如何
作这直角三角形的边。即如何作一线段使其长等于一
已知圆的周长，这问题阿基米德可就解不出了。
我们都知道化圆为方是由古希腊著名学者阿纳克
萨戈勒斯提出的，但是阿纳克萨戈勒斯一生也未能解
决自己提出的问题。
实际上，这个化圆为方问题中的正方形的边长是
圆面积的算数平方根。我们假设圆的半径为单位1，
那么正方形的边长就是根号π。
直到1882年，化圆为方的问题才最终有了合理的
答案。德国数学家林德曼（Lindemann,1852~1939)在
这一年成功地证明了圆周率π=3.1415926......是
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超越数，并且尺规作图是不可能作出超越数来，所以
用尺规作图的方式解决化圆为方的问题才被证明是
不可能实现的。
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数学史上的三大几何问题
三、三等分角
三等分任意角的题也许比那两个问题出现更早，
早到历史上找不出有关的记载来。但无疑地它的出现
是很自然的，纪元前五、六百年间希腊的数学家们就
已经想到了二等分任意角的方法，正像我们在几何课
本或几何画中所学的：以已知角的顶点为圆心，用适
当的半径作弧交角两的两边得两个交点，再分别以这
两点为圆心，用一个适当的长作半径画弧，这两弧的
交点与角顶相连就把已知角分为二等分。二等分一个
已知角既是这么容易，很自然地会把问题略变一下：
三等分怎么样呢？这样，这一个问题就这么非常自然
地出现了。直到1830年，18岁的法国数学家伽罗华
首创了后来被命名为“伽罗华理论”理论，该理论
能够证明倍立方积和三等分角问题都是尺规作图不
能做到的问题。1837年，法国数学Wantzel（1814~1848)
终于给出三等分角和倍立方积的问题都是尺规作图
不可能问题的证明。