等高模型
-
2023年2月27日发(作者：京东销售额)1/32..
模型一三角形等高模型
已经知道三角形面积的计算公式：
三角形面积二底高二2
从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积.
如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；
如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；
这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时
发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的-，则三角形面积与原来
3
的一样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同
时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状.
在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论:
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之
比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之
比；
如图Si：&二a:b
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右上图ACDBCD；
反之，如果SAACD
BCD，则可知直线AB平行于CD•
④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；
⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比.
2/32..
你有多少种方法将任意一个三角形分成：⑴3个面积相等的三角形；⑵4个面积相等的三角形;
6个面积相等的三角形。
⑴如下图，D、E是BC的三等分点，F、G分别是对应线段的中点，答案不唯一：
【例1】
【解
⑵如下图，答案不唯一，以下仅供参考:
【例2】
如图，BD长12厘米，DC长4厘米，B、C和D在同一条直线上。
⑴求三角形ABC的面积是三角形ABD面积的多少倍？
⑵求三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍?
【解析】
因为三角形ABD、三角形ABC和三角形ADC在分别以BD、BC和DC为底时，它们的高都是从点向
BC边上所作的垂线，也就是说三个三角形的高相等。
于是：三角形ABD的面积=12高“2=6高
三角形ABC的面积（124）高-：-2=8高
三角形ADC的面积=4高亠2=2高
所以，三角形ABC的面积是三角形ABD面积的-倍；
3
三角形ABD的面积是三角形ADC面积的3倍。
【例3】
【解
析】
如右图，ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是
____________平方厘米。
iwwB
图中阴影部分的面积等于长方形
ABCD面积的一半，即43"2=6（平方厘米）。
（2009年四中小升初入学测试题）如图所示，平行四边形的面积是50平方厘米，则阴影部分的面积
是________平方厘米。
⑶如下图，答案不唯一，以下仅供参考:
3/32..
【解析】根据面积比例模型，可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半，所以阴影部分的面积也等于平行四边
形面积的一半，为50“2=25平方厘米。
【巩固】如下图，长方形AFEB和长方形FDCE拼成了长方形ABCD，长方形ABCD的长是20，宽是12,则它内部
阴影部分的面积是_______________。
【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为
【例4】如图，长方形ABCD的面积是56平方厘米，点E、F、G分别是长方形ABCD边上的中点，H为AD边上的
任意一点，求阴影部分的面积。
9个形状各不相同的三角形。这9个三角形的底边分别是阴影部分被分割成了3个三角形，右
3第4个三角形相等；左边三角形
1
2012=120。
2
【解析】
本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用。
连接BH、CH。
•••AE=EB,
--S^AEH-S^BEH•
同理,
•'•S阴影
S
^BFH=£△CFH,S
CGH=S
DGH,
11、
S长方形ABCD56=28（平方厘米）•
22
【巩固】
图中的
分的面积是
E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部
【解析】
把另外三个三等分点标出之后，正方形的3个边就都被分成了相等的三段。把H和这些分点以及正
方形的顶点相连，把整个正方形分割成了
在正方形的3个边上，它们的长度都是正方形边长的三分之一。
边三角形的面积和第1第2个三角形相等：中间三角形的面积和第
B
E
C
G
C
O
4/32..
的面积和第5个第6个三角形相等。
因此这3个阴影三角形的面积分别是ABH、BCH和CDH的三分之一，因此全部阴影的总面积就等
于正方形面积的三分之一。正方形的面积是144，阴影部分的面积就是48。
【例5】长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点,是多
少？
【解析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下图:
这样阴影部分的面积就是「QEF的面积，根据鸟头定理，则有：
1111111
S阴影=SABCD-SAED-SBEF-SCFD=36…——36…———36…——36=13.5。
---2222222
【例6】长方形ABCD的面积为36，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少？
H为AD边上任意一点，问阴影部分面积
即SEHB'SBHF'SDHG
而S
EHB•SBHF•SDHG
所以阴影部分的面积是:
1
SDHGSDHC，而S
ABCD='SCHB'SCH^-36
11
('SCHB'SCHD)36=18；
1
=S阴影'S
EBF，S'EBFBEBF
阴影=18-S
EBF=18-4.5=13
・5
H的特殊点，把H点与D点重合，
=?、
AB)(-BC)36=4.5。
28
/1
可得：SEHB=?SAHB、
解法二：特殊点法。找
那么图形就可变成右图:
F
5/32..
影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的
分的面积为62（1」）=15平方厘米。
46
（法2）连接PA、PC。
由于PAD与PBC的面积之和等于正方形ABCD面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积
之和等于正方形ABCD面积的1,同理可知左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形ABCD面
4
积的丄，所以阴影部分的面积为62（丄•1）=15平方厘米。
646
【解析】
【巩固】
【解析】
那么阴影部分的面积就是
H为AD边上任意一点，找H的特殊点，把H点与A点重合（如左上图）
.AEF与ADG的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形
面积的1和1,所以阴影部分面积为长方形ABCD面积的1-，为363=13.5。
848488
（法2）寻找可利用的条件，连接
1
可得：SEHB=?SAHB、
即SEHB'SBHF'SDHG
而
所以阴影部分的面积是:
ABCD
BH、
SFHBSCHB、
_1
(SAHB■SCHB
HC，如右上图。
1
SDHGSDHC，而S
ABCD=SAHB'SCHB'S£HD=36，
小1
■SCHD)36=18；
C1c1111^1
=S阴影'SEBF，S'EBFBE：：BF(AB)：：(BC)36=4.5。
：22228
S=18-S=18-4.5=13.5。
在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分
别与P点连接，求阴影部分面积。
P是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，假设P点与A点重合，则阴
11
-和-，所以阴影部
46
【例如右图，E在AD上,AD垂直BC，AD=12厘米,面
积的几倍？
DE=3厘米.求三角形ABC的面积是三角形
EBC
（法1）特殊点法。由
于
（法1）特殊点法。由于
D
A
C
6/32..
【解析】因为AD垂直于BC,所以当BC为三角形ABC和三角形EBC的底时，AD是三角形ABC的高，ED是三角形
EBC的高，
于是：三角形ABC的面积二BC12-：-2二BC6
三角形EBC的面积=BC3-：-2=BC1.5
所以三角形ABC的面积是三角形EBC的面积的4倍.
【例8】如图，在平行四边形ABCD中，EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与BEC等积的三角形一共有哪几
个三角形？
【解析】AEC、AFC、ABF.
【巩固】如图，在ABC中，D是BC中点，E是AD中点，连结BE、CE,那么与ABE等积的三角形一共
有哪几个三角形？
【解析】3个，AEC、BED、DEC.
【巩固】如图，在梯形ABCD中，共有八个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对?
【解析】连接CE，:AE=3AB,•••BE=2AB,SBc^2S
ACB
【例10】（2008年四中考题）如右图，AD=DB,AE=EF=FC，已知阴影部分面积为5平方厘米，.ABC
的面积是_________平方厘米.
【解析】ABD与ACD,ABC与DBC,「ABO与DCO.
【例9】（第四届”迎春杯”试题
的面积是多少？
）如图，三角形ABC的面积为1,其中AE=3AB,BD=2BC，三角形BDE
又TBDFBC,•SBDE
=2S_BCE=4SABC=4.
7/32..
【解析】连接CD•根据题意可知，DEF的面积为DAC面积的-,DAC的面积为ABC面积的-，所
32
以.DEF的面积为JABC面积的一-二-.而.DEF的面积为5平方厘米，所以.'ABC的面积为
236
1
530（平方厘米）•
6
【巩固】图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中点，AD的长是AE长的3倍，EF的长是BF
【解析】ABD,LABC等高，所以面积的比为底的比，有旦二BD=丄,
SABCBC2
11AE1
所以S
ABD=SABC180=90（平方厘米）.冋理有SABESABD90=30（平方厘米）,
22AD3
FE3
SAFE=竺SABE二123430=22.5（平方厘米）•即三角形AEF的面积是22.5平方厘米.
BE「4
【巩固】如图，在长方形ABCD中，Y是BD的中点，Z是DY的中点，如果AB=24厘米，BC=8厘米，求三角形
ZCY的面积.
三角形ADE又是三角形ADC面积的一半12"2=6•三角形FED的面积是三角形ADE面积的一半，所以三
角形FED的面积=6,2=3•
111
【解析】VY是BD的中点，Z是DY的中点，•••ZY二1-DB,SZC
Y=1S
DCB,
224-
、111
又・ABCD是长方形，…S|_ZCYSDCBSABCD=24（平方厘米）•
4■42"
【巩固】如图，三角形ABC的面积是
24,D、E和F分别是BC、AC和AD的中点.求三角形DEF的面积.
析】三角形ADC的面积是三角形
ABC面积的一半24"2=12,
B
8/32..
【巩固】如图，在三角形ABC中，BC=8厘米，高是6厘米，E、F分别为AB和AC的中点，那么三角形
EBF的面积是多少平方厘米?
【解
析】
•••F是AC的中点
-，
SLABC=2S_ABF
冋理SLABF=2S_BEF
•••SLBEF=S_ABC4=8624=6(平方厘米)•
【例11】如图ABCD是一个长方形，点E、F和G分别是它们所在边的中点•如果长方形的面积是
个平方单位，求三角形EFG的面积是多少个平方单位.
（97迎春杯决赛）如图，长方形ABCD的面积是1,那么，阴影部分的面积是多少？
M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN二BN.
1111
-一=—，又因为△BDC面积为-，所以阴影部分的面积为:
43122
形组合而成.求阴影部分的面积.
【例13】如图，三角形ABC中，DC=2BD,CE=3AE,三角形ADE的面积是20平方厘米，三角形ABC
【解
析】
如右图分割后可得,SEFG=S矩形DEFC（平方单
位）
【解析】连接BM，因为M是中点所以△ABM的面积为
【例12】如图，大长方形由面积是12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方
36
【巩固】
丄1__5
12212
12cm
/
48cm2
12cm2
M
/
N
48cm2
【解析】如图，将大长方形的长的长度设为
1,
则AB占E，CD=24
111
所以MN肓：苍，阴影部分面积为
112
(12243648)5(cm)•
12
A___B
CD
9/32..
的面积是多少?
【解析】TCE=3AE,—AC=4AE,SADc=4S
ADE;
又'/DC=2BD，二BC/.5DC,SABC=1.5SADC=6SADE=120(平方厘米).
【例14】（2009年第七届”希望杯”二试六年级）如图，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、
三角形BCD的面积分别是89，28，26.那么三角形DBE的面积是____________.
【解析】根据题意可知，S
ADC=SADE
SDCE
=892^117,所以BD:AD=SBDC：SADC=26:117=2:9,
那么SDBE:s
ADE—BD:AD—2：9,
2227
故SDBE=89(90—1)2019—.
出9999
【例15】（第四届《小数报》数学竞赛）如图，梯形ABCD被它的一条对角线BD分成了两部分.三角形
BDC的面积比三角形ABD的面积大10平方分米.已知梯形的上底与下底的长度之和是15分米,
它们的差是5分米.求梯形ABCD的面积.
是三角形BDC与三角形ABD的面积差（10平方分米）.从而，可求出梯形高（三角形DEC的高）是:
210十5=4（分米），梯形面积是：154亠2=30（平方分米）.
【例16】图中HAOB的面积为15cm2，线段OB的长度为OD的3倍，求梯形ABCD的面积.
【解析】在LABD中，因为SAOB=15cm2，且OB=3OD，所以有SAODAOB3=5cm2.
因为LABD和LACD等底等高，所以有SABD=S_ACD.
从而SOCD=15cm2,在LBCD中，SBOC=3SOCD=45cm2,所以梯形面积：15515'45=80(cm2).
【解
三角形DEC的面积就
10/
32..
【例17】如图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.
【解析】本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可
以利用三角形等积变形的方法，如右上图把顶点A移到CB的延长线上的A处，ABD与ABD面
积相等，从而ADC面积与原四边形ABCD面积也相等.这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形ADC•
问题是A位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB
的延长线交于A点.
具体做法：⑴连接BD;
⑵过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A
⑶连接AD，贝UACD与四边形ABCD等积.
【例18】(第三届“华杯赛”初赛试题)一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形
面积的15%，黄色三角形面积是21cm56.问：长方形的面积是多少平方厘米？
【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高相加为长方形的宽，所以黄色三角形与绿
色三角形的面积和为长方形面积的50%，而绿色三角形面积占长方形面积的15%，所以黄色三角形
面积占长方形面积的50%-15%=35%.
22
已知黄色三角形面积是21cm，所以长方形面积等于21"35%=60(cm).
【例19】O是长方形ABCD内一点，已知OBC的面积是5cm2,OAB的面积是2cm2，求OBD的面积是多少？
【例20】如右图，过平行四边形ABCD内的一点P作边的平行线EF、GH，若PBD的面积为8平方
分米，求平行四边形PHCF的面积比平行四边形PGAE的面积大多少平方分米？
51、
SAOD'SBOCSABCD，而SABDSABCD，所以
62
【解析】由于ABCD是长方形，所以
则=
S
OBD,所以SOBD
11/
32..
【解析】根据差不变原理，要求平行四边形PHCF的面积与平行四边形PGAE的面积差，相当于求平行四边
形BCFE的面积与平行四边形ABHG的面积差.
如右上图，连接CP、AP.
1
由于S应CP+S@DP=S^BP+S遲DP+S含DPS選CP-S心BP=S^DP.
1i
而SBC^=2SBCFE,SAB^-2SABHG，所以5BCFE-S
ABHG=2IBCP-SABP=2S
BD^-16（平方分米）.
连接AC交BD于0点，并连接P0.如下图所示，
可得PO//DC，所以.DPO与.CPO面积相等（同底等高），所以有:
SBPO'SCPO=SBPO'SpDo-SBPD,
11
因为SBOCSABCD20=5，所以SBPD=15-5=〔0.
44
连接AC交BD于0点，
可得PO//DC，所以DPO与CPO面积相等（同底等高），所以有：
-S
BPO
-S
BPD,
1
因为SBOCSABCD=3，所以S
BPD=5-3=2.
4
【例21】如右图，正方形ABCD的面积是20,
【解析】
【解析】
求阴影BPD的面积.
【巩
并连接P0•如右上图所示,
5，求阴影BPD的面积.
12/
32..
【例22】在长方形ABCD内部有一点O,形成等腰AOB的面积为16，等腰DOC的面积占长方形面积
的18%，那么阴影M0C的面积是多少？
13/
32..
【解析】如果可以求出JABG与CDG的面积之和与梯形ABCD面积的比，那么就可以知道ADG的面积占
梯形ABCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCD的面积.
如图，连接CE、DE•贝VSAEG-SDEG,=，于是SABG'S.^DG=S.£DE.
要求CDE与梯形ABCD的面积之比，可以把梯形ABCD绕F点旋转180，变成一个平行四边形.如下图所
示：
从中容易看出CDE的面积为梯形ABCD的面积的一半.（也可以根据SBEC
1111/
SAED二=?,SBEC'SAED=?'2SADC
那么，根据题意可知「ADG的面积占梯形ABCD面积的1--3，所以梯形ABCD的面积是
【解析】先算出长方形面积，再用其一半减去.QOC的面积（长方形面积的18%），再减去
；
AOD的面积，即
可求出.AOC的面积.
11
根据模型可知SCOD■SAOB=2SABCD，所以SABCD=16（©-18%）=50，
又AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以
:AOD的面积等于长方
1
所以SAOC=SACD-SAOD-SCOD="^SABCD-25%SABCD-18%SABCD
=25—12.5—9=3.5.
【例23】（2008年“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛六年级）如右图所示，在梯形ABCD中，E、F
分别是其两腰AB、CD的中点，G是EF上的任意一点，已知ADG的面积为15cm2，而:BCG的
面积恰好是梯形ABCD面积的—，则梯形ABCD的面积是
20
2
cm
14/
32..
22020
亠32
15100cm.
20
小结：梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形，其面积等于梯形面积的一半,这是一个很
有用的结论.本题中，如果知道这一结论，直接采用特殊点法，假设G与E重合，则■CDE
15/
32..
的面积占梯形面积的一半，那么「ADG与BCG合起来占一半.
【例24】如图所示，四边形ABCD与AEGF都是平行四边形，请你证明它们的面积相等.
【解析】本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行
四边形面积的一半.
证明：连接BE.（我们通过△ABE把这两个看似无关的平行四边形联系在一起.）
1
•••在平行四边形ABCD中，SAABEABAB边上的高，
2
_1
•ABE
S
ABCD-
2
1
同理，SAABEr-sAEGF，二平行四边形ABCD与AEGF面积相等.
2
如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘
米?
（长方形和正方形可以看作特殊的平行四
边形）•三角形面积等于与它等底等高的平行四
边形面积的一半.
证明：连接AG•（我们通过△ABG把这两个长方形和正方形联系在一起
一1
•••在正方形ABCD中，SAABGABAB边上的高，
2
•••SAABG=丄SABCD（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半
2
1
冋理，SAABGSEFGB•
2
•正方形ABCD与长方形EFGB面积相等.长方形的宽=88亠10=6.4（厘米）•
【例25】如图，正方形ABCD的边长为6,AE=1.5,CF=2.长方形EFGH的面积为
【巩固】
【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等
F
C
F
C
16/
32..
【解析】连接DE,DF,则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍.
三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，
DEF=66-1.56亠2_26亠2_4.54亠2=16.5,所以长方形EFGH面积为33.
【例26】如图，ABCD为平行四边形，EF平行AC,如果ADE的面积为4平方厘米.求三角形
面积.
【解析】连结AF、CE.
CDF的
=S_ACE；S
CDF=SACF；
又.AC与EF平仃，…ACE=S_ACF.
--〈ADE=S_CDF-4（平方厘米）.
【巩固】如右图，在平行四边形ABCD中，直线CF交AB于E，交DA延长线于F，若S^
ADE=1，求△BEF
的面积.
【解析】本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相
等相等）和等量代换的思想•连接AC.
（或夹在一组平行线之间的三角形面积
•「AB//CD,--S4ADE=S^ACE
冋理AD〃BCACF=S4ABF
ABF
S
^ACE-S^BEF，即S
4BEF=S4ADE-1•
【例27】
图中两个正方形的边长分别是
6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米.
【解析】44-：一2=8.
【例28】如图，有三个正方形的顶点
厘米，求阴影部分的面积.
D、G、K恰好在同一条直线上，其中正方形GFEB的边长为10
nQnQ
17/
32..
【解析】对于这种几个正方形并排放在一起的图形，一般可以连接正方形同方向的对角线，连得的这些对角线互相都是
平行的，从而可以利用面积比例模型进行面积的转化.
如右图所示，连接FK、GE、BD，则BD//GE//FK，根据几何五大模型中的面积比例模型，可得
=，二，所以阴影部分的面积就等于正方形GFEB的面积，即为10^100平
方厘米.
【解析】这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，实际上本题的结果与大正方形的边长没关系.连接
AD（见右上图），可以看出，三角形ABD与三角形ACD的底都等于小正方形的边长，高都等于大正
方形的边长，所以面积相等•因为三角形AGD是三角形ABD与三角形ACD的公共部分，所以去掉
这个公共部分，根据差不变性质，剩下的两个部分，即三角形ABG与三角形GCD面积仍然相等.根据等量代
换，求三角形ABC的面积等于求三角形BCD的面积，等于44“2=8.
【巩固】（2008年西城实验考题）如图，ABCD与AEFG均为正方形，三角形ABH的面积为6平方厘米，图中阴
影部分的面积为____________.
【解析】如图，连接AF，比较AABF与ADF，由于AB=AD,FG=FE，即ABF与ADF的底与高分
别相等，所以UABF与ADF的面积相等，那么阴影部分面积与UABH的面积相等，为6平方厘米.
【巩固】
右图是由大、小两个正方形组成的，小正方形的边长是
【巩固】
正方形ABCD和正方形CEFG,且正方形
【解析】
方法一：三角形BEF的面积=BEEF"2,
D
C
D
C
F
18/
32..
梯形EFDC的面积=（EFCD）CE“2二BEEF-2=三角形BEF的面积，
而四边形CEFH是它们的公共部分，所以，三角形DHF的面积二三角形BCH的面积，
进而可得，阴影面积二三角形BDF的面积二三角形BCD的面积=1010-：-2=50（平方厘
米）•
方法二：连接CF，那么CF平行BD,
所以，阴影面积二三角形BDF的面积二三角形BCD的面积=50（平方厘米）•
【巩固】（人大附中考题）已知正方形ABCD边长为10,正方形BEFG边长为6,求阴影部分的面积.
【解析】如果注意到DF为一个正方形的对角线（或者说一个等腰直角三角形的斜边），那么容易想到DF与
CI是平行的•所以可以连接CI、CF，如上图.
由于DF与CI平行，所以DFI的面积与DFC的面积相等•而DFC的面积为104-=20，所2
以DFI的面积也为20.
【例29】（2008年”华杯赛”决赛）右图中，ABCD和CGEF是两个正方形，AG和CF相交于H，已知CH
等于CF的三分之一，三角形CHG的面积等于6平方厘米，求五边形ABGEF的面积.
【解析】连接AC、GF,由于AC与GF平行，可知四边形ACGF构成一个梯形.
由于「HCG面积为6平方厘米，且CH等于CF的三分之一，所以CH等于FH的-,根据梯形蝴蝶
2
定理或相似三角形性质，可知■FHG的面积为12平方厘米，UAHF的面积为6平方厘米，AHC的
面积为3平方厘米.
那么正方形CGEF的面积为6122=36平方厘米，所以其边长为6厘米.
又AFC的面积为6*3=9平方厘米，所以AD=92"6=3（厘米），即正方形ABCD的边长为3厘
21
米•那么，五边形ABGEF的面积为：369349.5（平方厘米）.
【例30】（第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，E、F分别是梯形ABCD的下底BC和腰CD上的
点，DF=FC，并且甲、乙、丙3个三角形面积相等•已知梯形ABCD的面积是32平方厘米•求图
中阴影部分的面积.
19/
32..
【解析】因为乙、丙两个三角形面积相等，底DF=FC.所以A到CD的距离与E到CD的距离相等，即AE
1
与CD平行，四边形ADCE是平行四边形，阴影部分的面积二平行四边形ADCE的面积的丄，所以
2
阴影部分的面积二乙的面积2•设甲、乙、丙的面积分别为1份，则阴影面积为2份，梯形的面积为5份，
从而阴影部分的面积=32“52=12.8（平方厘米）.
【例31】如图，已知长方形ADEF的面积16，三角形ADB的面积是3，三角形ACF的面积是4，那么
三角形ABC的面积是多少？
【解析】方法一：连接对角线AE.
•「ADEF是长方形
•••=SADEF—S虫DB—S必CF—S西BE
3=5，又由S^
ACF=4，恰好是
=16—8—
△AEF面积的一半，所以C是EF的中点，
因此SABC^S^B=C5-2=2.爲所以
S^ABC=16-3-4-2.5=6.5
1
■'SADE=SAEF=2SADEF
SADB3
S
ADE
8
DE-DB
—DE
151-
16=_
282
.DB
DE
.BE
DE
--SBEC
，EF_SAEF
5CEFE—CF
8，EF一EF
5
13
2.
方法二：连接BF，由图知S^ABF=16"2=8，所以2BEF
【例32】
如图，在平行四边形ABCD中,
BE=EC,CF=2FD•求阴影面积与空白面积的比.
【解析】方法一：因为BE二EC,CF=2FD
，所以S
AABE■
S
四边形ABCD，S
AADF'窃边形ABCD•
46
因为AD=2BE，所以AG=2GE,
所以SABGESAABE■乐边形ABCD，
312
21
SAABG'■ABCD.
36
C
20/
32..
111112
=（）S四边形ABCDSg边形ABCD，
21224683
1
所以阴影部分的面积是-S四边形ABCD-
3
12
-:-=1:2，所以阴影面积与空白面积的比是1:2.
33
【例33】（第七届”小机灵杯”数学竞赛五年级复赛）如图所示，三角形ABC中，D是AB边的中点，E
是AC边上的一点，且AE=3EC,O为DC与BE的交点.若也CEO的面积为a平方厘米，ABDO的面积为
b平方厘米•且b-a是2.5平方厘米，那么三角形ABC的面积是______________________平方厘米.
米）•所以=2.54=10（平方厘米）.
【例34】如图，在梯形ABCD中，AD:BE=4:3,BE:EC=2:3，且BOE的面积比.SOD的面积小10
平方厘米•梯形ABCD的面积是__________平方厘米.
【解析】根据题意可知AD:BE:EC=8:6:9，则S^BD=8,S
AB^-S-ABD,
S丛BE6弊4泾
1
而SABD-SABE-SAOD-SBOE=10平方厘米，所以—SABD=10，贝USABD-40平方厘米.
4
又S
B
CD
=
96=他，所以=些40=75平方厘米.
S心BD888
所以S
梯形ABCD=S-ABD-SBCD=4075=115（平方厘米）.
（第五届《小数报》数学竞赛初赛）如图，BD是梯形ABCD的一条对角线，线段AE与DC平行，AE与
BD相交于O点.已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC二？BC.求
5
梯形ABCD的面积.
ABE的面积比三角形ABD大4平方米，而三角形ABD与三
同理可得,
1
SAADHS四边形ABCD，SA
DHF
S四边形ABCD
-
因为SABCD
1
IS
四边形
ABCD，所以空白部分的面积
【解析】
2S
A
BC
【巩固】
【解析】连接AC.根据差不变原理可知三角形
=SBCD=b■SBCO,
=aSBCO所以
二b-a=2.5（平方厘
21/
32..
角形ACD面积相等，因此也与三角形ACE面积相等，从而三角形ABE的面积比三角形ACE的大4平方
米.
222
但ECBC，所以三角形ACE的面积是三角形ABE的，从而三角形ABE的面积是
55—23
4…！1]=：12（平方米），梯形ABCD的面积为：12汇‘1+?汉21=28（平方米）.
I3
丿I3
丿
【例35】如右图所示，在长方形内画出一些直线，已知边上有三块面积分别是
阴影部分的面积是多少？
【解析】如下图，为了方便说明，将某些点标上字母.
有ZABC为直角，而ZCEDZABC，所以ZCED也为直角•而CE=CB=与LCED同高，
所以面积比为底的比，及姿竺=圧=空=§，设LADE的面积为“8；则LCED的面积为“5:LCD
QICEDEC55
是由LCDB折叠而成，所以有LCED、LCDB面积相等，LABC是由LADE、LCED、LCDB组成，所
以SJABC=8”+5”+5”=18”对应为丄X5X12=30，所以“1”份对应为-，那么△ADE的面积为
23
511
85=13丄平方厘米•即阴影部分的面积为13丄平方厘米.
333
【例37】如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE,F是DG的中点.阴影部分的面积是
多少平方厘米？
13,35,49•那么图中
【解析】三角形ABC的面积•三角形CDE的面积・（13•35•49）=长方形面积
1
形ABC的面积二三角形CDE的面积=-长方形面积，所以可得：
2
阴影部分面积^1335•49=97.
-阴影部分面积；又因为三角
【例36】
图中是一个各条边分别为
5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形.
将它的短直角边对折到斜边
上去与斜边相重合，那么图中的阴影部分
（即未被盖住的部分）的面积是多少平方厘米?
22/
32..
【解析】方法一：连接BD.
设ACED的面积为1,△BED的面积x,则根据题上说给出的条件，由DF=DC得SABD^SABDF,
即△BDF的面积为x&ADC=SAADF；
又有AD=2DE,SAADC二SAADF=2SACDE=2、SAABD=2SABDE=2x，而SAABD二x12=2x;
得x=3，所以SAACF:SACFB=(22):(134)=1:2.
fx亠1二y
方法二：连接BD，设SACED=1(份),则SAACD二S
AADF=2,设SA
BED=xSABFD=y
、2x=y+2
x=3
解得，所以SAACF：SACFB=(22):(431^1:2
y=4
方法三：过F点作FG//BC交AE于G点，由相似得CD:DF二ED:DG=1:1,又因为AD=2DE，所以
AG:GE=AF:FB=1:2，所以两块田地ACF和CFB的面积比=AF:FB=1:2
【例39】（2008年第一届”学而思杯”综合素质测评六年级2试）如图，BC=45,AC=21,"BC被分
成9个面积相等的小三角形，那么DI+FK=__________.
【解析】如下图，连接FC,LDBF、LBFG的面积相等，设为x平方厘米1
y平方厘米，那么LDEF的面积为-y平方厘米.
3
；LFGC、LDFC的面积相等，设为
G111
S[_IBC=2x+2y,=1SIBDE=x+—■y=l乂—=一.所以有？
333
①•比较②、①式，②式左边比①
式左边多2x,②式右边比①式右边大
255
y--y=-0.25—平方厘米.
3312
xy=0.5
3xy=1
0.5，有2x=0.5，即x=0.25,y=0.25•而阴影部分面积为
【例38】（2007年六年级希望杯二试试题）如图，三角形田地中有两条小路AE和CF,交叉处为D，张大
伯常走这两条小路，他知道DF=DC,且AD=2DE.则两块地ACF和CFB的面积比是_________________.
B
23/
32..
2
【解析】由题意可知，BD：BC二：=2:9,所以BDBC=10,CD=BC_BD=35;又
9
2
DI:DC朋F：也$円2:5所以DI=^DC=14,同样分析可得FK=10,所以
DIFK=1410=24.
【解析】连接CE、DE.
由于DQ、CP、ME彼此平行，所以四边形CDQP是梯形，且角
形QME与DEM、三角形PME与CEM的面积分别相等，的面
积相等•而三角形CDE的面积根据已知条件很容易求出来.
由于ABCD为直角梯形，且AD=5,BC=7,AE=5,EB=3，所以三角形CDE的面积的面积为:
111
57]■（53553725.所以三角形PQM的面积为25.
【例41】（2007年人大附中分班考试题）已知ABC为等边三角形，面积为400,D、E、F分别为三边
的中点，已知甲、乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.（丙是三角形HBC）
【巩固】
（2009年清华附中入学测试题）如图，在角
并且OAB、ABC、BCD、CDE、
MON的两边上分别有A、C、E及B、D
.DEF的面积都等于1，则DCF的面积等于
F六个点,
【解析】根据题意可知,
1113
DFOD,
4
SDCF:
-"4SpCD
3
二
-4
【例40】E、
AE=5,
M分别为直角梯形ABCD两边上的点，且
EB=3•求阴影部分的面积.
ME彼此平行，若AD=5，BC=7，
ME与该梯形的两个底平行，那么三
所以三角形PQM的面积与三角形CDE
B
D
A
K
C
M
A
OD:DF=SOED:SDEF=4:1，所以
DQ、CP、
24/
32..
【解析】因为D、E、F分别为三边的中点，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位线，也就与对应的
【例42】（2009年四中入学测试题）如图，已知CD=5,DE=7,EF=15,FG=6，线段AB将图形分
成两部分，左边部分面积是38，右边部分面积是65,那么三角形ADG的面积是________________.
【解析】连接AF,BD.
根据题意可知，CF=5,7J5=27;DG=7・15,6=28;
所以，
SBEFSCBF,SBECSCBF,SAEGSADG,SAEDSADG,
27272828
于是：
S丛DG+S恵BF=65;S虫DG+S恵BF=38;
28272827
可得SADG=40.故三角形ADG的面积是40.
【巩固】（第四届希望杯）如图，点D、E、F在线段CG上，已知CD=2厘米，DE=8厘米，EF=20厘米,
根据图形的容斥关系，有
=SAMHN.
S
ABC—為二S
ABN'S，AMC—S
AMHN，即400—為二200'200_'S
AMHN，所以
边平行，根据面积比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面积都等于三角形ABC的一半，即为200.
又S
阴影'SADF=S甲•&-SAMHN，所以S
阴影=6'5乙'-SADF—143-
43
.
1
400
4
FG=4厘米，AB将整个图形分成上下两部分，方
厘米，则三角形ADG的面积是多少平方厘米?
下边部分面积是67平方厘米，上边部分面积是166平
25/
32..
【解析】连接AF设△AFG的面积是x,由于FE：FG：ED20：4*51所以△AFE的面积是5x、
△AED的面积是2x由于上半部分的面积是166平方厘米所以△FEB的面积是
（166-5x-x=166-6x）平方厘米，因为下半部分的面积是67平方厘米所以AEBC的面积是
26/
32..
(67_2x)平方厘米，因为FE是EC的2倍所以可以列方程为：166_6x=2(67_2x)解得x=16,
△ADG的面积为x5xJxdxd16=128平方厘米.
【例43】(2008年仁华考题)如图，正方形的边长为10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影部分的面积
是.
【解析】如图所示，设AD上的两个点分别为M、N.连接CN.
根据面积比例模型，.CMF与CNF的面积是相等的，那么.CMF与.：BNF的面积之和，等于CNF与
ABNF的面积之和，即等于厶BCN的面积.而ABCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为
21
1050.
2
又JCMF与BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形EFGH的面积，所以阴影
部分的面积为：50-52=40.
【巩固】如图，正方形的边长为12,阴影部分的面积为60，那么四边形EFGH的面积是______________.
【解析】如图所示，设AD上的两个点分别为M、N.连接CN.
根据面积比例模型，.CMF与CNF的面积是相等的，那么.CMF与.
：
BNF的面积之和，等于CNF与「BNF
的面积之和，即等于厶BCN的面积.而「BCN的面积为正方形ABCD面积的一半，为
21
1272.
2
又「CMF与BNF的面积之和与阴影部分的面积相比较，多了2个四边形EFGH的面积，所以四边
形EFGH的面积为：72-60亠2=6.
【例44】(2008年走美六年级初赛)如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，AB=8，
AD=15，四边形EFGO的面积为—
【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和，以及三角形
27/
32..
AOE和DOG的面积之和，进而求出四边形EFGO的面积.
1
由于长方形ABCD的面积为158=120，所以三角形BOC的面积为12030,所以三角形AOE和
4
3
DOG的面积之和为12070=20;
4
/11
又三角形AOE、DOG和四边形EFGO的面积之和为12030,所以四边形EFGO的面积
I24丿
为30-20=10•
另解：从整体上来看，四边形EFGO的面积二三角形AFC面积•三角形BFD面积—白色部分的面积，而三角
形AFC面积•三角形BFD面积为长方形面积的一半，即60,白色部分的面积等于长方形面
积减去阴影部分的面积，即120-70=50，所以四边形的面积为60-50=10•
【巩固】（2008年”华杯赛”初赛）如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米.三角形ADM与三角形BCN
的面积之和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是___________平方厘米.
【解析】因为三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即12平方厘米，又三角形
ADM与三角形BCN的面积之和为7.8平方厘米，则三角形AMO与三角形BNO的面积之和是4.2平方厘米，
则四边形PMON的面积二三角形ABP面积-三角形AMO与三角形BNO的面积之和-三角形ABO面积=12-
4.2-6=：1.8（平方厘米）•
【巩固】如图所示，矩形ABCD的面积为36平方厘米，四边形PMON的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是平
方厘米.
【解析】因为三角形ABP面积为矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，三角形ABO面积为矩形ABCD
1
的面积的-，即9平方厘米，又四边形PMON的面积为3平方厘米，所以三角形AMO与三角形BNO4
的面积之和是18-9-3=6平方厘米.
又三角形ADO与三角形BCO的面积之和是矩形ABCD的面积的一半，即18平方厘米，所以阴影部
分面积为18-6=12（平方厘米）.
【巩固】（2008年清华附中考题）如图，长方形ABCD的面积是36,E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分
的面积为_______________.
28/
32..
【解析】如图，过M、N、P、Q分别作长方形ABCD的各边的平行线.易知交成中间的阴影正方形的边长
为3厘米，面积等于9平方厘米.设AMQD、厶NAM、厶PBN、AQCP的面积之和为S,四边形MNPQJxS
=56
则
x—S=9
【例46】（2008年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛）如图，阴影部分四边形的外接图形是边长为
10cm的正方形，则阴影部分四边形的面积是___________cm2.
【解析】如图，连接0E•
根据蝴蝶定理,
1、
ON:ND=SCOE:SCDE=—SCAE:SCDE=1：1，所以SpEN
=2S
OED；
1、1
OM:MA=SBOE:SBAE=—S-BDE:SBAE=1：4，所以SQEM=£SOEA•
11
又SOEDS目形ABCD
=3,
SOEA=2SQED=6，所以阴影部分面积为:
11
362.7
•
25
【例45】（清华附中分班考试题
积是多少平方厘米？
）如图，如果长方形ABCD的面积是56平方厘米，那么四边形MNPQ的面
，解得x=32.5（平方厘米）•
的面积等于x,
【解析】如图所示，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形MNPQ，易
知长方形MNPQ的面积为41=4平方厘米.
从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH、BFME四个长
方形的面积之和，等于正方形ABCD的面积加上长方形MNPQ的面积，为方厘米，所
以四个空白三角形的面积之和为104」2=52平方厘米，那么阴影四边形
、CGQF、DHPG
10104=104平
EFGH的面积为
100—52=48平方厘米.
【巩固】如图，阴影部分四边形的外接图形是边长
为厘米？
12厘米的正方形，则阴影部分四边形的面积是多少平方
29/
32..
知长方形MNPQ的面积为42=8平方厘米.
从图中可以看出，原图中四个空白三角形的面积之和的2倍，等于AENH、BFME、CGQF、DHPG四个长方
形的面积之和，等于正方形ABCD的面积加上长方形MNPQ的面积，为1212*8=152平方厘米，所以四个
空白三角形的面积之和为152亠2=76平方厘米，那么阴影四边形EFGH的面积为144-76=68平方厘米.
【解析】如图，作BM_AE于M,CN_BM于N.
则四边形ABCD分为4个直角三角形和中间的一个长方形，其中的4个直角三角形分别与四边形
ABCD周围的4个三角形相等，所以它们的面积和相等,
【解析】如图，过F作FH//AB，过E作EG//AD,FH、EG交于M，连接AM.贝VS目形ABCD=S矩形AGMH'S目形
GBFM'S目形MFCE'S目形HMED
=
2S
EMF
2S
AME
=DEBF-2SAEF
=113217=67
另解：设三角形ADE、CEF、ABF的面积之和为s，则正方形ABCD的面积为s17.
从图中可以看出，三角形ADE、CEF、ABF的面积之和的2倍，等于正方形ABCD的面积与长方
【解析】如图所示，分别过阴影四边形EFGH的四个顶点作正方形各边的平行线，相交得长方形
MNPQ，易
【巩固】已知正方形的边长为
10,EC=3,
S四边形ABCD
1010—32
32=53.
【例47】
如图，三角形AEF的面积是17,
DE、BF的长度分别为11、3.求长方形ABCD的面积.
而中间的小长方形的面积为32=6，所以
B
F
BF=2，则S
四边形ABCD=
B
F
30/
32..
形AGMH的面积之和，即2s=s・17113，得s=50，所以正方形ABCD的面积为50•17=67.
【例48】（2008年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛）如图，长方形ABCD中，AB=67,
BC=30.E、F分别是AB、BC边上的两点，BEBF=49.那么，三角形DEF面积的最小值是.
【解析】由于长方形ABCD的面积是一定的，要使三角形DEF面积最小，就必须使ADE、厶BEF、厶CDF
的面积之和最大.
由于ADE、厶BEF、CDF都是直角三角形，可以分别过E、F作AD、CD的平行线，可构成三
个矩形ADME、CDNF和BEOF，如图所示.
容易知道这三个矩形的面积之和等于UDE、厶BEF、CDF的面积之和的2倍，而这三个矩形的面
积之和又等于长方形ABCD的面积加上长方形MDNO的面积.所以为使ADEBEF、厶CDF的面积之和最
大，只需使长方形MDNO的面积最大.
长方形MDNO的面积等于其长与宽的积，而其长DM二AE，宽DN二CF，由题知
AEC^ABBC-BEBM：-67*30-49=48，根据”两个数的和一定，差越小，积越大”，所以当AE与CF的
差为0,即AE与CF相等时它们的积最大，此时长方形MDNO的面积也最大，所以此时三角形DEF面积最
小.
当AE与CF相等时，AE二CF=48-：-2=24，此时三角形DEF的面积为：
1
6730-67302424"2=717.（也可根据673=717得到三角
形DEF的面积）
一点，BL=DM=4、BK=DN=5，那么阴影部分的面积是
AMN和「ALK.而厶AMN的面积为（12-5）4"2=14,ALK的面积为（12-4）2=20，所以
阴影部分的面积为14•20=34.
（法2）寻找可以利用的条件，连接AP、BP、CP、DP可得右上图所示:
112
则有：SPDC'SPABSABCD1272
22
同理可得：SpAD
S
PBC-72;
【例49】（2007首届全国资优生思维能力测试
）ABCD是边长为12的正方形，如图所示,P是内部任意
【解析】
P是内部任意一点，不妨设P点与A点重合（如上中图），那么阴影部分就是
（法1）特殊点法•由于
31/
32..
155
冋理：SPBL=3SPAB,SPND=12SPDA,SPBK=亦SPBC；
15
所以：(SPDM亠SPBL)亠(SPND亠SPBK)(SPDCPAB)(SPDA亠S^BC)
312
而(S点DM+S舌BL)+(S嵐ND+S選BK)=(SJPNM丈SfLK】+(S越NM+S应LK)；
阴影面积
1
SDNM=SBLK45=10;
所以阴影部分的面积是：
1_
SPNM■SPLK=§(SPDCDA+S^fBC)—(S应NM+S店LK)
15
即为：—7272-102=2430-20=34•
312
【例50】如图所示，在四边形
边形PQRS的面积之比.
注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影小三角形，没算的部分是四边形的面积
和就等于四边形PQRS的面积.
（法2）特殊值法（只用于填空题、选择题），将四边形画成正方形，很容易得到结果.
（2008年”希望杯”二试六年级）如图，E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，FG与FH交于
点O,Si、S2、S3及S4分别表示四个小四边形的面积•试比较S3与S2S4的大小.
【解
析】
CO、DO，则可判断出,如右图，连接AO、BO、
等的两部分，且每个三角形中的两部分都分属于
SiS3二S2S4.
每条边与O点所构成的三角形都被分为面积相
Sr&、S2-S4这两个不同的组合，所以可知
【例51】
如图，四边形ABCD中,DE:EF:FC=3:2:1,BG:GH:AH=3:2:1,AD:BC=1:2，已知
ABCD中,
H分别是ABCD各边的中点，求阴影部分与四
【解析】（法1）设SAED=S,SBGC=S2,SABF
11
连接BD知SU^,S=?SABD,所以Si'
S^—2S
ABD'S
BCD—2S
ABCD；
1
同理SSS•
=S3,SDHC=S4•
1_1
S=2S「ABD,S^—~S
'BCD；
是S1
S
2
S
3■&=SABCD；
PQRS;因此四块阴影
【巩固】
32/
32..
四边形ABCD的面积等于4，则四边形EFHG的面积=：
、2
所以SMBPD
=(SABD'SCBD)SABCD
3
又因为SDOM二SPOM，SMNP=SBNP，
、1所以SMNPOSMBPD；
2
_12_1
SMNPO'SABCD■SABCD.
233
【解析】
【拓展】
【解析】
运用三角形面积与底和高的关系解题.
连接AC、AE、GC、GE，因为DE:EF:FC=3:2:1,BG:GH:AH=3:2:1，所以,
在ABC中,
在.ACD中,
在AEG中,
在CEG中,
SBCG
SAED
SAEH
1S
=2S
ABC，
=2SACD，
=2S
HEG，
SEFG.
2
因为SBCG■二
11
—SABC■—SACD
22：
11
NSABC■—SABCD=2SBCG，
所以SAGCE=SABCD-SBCGSAED=4-2=2.
又因为SAGCE-SAEH'SHEG'SCFG'S.^FG
33
=GEFGH,
34
所以SEFGH=2'—=—.
23
如图，对于任意四边形
EFGH的面积是四边形
_11
SHEG■SHEGSEFG■S'EFG
ABCD，通过各边三等分点的相应连线，得到中间四边形
⑴如下左图,
EFGH，
求四边形
ABCD的几分之几?
B
分层次来考虑:
_2_2
SBMD
=SABD—，SBPD=ScBD
33
33/
32..
12
⑵如右上图，已知MJBD,OKBD;所以MJ:BD=1:2;
33
所以ME:EO=1:2，即E是三等分点；
同理，可知F、G、H都是三等分点；
所以再次应用⑴的结论，可知，SEFGH=-SMNPO二丄■-SABCD=」SABCD•
3339
【例52】（2008年日本小学算数奥林匹克大赛决赛）有正三角形ABC，在边AB、BC、CA的正中间分
别取点L、M、N，在边AL、BM、CN上分别取点P、Q、R，使LP=MQ=NR,当PM和RL、
PM和QN、QN和RL的相交点分别是X、Y、Z时，使XY=XL.
这时，三角形XYZ的面积是三角形ABC的面积的几分之几？请写出思考过程.
BB
【解析】连接LN、NM
ML，显然，△LMN是正三角形将△LMN放大至如图⑵.
同理,
所以,
SAXYZSAMNL
61
—汉―SAABC=SAABC•
7428
【例53】如图：已知在梯形ABCD中，上底是下底的-，其中F是BC边上任意一点，三角形AME、
3
角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.
连
SAMNY-S^LMX-SANLZ-2SAXYZ.
—SAMNZ
•
34/
32..
【解析】本题是09年EMC六年级试题，初看之下，ABCD是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，四
边形ADEF内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为E、F这两
个点的位置不明确.再看题目中的条件，E"：3,SBEF=24cm2，这两个条
件中的前一个可以根据差不变原理转化成.ADE与ADF的面积差，.BEF则是.BCF与BCE的
面积差，两者都涉及到E、F以及有同一条底边的两个三角形，于是想到过E、F分别作梯形底边
的平行线.
如右图，分别过E、F作梯形底边的平行线，假设这两条直线之间的距离为h.再过B作AD的垂
线.
由于S
AOF:
=1:3,所以S幽OE=3S虑OF,故S©OE-S©OF=2S也OF.根据差不变原理，这个差等于ADE
与・ADF的面积之差.而■ADE与ADF有一条公共的底边AD,两个三角形AD边上的高相差为h，所以
它们的面积差为丄ADh，故2SAO^-ADh.
2s2
再看「BEF，它的面积等于是厶BCF与BCE的面积之差，这两个三角形也有一条公共的底边BC,
11
BC边上的高也相差h，所以这两个三角形的面积之差为-BCh，故SBEFBCh.
【解析】如图，设上底为2a，下底为3a，三角形ABE与三角形ABF的高相差为h・
由于
SABF-"SABE二SBMF-'SAME二20—〔4二6，所以
又SCD^—SCDF
—SDEN-SCFN
11
3ah36=9，所以S
DEN=129=21.
22
【例54】如图，已知ABCD是梯形,
AD//BC,AD:BC=1:2,SAOF
:SDOE
=1:3,S-BEF
=24cm?，求
A
B
A
B
AOF的面积.
35/
32..
22
11
由于AD:BC=1:2，所以BC=2AD，贝USBEFBChADh2=4SAOF,
22
所以SAOF二74=6cm2.
【例55】（2009年迎春杯决赛高年级组）如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点.如
果MSM、出MTB与^DSN的面积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面
积为—
36/
32..
C
【解析】连接MN、AC、BD.
由于M是AB的中点，所以.AMN与.BMN的面积相等，而MTB比厶ASM的面积大1,所以.MSN比MTN
的面积大1;又由于N是CD的中点，所以.QMN的面积与.：CMN的面积相等，那么：CTN的面积比DSN
的面积大1,所以CTN的面积为9.
假设MTN的面积为a，^VAMSN的面积为a1•根据几何五大模型中的蝴蝶定理，可知.ASD的
面积为竺,BTC的面积为63.
a+1a
要使这两个三角形的面积为整数，a可以为1,3或7.
由于.ADM的面积为.ABD面积的一半，ABCN的面积为.BCD面积的一半，所以.ADM与.BCN的面积之和
为四边形ABCD面积的一半，所以AADM与.BCN的面积之和等于四边形BMDN的面积，即：
4863/曰4863
69=7aa18，得2a1.
a1aa1a
将a=1、3、7分别代入检验，只有a=7时等式成立，所以.MTN的面积为7,：MSN、：ASD、厶BTC
的面积分别为&6、9.
四边形ABCD的面积为67892=60.
小结：本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的.
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1
而SPDM:SPDC-DM:DC=4：12二1*：3,即SPDMSPDC；
3
N
T
N
T