圆的标准方程教案

圆的标准方程教案

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2.4.1圆的标准方程

教学设计

本小节内容选自《普通高中数学选择性必修第一册》人教A版（2019）第二章《直线和圆的方程》的

第四节《圆的方程》。以下是本单元的课时安排：

第二章直线和圆的方程

课时内容2.4圆的方程2.5直线与圆、圆与圆的位置关系

所在位置教材第82页教材第91页

新教材

内容

分析

圆是学生熟悉的基本平面图形，在初中阶

段学习过圆的一些性质，现在在平面直角

坐标系中研究院，根据确立圆的几何要素

建立圆的方程，通过圆的方程，运用坐标

法解决一些与圆有关的简单问题。圆的方

程的知识是平面解析几何的基础知识，圆

的方程具有广泛的应用。

运用直线和圆的方程判断直线与圆、圆与圆的

位置关系，并解决简单的问题，在教学过程中，

应引导学生根据初中学习图形与几何的经验，

类比用哪个直线的方程研究两条直线的位置关

系，研究运用直线和圆的方程判断直线与圆、

圆与圆的位置关系。

核心素养培

养

通过圆的标准方程、一般方程的求解，培

养数学运算的核心素养；通过圆的一般方

程的理解，培养数学抽象的核心素养。

通过直线与圆、圆与圆的位置关系的判断，培

养逻辑推理的核心素养；通过直线与圆的综合

问题，提升数学运算的核心素养。

教学主线圆的方程的应用

在初中曾经学习过圆的有关知识，本节内容是在初中所学知识及前一章内容的基础上，在平面直角坐

标系中建立圆的代数方程，它与其他图形的位置关系及其应用。在这一过程中，进一步体会数形结合

的思想，形成用代数的方法解决几何问题的能力。

1.会用定义推导圆的标准方程,并掌握圆的标准方程的特征，培养数学抽象的核心素养.

2.能根据所给条件求圆的标准方程，培养数学运算的核心素养.

3.掌握点与圆的位置关系并能解决相关问题，提升逻辑推理的核心素养.

重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握点与圆的位置关系

难点：根据所给条件求圆的标准方程

（一）新知导入

《古朗月行》

唐李白

小时不识月，呼作白玉盘。

又疑瑶台镜，飞在青云端。

月亮,是中国人心目中的宇宙精灵,古代人们在生活中崇拜、敬畏月亮,在文学作品中也大量描写、如果把

天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系,那么圆的坐标方程如何表示?

（二）圆的标准方程

知识点1圆的标准方程

【思考1】圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？

【提示】定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径.

确定圆的因素：圆心和半径圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.

【思考2】已知圆心为A(a,b),半径为你能推导出圆的方程吗？

【提示】|MA|＝r,由两点间的距离公式,得22()()xayb＝r,

化简可得(x－a)

2

＋(y－b)

2

＝r

2

.

◆(1)圆的定义：圆是平面上到定点的距离等于定长的点的集合，定点称为圆的圆心，定长称

为圆的半径．用集合表示为P＝{M||MA|＝r}．

(2)圆的标准方程：

①圆心为A(a，b)，半径为r的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.

②圆心在坐标原点，半径为r的圆的标准方程为x2＋y2＝r2.

【做一做1】(教材P85练习1改编)以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是()

A．x2＋y2＝2B．x2＋y2＝4

C．(x－2)2＋(y－2)2＝8D．x2＋y2＝2

解析：以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x2＋y2＝4.

答案：B

【做一做2】圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝3的圆心坐标是()

A．(2,1)B．(2，－1)

C．(－2,1)D．(－2，－1)

解析：结合圆的标准形式可知，圆C的圆心坐标为(2，－1)．

答案：B

知识点2点与圆的位置关系

【思考3】1．点A(1,1)，B(3,0)，C(2，2)与圆x2＋y2＝4的关系如图所示，则|OA|，|OB|，|OC|与

圆的半径r＝2什么关系？

【提示】|OA|2，|OC|＝2.

2．点M(x

0

，y

0

)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系如何判断？

【提示】(1)(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2>r2⇔点在圆外；

(2)(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2＝r2⇔点在圆上；

(3)(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2

◆点与圆的位置关系

圆A：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为A(a，b)，半径为r，点P(x

0

，y

0

)，设d＝|PA|.

位置关系几何法图示代数法

点在圆外d＞r(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2>r2

点在圆上d＝r(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2＝r2

点在圆内d＜r(x

0

－a)2＋(y

0

－b)2

【做一做1】点P(－2，－2)和圆x2＋y2＝4的位置关系是()

A．在圆上B．在圆外

C．在圆内D．以上都不对

解析：将点P的坐标代入圆的方程，有(－2)2＋(－2)2＝8>4，故点P在圆外．

答案：B

【做一做2】(教材P83例1改编)已知两点P(－5,6)和Q(5，－4)，求以P，Q为直径端点的圆的标

准方程，并判断点A(2,2)，B(1,8)，C(6,5)是在圆上，在圆内，还是在圆外．

【解析】由已知条件及圆的性质可知，圆心M在直径PQ的中点处，∴圆心M的坐标为(0,1)，

半径r＝

1

2

|PQ|＝

1

2

×－5－52＋6＋42＝52.∴圆的标准方程为x2＋(y－1)2＝50.

∵|AM|＝2－02＋2－12＝5

∵|BM|＝1－02＋8－12＝50＝r，∴点B在圆上．

∵|CM|＝6－02＋5－12＝52>r，∴点C在圆外．

（三）典型例题

1.求圆的标准方程

例1.求满足下列条件的圆的标准方程．

(1)圆心为(3,4)且经过坐标原点；

(2)经过A(3,1)，B(－1,3)且圆心在直线3x－y－2＝0上．

【分析】欲求圆的方程，需确定圆心及半径．

【解析】(1)∵圆心(3,4)，设半径为r，又圆过坐标原点，∴r＝3－02＋4－02＝5，

∴圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25.

(2)法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，

依题意得









3－a2＋1－b2＝r2，

－1－a2＋3－b2＝r2，

3a－b－2＝0，

即











a2＋b2－6a－2b＝r2－10，

a2＋b2＋2a－6b＝r2－10，

3a－b－2＝0，

解得











a＝2，

b＝4，

r＝10.

∴所求圆的标准方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.

法二：直线AB的斜率k＝

3－1

－1－3

＝－

1

2

，

可知AB垂直平分线m的斜率为2.A、B中点的横坐标和纵坐标分别为x＝

3－1

2

＝1，y＝

1＋3

2

＝2.

因此m的方程为y－2＝2(x－1)，即2x－y＝0.

又圆心在直线3x－y－2＝0上，所以圆心为这两条直线的交点，

联立方程组









2x－y＝0，

3x－y－2＝0，

得









x＝2，

y＝4.

设圆心为C，所以圆心坐标为C(2,4)．

又半径r＝|CA|＝10，则所求圆的方程是(x－2)2＋(y－4)2＝10.

法三：设圆心为C，∵圆心在直线3x－y－2＝0上，故可设圆心C的坐标为(a,3a－2)．

又∵|CA|＝|CB|.

故a－32＋3a－2－12＝a＋12＋3a－2－32，

解得a＝2，∴圆心为(2,4)，半径r＝|CA|＝10.

故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－4)2＝10.

【类题通法】圆的标准方程的两种求法

(1)几何法：它是利用图形的几何性质,如圆的性质等,直接求出圆的圆心和半径,代入圆的标准方程,从而得到

圆的标准方程.

(2)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程,解方程组以得到圆的标准方程中三个参数,从而确定圆的标准

方程.它是求圆的方程最常用的方法,一般步骤是:

①设——设所求圆的方程为(x-a)

2

+(y-b)

2

=r

2

;

②列——由已知条件,建立关于a,b,r的方程组;

③解——解方程组,求出a,b,r;

④代——将a,b,r代入所设方程,得所求圆的方程.

【巩固练习1】△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8).求它的外接圆的方程．

【解析】设所求圆的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.①

因为A(5，1)，B(7，－3)，C(2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.

于是









（5－a）2＋（1－b）2＝r2，

（7－a）2＋（－3－b）2＝r2，

（2－a）2＋（－8－b）2＝r2，

解此方程组，得











a＝2，

b＝－3，

r2＝25.

所以，△ABC的外接圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝25.

2.点与圆的位置关系的应用

例2.已知A(－1,4)，B(5，－4)．求以AB为直径的圆的标准方程，并判断C(5,1)，D(6，－3)，E(－

5,1)与圆的位置关系．

【分析】判断点与圆的位置关系，关键是看点与圆心的距离与半径之间的关系．

【解析】设圆心为O(x

0

，y

0

)，半径为r，

由题意得





x

0

＝

－1＋5

2

，

y

0

＝

4－4

2

，

得









x

0

＝2，

y

0

＝0.

∴圆心O(2,0)．

又r＝2－52＋0＋42＝5，∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝25.

又|OC|2＝(5－2)2＋12＝10

又|OD|2＝(6－2)2＋(－3－0)2＝25＝r2，∴D在圆上．

又|OE|2＝(－5－2)2＋(1－0)2＝50>r2，∴E在圆外．

【变式探究】在本例的条件下，若点A(a，a－1)在此圆的外部，则实数a的取值范围是_________．

解析：由题意得(a－2)2＋(a－1)2>25，即a5.

答案：(－∞，－2)∪(5，＋∞)

【类题通法】点与圆的位置关系及其应用

点与圆的位置关系有三种:点在圆内、点在圆上、点在圆外.判断点与圆的位置关系有两种方法:

一是用圆心到该点的距离与半径比较,二是代入圆的标准方程,判断与r

2

的大小关系.通过点与圆的位

置关系建立方程或不等式可求参数值或参数的取值范围.

【巩固练习2】若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则a的取值范围是()

A．－1

C．a1D．a＝±1

解析：由题意得(1－a)2＋(1＋a)2<4，得a2<1，即－1

答案：A

3.最值问题

例3.（1）已知x，y满足x2＋(y＋4)2＝4，求x＋12＋y＋12的最大值与最小值.

（2）若P(x，y)是圆C(x－3)2＋y2＝4上任意一点，请求出P(x，y)到直线x－y＋1＝0的距离的最大值

和最小值．

【解析】（1）因为点P(x，y)是圆x2＋(y＋4)2＝4上的任意一点，圆心C(0，－4)，半径r＝2，

因此x＋12＋y＋12表示点A(－1，－1)与该圆上点的距离．

因为|AC|2＝(－1)2＋(－1＋4)2＞4，所以点A(－1，－1)在圆外．如图所示．

而|AC|＝0＋12＋－4＋12＝10，

所以x＋12＋y＋12的最大值为|AC|＋r＝10＋2，

最小值为|AC|－r＝10－2.

（2）P(x，y)是圆C上的任意一点，而圆C的半径为2，圆心C(3,0)，圆心C到直线x－y＋1＝0的距

离d＝

|3－0＋1|

12＋－12

＝22，所以点P到直线x－y＋1＝0的距离的最大值为22＋2，最小值为22－2.

【类题通法】与圆有关的最值问题的求解策略

(1)本题将最值转化为线段长度问题，从而使问题得以顺利解决．充分体现了数形结合思想在解题中的

强大作用．

(2)涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．

【巩固练习3】已知实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝25，那么x2＋y2的最小值为()

A．5B．8C．13D．18

解析：由题意得，x2＋y2＝（x－0）2＋（y－0）2表示点P(x，y)到原点的距离，所以x2＋y2的最小

值表示圆(x＋5)2＋(y－12)2＝25上一点到原点距离的最小值，又圆心(－5，12)到原点的距离为

（－5）2＋122＝13，所以x2＋y2的最小值为13－R＝8.

答案：B

（四）操作演练素养提升

1.圆(x－2)2＋(y＋3)2＝2的圆心和半径分别为()

A．(－2,3)，1B．(2，－3)，3

C．(－2,3)，2D．(2，－3)，2

2.已知圆的方程是(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()

A．在圆心B．在圆上

C．在圆内D．在圆外

3.过两点P(2,2)，Q(4,2)，且圆心在直线x－y＝0上的圆的标准方程是()

A．(x－3)2＋(y－3)2＝2B．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2

C．(x－3)2＋(y－3)2＝2D．(x＋3)2＋(y＋3)2＝2

4.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1，0)，B(5，0)，此圆的标准方程为()

A．(x－3)2＋y2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4

C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4

答案：1.D2.C3.A4.A

【设计意图】通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强

学生的应用意识。

（五）课堂小结，反思感悟

1.知识总结：

2.学生反思：

（1）通过这节课，你学到了什么知识？

（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？

【设计意图】

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理

能力。

完成教材：第85页练习第1，2，3,4题

第88页习题2.4第1,2,3,4,6题