应力和应变的关系

应力和应变的关系

-

精品文档

精品文档

第四章应力和应变关系

知识点

应变能原理

应力应变关系的一般表达式

完全各向异性弹性体

正交各向异性弹性体本构关系

弹性常数

各向同性弹性体应变能

格林公式

广义胡克定理

一个弹性对称面的弹性体本构关系

各向同性弹性体的应力和应变关系

应变表示的各向同性本构关系

一、内容介绍

前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形

协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系

的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，

有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度

下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理

方程或者本构关系。

对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通

过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹

性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。

本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。

二、重点

1、应变能函数和格林公式；2、广义胡克定律的一般表达式；3、具

有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系；

5、材料的弹性常数。

§4.1弹性体的应变能原理

学习思路:

弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体

内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求

精品文档

精品文档

解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。

本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数

表达的材料本构方程。

根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，

即应变能函数。

探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本

构关系。

如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量

的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应

变能函数。

学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。

1、应变能

弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节

通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。

根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一

部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界

吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为dW，则

dW=dW

1

+dW

2

其中，dW

1

为表面力Fs所做的功，dW

2

为体积力F

b

所做的功。变形过程中，

由外界输入热量为dQ，弹性体的内能增量为dE，根据热力学第一定律,

dW

1

+dW

2

=dE-dQ

因为

将上式代入功能关系公式，则

精品文档

精品文档

2、格林公式

如果加载很快，变形在极短的时间内完成，变形过程中没有进行热交换，称

为绝热过程。绝热过程中，dQ=0，故有

dW

1

+dW

2

=dE

对于完全弹性体,内能就是物体的应变能，设U

0

为弹性体单位体积的应变能，

则由上述公式，可得

即

设应变能为应变的函数，则由变应能的全微分

对上式积分，可得U

0

=U

0

（

ij

），它是由于变形而存储于物体内的单位体积的

弹性势能，通常称为应变能函数或变形比能。在绝热条件下，它恒等于物体的内

能。

比较上述公式，可得

以上公式称为格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。

3、应变能原理

如果加载缓慢，变形过程中物体与外界进行热交换，但物体的温度保持不变，

称为等温过程。设等温过程中，输入物体的单位体积热量为dQ，熵的增量为dS，

对于弹性变形等可逆过程，根据热力学第二定律，有

因为，dQ=TdS，所以，Q=TS。上式中，T为绝对温度，TS为输入单位体积

的热能。代入公式可得

精品文档

精品文档

所以

上式中，E

0

为物体单位体积的内能，TS为输入的热能，即U

0

=E

0

-TS。所

以在等温条件下，功能公式仍然成立。

上述公式是从热力学第一和第二定律出发得到的，因此它不受变形的大小和

材料的性质的限制。

如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则由格林公式，单位体积的应变能

必为应变分量的齐二次函数。因此根据齐次函数的欧拉定理，可得

即

用张量表示，写作

设物体的体积为V，整个物体的应变能为。

§4.2广义胡克定义

学习思路:

根据弹性体的应变能函数，可以确定本构方程的能量表达形式。本节的任务

是利用应变能函数推导应力和应变的一般关系。

如果将应力分量表达为应变分量的函数，可以得到应力和应变关系的一般表

达式。对于小变形问题，这个一般表达式可以展开为泰勒级数。

对于各向同性材料，根据应力与应变的性质，可以得到具有36个常数的广

义胡克定理。

学习要点：

1、应力应变关系的一般表达式；2、广义胡克定理。

1、应力应变关系的一般表达式

精品文档

精品文档

由于应变能函数的存在，通过格林公式就可求出应力。本节将通过应变能的

推导应力和应变的一般关系。若将应力表达为应变的函数，则应力和应变关系的

一般表达式为

这里的函数f

i

（i=1，2,…，6）取决于材料自身的物理特性。对于均匀的各

向同性材料，单向拉伸或压缩时，应力应变关系可以通过实验直接确定。但是对

于复杂的应力状态，即使是各向同性的材料，也很难通过实验直接确定其关系。

这里不去讨论如何建立一般条件下的应力应变关系，仅考虑弹性范围内的小

变形问题。

对于小变形问题，上述一般表达式可以展开成泰勒级数，并且可以略去二阶

以上的高阶小量。

例如将的第一式展开，可得

上式中（f

1

）

0

表达了函数f

1

在应变分量为零时的值，根据应力应变的一般

关系式可知，它代表了初始应力。

2、广义胡克定理

根据无初始应力的假设，（f

1

）

0

应为零。对于均匀材料，材料性质与坐标无

关，因此函数f

1

对应变的一阶偏导数为常数。因此应力应变的一般关系表达式

可以简化为

上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下的推广，因此又称作广

义胡克定律。

精品文档

精品文档

广义胡克定律中的系数C

mn

（m，n=1，2，…，6）称为弹性常数，一共有

36个。

如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将有不同的弹性效应，因

此一般的讲，C

mn

是坐标x，y，z的函数。

但是如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点，如果受同样的应力，

将有相同的应变；反之，物体内各点如果有相同的应变，必承受同样的应力。

这一条件反映在广义胡克定理上，就是C

mn

为弹性常数。

§4.3各向异性弹性体的本构关系

学习思路：

本节应用应变能函数推导各向异性材料的本构关系。

对于完全的各向异性弹性体，本构关系有21个弹性常数，

对于具有一个弹性对称面的各向异性材料，本构各向具有13个弹性常数。

对于正交各向异性材料，弹性常数有9个。

正交各向异性材料的本构方程中，正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应

的切应变有关，因此拉压与剪切之间，以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合

作用。

学习要点：

1、完全各向异性弹性体；2、有一个弹性对称面的弹性体；3、有一

个弹性对称面的弹性体本构关系；4、正交各向异性弹性体；5、正交

各向异性弹性体本构关系。

1、完全各向异性弹性体

下面从广义胡克定理公式出发，用应变能的概念建立常见的各向异性弹性体

的应力和应变关系。

根据格林公式和广义胡克定律，有

对于上式，如果对切应变

xy

求偏导数，有

精品文档

精品文档

同理，有

对于上式，如果对正应变

x

求偏导数，有

因此，C

14

=C

41

。对于其它的弹性常数可以作同样的分析，则C

mn

=C

nm

。

上述结论证明完全各向异性弹性体只有21个弹性常数。其本构方程为

2、具有一个弹性对称面的各向异性弹性体

如果弹性体内每一点都存在这样一个平面，和该面对称的方向具有相同的弹

性性质，则称该平面为物体的弹性对称面。

垂直于弹性对称面的方向称为物体的弹性主方向。

若设yz为弹性对称面，则x轴为弹性主方向。

以下根据完全各向异性弹性体本构方程，推导具有一个弹性对称面的各向异

性弹性体的本构方程。

将x轴绕动z轴转动π角度，成为新的Ox'y'z'坐标系。

新旧坐标系之间的关系为

xyz

x'l

1

=-1m

1

=0n

1

=0

y'l

2

=-1m

2

=0n

2

=0

z'l

3

=-1m

3

=0n

3

=0

根据弹性对称性质，关于x轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时保持不

精品文档

精品文档

变，而关于x轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以



x'

=

x

，

y'

=

y

，

z'

=

z

，

x'y'

=

xy

，

y'z'

=

yz

，

z'x'

=

zx



x'

=

x

，

y'

=

y

，

z'

=

z

，

x'y'

=

xy

，

y'z'

=

yz

，

z'x'

=

zx

根据弹性主方向性质，作这一坐标变换时，本构关系将保持不变。

3、有一个弹性对称面的弹性体本构关系

根据完全各向异性弹性体的本构方程，将上述关系式

代入广义胡克定理，可得

将上式与广义胡克定理相比较，要使变换后的应力和应变关系保持不变，则必有

C

14

=C

16

=C

24

=C

26

=C

34

=C

36

=C

54

=C

56

=0

这样，对于具有一个弹性对称面的弹性体，其弹性常数由21个将减少为13

个。具有一个弹性对称面的弹性体的应力应变关系为

4、正交各向异性弹性体

若物体每一点有两个弹性对称面，称为正交各向异性弹性体。以下根据完全

精品文档

精品文档

具有一个弹性对称面的各向异性弹性体本构方程

推导具有两个弹性对称面的各向异性弹性体的本构方程。设xz平面也是弹

性对称面，即y轴也是弹性主方向。在具有一个弹性对称面的基础上，将y轴

绕动z轴转动角度，成为新的Ox'y'z'坐标系,如图所示

根据弹性对称性质。关于y轴对称的应力和应变分量在坐标系变换时也保持

不变，而关于y轴反对称的应力和应变分量在坐标系变换时取负值。所以，则

新旧坐标系下的应力和应变分量的关系为



x'

=

x

，

y'

=

y

，

z'

=

z

，

x'y'

=-

xy

，

y'z'

=-

yz

，

z'x'

=

zx



x'

=

x

，

y'

=

y

，

z'

=

z

，

x'y'

=-

xy

，

y'z'

=-

yz

，

z'x'

=

zx

将上述关于y轴弹性对称的应力应变关系代入具有一个弹性对称面的各向

异性材料本构关系。为保持应力和应变在坐标变换后不变，则必有

C

15

=C

25

=C

35

=C

64

=0

5、正交各向异性弹性体本构关系

精品文档

精品文档

这样，对于具有二个弹性对称面的弹性体，如图所示，其弹性常数由13个将减

少为9个。于是其应力应变关系简化为

假如弹性体有3个弹性对称面，也就是说，如果设xy平面也是弹性对称面，

z轴也为弹性主方向，则类似的推导可以证明，本构方程不会出现有新的变化。

因此，如果相互垂直的3个平面中有两个弹性对称面，则第三个必为弹性

对称面。

二个弹性对称面的弹性体本构方程表明：如果坐标轴与弹性主方向一致时，

正应力仅与正应变有关，切应力仅与对应的切应变有关，因此拉压与剪切之间，

以及不同平面内的剪切之间将不存在耦合作用。

这种弹性体称为正交各向异性弹性体，其独立的弹性常数为9个。

§4.4各向同性弹性体

学习思路:

各向同性弹性体，就物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全相

同，即物理性质的完全对称。该物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间

的关系在所有方位不同的坐标系中都一样。

对于各向同性材料，材料性质不仅与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的任

精品文档

精品文档

意变换方位也无关。根据这一原则，可以确定具有2个独立弹性常数的本构关系。

各向同性材料的本构关系可以通过拉梅(Lamé)弹性常数，表示；也可以通

过工程弹性常数E,,G表示。

各弹性常数可由实验的方法测定。

学习要点：

1、各向同性弹性体；2、各向同性弹性体的应力和应变关系；3、应

变表示的本构关系；4、弹性常数与应力表示的本构关系。

1、各向同性弹性体

各向同性弹性体，就其物理意义来讲，就是物体各个方向上的弹性性质完全

相同。这一物理意义在数学上的反映，就是应力和应变之间的关系在所有方位不

同的坐标系中都一样。

本节将从正交各向异性材料的应力应变公式出发，建立各向同性弹性体的应

力和应变关系。对于各向同性材料，显然其材料性质应与坐标轴的选取无关，任

意一个平面都是弹性对称面。因此

C

11

=C

22

=C

33

,C

12

=C

23

=C

31

,C

44

=C

55

=C

66

于是其应力应变关系简化为

其独立的弹性常数仅为C

11

，C

12

和C

44

。

但是各向同性弹性体的弹性常数不但与坐标轴的选取无关，而且与坐标轴的

任意变换方位也无关。为了简化分析，将坐标系沿z轴旋转任一角度。新旧坐

标系之间的关系如下所示

xyz

x'

l

1

=cosm

1

=sinn

1

=0

y'

l

2

=-sinm

2

=cosn

2

=0

z'l

3

=0m

3

=0n

3

=1

精品文档

精品文档

2、各向同性弹性体的应力和应变关系

根据应力分量转轴公式，可得

根据应变分量转轴公式

将以上两式代入应力应变关系公式的第四式,则

因为，所以。

根据应力应变表达式，可得。

比较上述两个公式，可得，2C

44

=C

11

-C

12

。所以各向同性弹性体的弹性常数只有

两个。其应力和应变关系为

其中，。

3、应变表示的本构关系

为了使得各向同性材料的本构关系公式表达简洁，令

则同性材料的本构关系公式可以简化为

精品文档

精品文档

或写作张量表达式

上述公式即为各向同性弹性材料的广义胡克（Hooke）定理，，称为拉梅

（Lamé）弹性常数。

如果将坐标轴选取的与弹性体内某点的应力主方向重合，则对应的切应力分

量均应为零。根据各向同性材料的本构关系的后三式可见，此时所有的切应变分

量也为零。

根据上述分析，对于各向同性弹性体内的任一点，应力主方向和应变主方

向是一致的。因此这三个坐标轴，即应力主轴同时又是应变主轴方向，对于各向

同性弹性体，应力主方向和应变主方向二者是重合的。

设体积应力为,将拉梅公式的前三式相加，可得

上式称为体积应变的胡克定理。

4、弹性常数与应力表示的本构关系

如果各向同性材料的本构关系用应力表示，一般用工程弹性常数E，，G

表示胡克定律，有

精品文档

精品文档

这里E为弹性模量，又称为杨氏模量；G为切变弹性模量；v为横向变形系

数，简称泊松比。

工程弹性常数与拉梅弹性常数之间的关系为

由于各向同性弹性体仅有两个独立的弹性常数，因此

各个弹性常数可由实验的方法测定，通常应用材料的单向拉伸实验可以测出

弹性模量E，利用薄壁管的扭转实验可以测定剪切弹性模量G。其余的弹性常数

可以通过上述公式计算得到。

4.5各向同性弹性体的应变能

学习思路:

本节介绍各向同性材料的应变能函数表达形式。

如果材料为各向同性材料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过

应力分量或者应变分量表示。将本构关系表达式代入应变能函数公式，则可以写

出应变分量或者应力分量表达的应变能函数。

由于泊松比恒小于1，所以应变能函数是恒大于零的。这就是说，单位体

积的应变能总是正的。

精品文档

精品文档

学习要点：1、各向同性弹性体应变能。

1、各向同性弹性体应变能

弹性体单位体积的应变能的表达式已经作过讨论。如果材料为各向同性材

料，本构关系满足线性条件，则应变能函数可以通过应力分量或者应变分量表示。

根据应变能函数表达式

对于各向同性弹性体，可以使用应力分量或应变分量表达单位体积的应变

能，将本构关系表达式

代入上式，则可以写作应变分量表达的应变能函数

或者利用本构方程

，

写作应力分量表达的应变能函数

由于恒小于1，所以，根据应变能函数表达式可知U

0

恒大于零。这就是说，

精品文档

精品文档

单位体积的应变能总是正的。