递推公式
-
2023年2月27日发(作者：数的分类)由递推公式求通项的9
种方法经典总结
本页仅作为文档封面，使用时可以删除
精析由递推公式求通项的9种方法
1．a
n＋1
＝a
n
＋f(n)型
把原递推公式转化为a
n＋1
－a
n
＝f(n)，再利用累加法(逐差
相加法)求解，即a
n
＝a
1
＋(a
2
－a
1
)＋(a
3
－a
2
)＋…＋(a
n
－a
n－1
)＝
a
1
＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(n－1)．
[例1]已知数列{a
n
}满足a
1
＝
1
2
，a
n＋1
＝a
n
＋
1
n2＋n
，求a
n
.
[解]由条件，知a
n＋1
－a
n
＝
1
n2＋n
＝
1
nn＋1
＝
1
n
－
1
n＋1
，则(a
2
－a
1
)＋(a
3
－a
2
)＋(a
4
－a
3
)＋…＋(a
n
－a
n－1
)＝
1－
1
2
＋
1
2
－
1
3
＋
1
3
－
1
4
＋…＋
1
n－1
－
1
n
，
所以a
n
－a
1
＝1－
1
n
.
因为a
1
＝
1
2
，所以a
n
＝
1
2
＋1－
1
n
＝
3
2
－
1
n
.
2．a
n＋1
＝f(n)a
n
型
把原递推公式转化为
a
n＋1
a
n
＝f(n)，再利用累乘法(逐商相乘法)
求解，即由
a
2
a
1
＝f(1)，
a
3
a
2
＝f(2)，…，
a
n
a
n－1
＝f(n－1)，累乘可得
a
n
a
1
＝f(1)f(2)…f(n－1)．
[例2]已知数列{a
n
}满足a
1
＝
2
3
，a
n＋1
＝
n
n＋1
·a
n
，求a
n
.
[解]由a
n＋1
＝
n
n＋1
·a
n
，得
a
n＋1
a
n
＝
n
n＋1
，
故a
n
＝
a
n
a
n－1
·
a
n－1
a
n－2
·…·
a
2
a
1
·a
1
＝
n－1
n
×
n－2
n－1
×…×
1
2
×
2
3
＝
2
3n
.即a
n
＝
2
3n
.
3．a
n＋1
＝pa
n
＋q(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
对于此类问题，通常采用换元法进行转化，假设将递推公
式改写为a
n＋1
＋t＝p(a
n
＋t)，比较系数可知t＝
q
p－1
，可令a
n＋1
＋t＝b
n＋1
换元即可转化为等比数列来解决．
[例3]已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n＋1
＝2a
n
＋3，求a
n
.
[解]设递推公式a
n＋1
＝2a
n
＋3可以转化为a
n＋1
－t＝2(a
n
－t)，即a
n＋1
＝2a
n
－t，则t
＝－3.
故递推公式为a
n＋1
＋3＝2(a
n
＋3)．
令b
n
＝a
n
＋3，则b
1
＝a
1
＋3＝4，且
b
n＋1
b
n
＝
a
n＋1
＋3
a
n
＋3
＝2.
所以{b
n
}是以b
1
＝4为首项，2为公比的等比数列．
所以b
n
＝4×2n－1＝2n＋1，即a
n
＝2n＋1－3.
4．a
n＋1
＝pa
n
＋qn(其中p，q均为常数，pq(p－1)≠0)型
(1)一般地，要先在递推公式两边同除以qn＋1，得
a
n＋1
qn＋1
＝
p
q
·
a
n
qn
＋
1
q
，引入辅助数列{b
n
}
其中b
n
＝
a
n
qn，得b
n＋1
＝
p
q
·b
n
＋
1
q
，再用待
定系数法解决；
(2)也可以在原递推公式两边同除以pn＋1，得
a
n＋1
pn＋1
＝
a
n
pn
＋
1
p
·
q
p
n，引入辅助数列{b
n
}
其中b
n
＝
a
n
pn，得b
n＋1
－b
n
＝
1
p
q
p
n，再利用
叠加法(逐差相加法)求解．
[例4]已知数列{a
n
}中，a
1
＝
5
6
，a
n＋1
＝
1
3
a
n
＋
1
2
n＋1，求a
n
.
[解]法一：在a
n＋1
＝
1
3
a
n
＋
1
2
n＋1两边乘以2n＋1，得2n＋1·a
n＋1
＝
2
3
(2n·a
n
)＋1.
令b
n
＝2n·a
n
，则b
n＋1
＝
2
3
b
n
＋1，
根据待定系数法，得b
n＋1
－3＝
2
3
(b
n
－3)．
所以数列{b
n
－3}是以b
1
－3＝2×
5
6
－3＝－
4
3
为首项，
以
2
3
为公比的等比数列．
所以b
n
－3＝－
4
3
·
2
3
n－1，即b
n
＝3－2
2
3
n.
于是，a
n
＝
b
n
2n
＝3
1
2
n－2
1
3
n.
法二：在a
n＋1
＝
1
3
a
n
＋
1
2
n＋1两边乘以3n＋1，得
3n＋1a
n＋1
＝3na
n
＋
3
2
n＋1.
令b
n
＝3n·a
n
，则b
n＋1
＝b
n
＋
3
2
n＋1.
所以b
n
－b
n－1
＝
3
2
n，b
n－1
－b
n－2
＝
3
2
n－1，…，
b
2
－b
1
＝
3
2
2.
将以上各式叠加，
得b
n
－b
1
＝
3
2
2＋…＋
3
2
n－1＋
3
2
n.
又b
1
＝3a
1
＝3×
5
6
＝
5
2
＝1＋
3
2
，
所以b
n
＝1＋
3
2
＋
3
2
2＋…＋
3
2
n－1＋
3
2
n
＝
1·
1－
3
2
n＋1
1－
3
2
＝2
3
2
n＋1－2，
即b
n
＝2
3
2
n＋1－2.
故a
n
＝
b
n
3n
＝3
1
2
n－2
1
3
n.
5．a
n＋1
＝pa
n
＋an＋b(p≠1，p≠0，a≠0)型
这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a
n＋1
＋
x(n＋1)＋y＝p(a
n
＋xn＋y)，与已知递推式比较，解出x，y，从
而转化为{a
n
＋xn＋y}是公比为p的等比数列．
[例5]设数列{a
n
}满足a
1
＝4，a
n
＝3a
n－1
＋2n－1(n≥2)，求a
n
.
[解]设递推公式可以转化为a
n
＋An＋B＝3[a
n－1
＋A(n－1)＋B]，
化简后与原递推式比较，得
2A＝2，
2B－3A＝－1，
解得
A＝1，
B＝1.
令b
n
＝a
n
＋n＋1.(*)
则b
n
＝3b
n－1
，又b
1
＝6，故b
n
＝6·3n－1＝2·3n，
代入(*)式，得a
n
＝2·3n－n－1.
6．a
n＋1
＝par
n
(p>0，a
n
>0)型
这种类型一般是等式两边取对数后转化为a
n＋1
＝pa
n
＋q型
数列，再利用待定系数法求解．
[例6]已知数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
n＋1
＝
1
a
·a2
n
(a>0)，求数列{a
n
}的通项公式．
[解]对a
n＋1
＝
1
a
·a2
n
的两边取对数，
得lga
n＋1
＝2lga
n
＋lg
1
a
.
令b
n
＝lga
n
，则b
n＋1
＝2b
n
＋lg
1
a
.
由此得b
n＋1
＋lg
1
a
＝2
b
n
＋lg
1
a
，记c
n
＝b
n
＋lg
1
a
，则c
n＋1
＝2c
n
，
所以数列{c
n
}是以c
1
＝b
1
＋lg
1
a
＝lg
1
a
为首项，2为公比的等比数列．
所以c
n
＝2n－1·lg
1
a
.
所以b
n
＝c
n
－lg
1
a
＝2n－1·lg
1
a
－lg
1
a
＝lg
a·
1
a
2n－1＝lga1－2n，
即lga
n
＝lga1－2n，所以a
n
＝a1－2n.
7．a
n＋1
＝
Aa
n
Ba
n
＋C
(A，B，C为常数)型
对于此类递推数列，可通过两边同时取倒数的方法得出关
系式
[例7]已知数列{a
n
}的首项a
1
＝
3
5
，a
n＋1
＝
3a
n
2a
n
＋1
，n＝1,2,3，…，求{a
n
}的通项公式．
[解]∵a
n＋1
＝
3a
n
2a
n
＋1
，∴
1
a
n＋1
＝
2
3
＋
1
3a
n
，
∴
1
a
n＋1
－1＝
1
3
1
a
n
－1
.
又
1
a
1
－1＝
2
3
，
∴
1
a
n
－1
是以
2
3
为首项，
1
3
为公比的等比数列，
∴
1
a
n
－1＝
2
3
·
1
3n－1
＝
2
3n
，
∴a
n
＝
3n
3n＋2
.
8.
)(
1
nfaa
nn
型
由原递推关系改写成
),()1(
2
nfnfaa
nn
然后再按奇偶分
类讨论即可
例8.已知数列
n
a中，,1
1
a.2
1
naa
nn
求
n
a
解析：.2
1
naa
nn
22
12
naa
nn
，故2
2
nn
aa
即数列
n
a是奇数项和偶数项都是公差为2的等差数列，
*,1
,1
,
Nnn
nn
nn
a
n
且，
为偶数
为奇数
9.
)(
1
nfaa
nn
型
将原递推关系改写成)1(
12
nfaa
nn
，两式作商可得
,
)(
)1(
2
nf
nf
a
a
n
n
然后分奇数、偶数讨论即可
例9.已知数列
n
a中，,2,3
11
n
nn
aaa
求
n
a
解析：
Nnn
n
n
an
n
n
,1
,2
3
1
,23
2
2
1
，
为偶数
为奇数