幂级数收敛域

幂级数收敛域

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2023年2月27日发(作者：拔罐疗法)

366

第十一讲幂级数

§11.1幂级数

幂级数的一般概念.型如





0

0

)(

n

n

n

xxa和

0n

n

n

xa的幂级数.幂级数由系数数列

}{

n

a唯一确定.幂级数至少有一个收敛点.以下只讨论型如

0n

n

n

xa的幂级数.

幂级数是最简单的函数项级数之一.

一、知识结构

1、幂级数的收敛域

定理1（Abel定理）若幂级数n

n

xa在点0xx收敛,则对满足不等式||||xx

的任何

x

,幂级数n

n

xa收敛而且绝对收敛；若在点xx发散,则对满足不等式

||||xx的任何

x

，幂级数n

n

xa发散.

证明n

n

xa收敛,{

n

n

xa}有界.设|

n

n

xa|M,有|nn

n

n

n

n

Mr

x

x

xaxa|||||,其

中1||

x

x

r.nMr||n

n

xa.

定理1的第二部分系第一部分的逆否命题.

幂级数n

n

xa和n

n

xxa)(

0

的收敛域的结构：幂级数n

n

xa收敛域的结构是

关于点0x的对称区间，n

n

xxa)(

0

的收敛域的结构是关于点

0

xx的对称区间.

366

定义幂级数的收敛域长度的一半为收敛半径R，收敛半径R的求法.

定理2对于幂级数n

n

xa,若

n

limn

n

a||,则

（ⅰ）0时,R



1

;（ⅱ）

0时R;（ⅲ）

时0R.

证明

n

lim

n

n

n

xa||

n

lim||||||xxan

n

,(强调开方次数与

x

的次数是一致的).

……

由于

n

lim

||

||

1

n

n

a

a

n

limn

n

a||,因此亦可用比值法求收敛半径.

幂级数n

n

xa的收敛区间:),(RR.

幂级数n

n

xa的收敛域:一般来说,收敛区间收敛域.幂级数n

n

xa的收敛域

是区间),(RR、],(RR、),[RR或],[RR之一.

2、幂级数的一致收敛性

定理3若幂级数n

n

xa的收敛半径为R，则该幂级数在区间),(RR内闭一致收

敛.

证明],[ba),(RR,设

}||,||max{bax

,则对x],[ba,有

||||n

n

n

n

xaxa,级数n

n

xa绝对收敛,由优级数判别法幂级数n

n

xa在

],[ba上一致收敛.因此,幂级数n

n

xa在区间),(RR内闭一致收敛.

定理4设幂级数n

n

xa的收敛半径为R)0(,且在点Rx(或Rx)收敛,

则幂级数n

n

xa在区间],0[R(或]0,[R)上一致收敛.

证明

n

n

n

n

nR

x

Raxa













.n

n

Ra收敛,函数列































n

R

x

在区间],0[R上递减且一

致有界,由Abel判别法,幂级数n

n

xa在区间],0[R上一致收敛.

366

易见,当幂级数n

n

xa的收敛域为],[RR(R)0时,该幂级数即在区间

],[RR上一致收敛.

3、幂级数的性质

（1）逐项求导和积分后的级数

设







1

)(

n

n

n

xa





1

1

n

n

n

xna①，







1

0

n

x

n

n

dtta







1

1

1

n

n

nx

n

a

②，

①和②仍为幂级数.我们有

定理5幂级数





1

1

n

n

n

xna和







1

1

1

n

n

nx

n

a

与n

n

xa有相同的收敛半径

注:①和②与n

n

xa虽有相同的收敛半径(因而有相同的收敛区间)，但未必有相同的

收敛域,例如级数

1n

n

n

x

.

（2）幂级数的运算性质:

定义1两个幂级数

0n

n

n

xa和

0n

n

n

xb在点0x的某邻域内相等是指：它们在该邻

域内收敛且有相同的和函数.

定理6

0n

n

n

xa

0n

n

n

xb)1(,nba

nn

.

定理7设幂级数

0n

n

n

xa和

0n

n

n

xb的收敛半径分别为

a

R和

b

R,},min{

ba

RRR,

则

（ⅰ）n

n

n

n

xaxa,,||

a

Rx—常数，0.

（ⅱ）

0n

n

n

xa+

0n

n

n

xbn

nn

n

xba)(

0





,Rx||.

（ⅲ）(

0n

n

n

xa)(

0n

n

n

xb)n

n

n

xc

0

,







n

k

knkn

bac

0

,Rx||.

366

（3）幂级数的和函数的性质

定理8设在),(RR(R)0内

0n

n

n

xa

)(xf.则

（ⅰ）)(xf在),(RR内连续;

（ⅱ）若级数n

n

Ra或n

n

Ra)(收敛,则)(xf在点Rx(或Rx)

是左(或右)连续的;

（ⅲ）对x),(RR,)(xf在点

x

可微且有)(xf









1

1

n

n

n

xna;

（ⅳ）对x),(RR,)(xf在区间],0[x上可积,且xdttf

0

)(







0

1

1

n

n

nx

n

a

.

注当级数







0

1

1

n

n

nR

n

a

收敛时,无论级数

0n

n

n

xa在点Rx收敛与否,均有

Rdttf

0

)(







0

1

1

n

n

nR

n

a

.这是因为:由级数







0

1

1

n

n

nR

n

a

收敛,得函数

xdttf

0

)(







0

1

1

n

n

nx

n

a

在点Rx左连续,因此有Rdttf

0

)(







0

1

1

n

n

nR

n

a

.

推论1和函数)(xf在区间),(RR内任意次可导,且有

)(xf



1

21

2n

n

xnaxaa,……，



xananxf

nn

n

1

)()!1(!)(.

注由推论1可见,)(xf是幂级数的和函数的必要条件是)(xf任意次可导.

推论2若

0n

n

n

xa

)(xf,则有

,

!

)0(

,,

!2

)0(

,

1

)0(

),0(

)(

210n

f

a

f

a

f

afa

n

n











二、解证题方法

366

例1求幂级数2n

xn

的收敛域.(]1,1[)

例2求幂级数

n

xx

x

n

2

2

的收敛域.()1,1[)

例3求下列幂级数的收敛域:⑴

0

!

n

n

n

x

(,);⑵

0

!

n

nxn(0:xx).

例4求级数





0

2

)1(

n

n

n

n

x

的收敛域()3,1[).

例5验证函数





0

!

2

)(

n

nn

n

x

xf满足微分方程R







xyyy,02.验证给幂级

数的收敛域为),(.

解因为



)(xf









1

1

)!1(

2

n

nn

n

x







0

1

!

2

n

nn

n

x





0

)(2

!

2

2

n

nn

xf

n

x

，所以

)(4)(2)(xfxfxf







,代入yyy2







得02







yyy.

因为0

!

2

lim

!

2

lim



n

n

n

n

nn

n

，所以





0

!

2

)(

n

nn

n

x

xf的收敛域为),(.

例6将

2)1(

1

x

,

3)1(

!2

x

,

x1

1

ln展成幂级数,并求收敛域.

解由于

x1

1

nxxx21,)1,1(x.

所以



12

2

321

)1(

1

nnxxx

x

,)1,1(x.

,)1(232

)1(

!2

2

3





nxnnx

x

)1,1(x.

















x

n

x

ndttdt

tx

0

0

0

1

1

1

1

ln

366

















0

121

121

n

nn

n

xx

x

n

x

,)1,1(x.

例3（东南大学2005年）设

















1

2

1

n

n

n

x

a在2x处条件收敛，求其收敛半径.

解因为

















1

2

1

n

n

n

x

a在2x处条件收敛，所以

















1

2

3

)1(

n

n

n

na收敛，而

















1

2

3

n

n

n

a发散.进而当4x时级数

















1

2

1

n

n

n

x

a发散,故其收敛半径为3

2

24





.

例4(北京化工大学2003年)若n

n

na,,2,1n,证明:

1n

n

n

xa的收敛半径

1R.

解由于n

n

na,则1limlimlim

1





n

n

n

n

n

n

n

n

nna,所以的收敛半径1R

例5(北京师范大学2003年)求幂级数











1

1

1ln

n

n

n

x

n

n



(0)的收敛域.

解由于





1

1ln

lim

1ln

lim

1

1

















n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n





,所以收敛半径1R.研究1x级

数











1

1

1ln

n

nn

n



的敛散性.当1时,由于



0

1ln

lim

1ln

lim

1

2

11

2

1







































n

n

n

n

n

n

n

n

n







,

且





1

2

1

1

nn



收敛,所以











1

1

1ln

n

nn

n



收敛.而













1

1

1ln

)1(

n

n

n

n

n



收敛,故收敛域]1,1[.当

1时,









































n

n

n

n

n

n

n

n

n

1

2

11

2

11ln

lim

1ln

lim







,所以











1

1

1ln

n

nn

n



发散,由于当

n

366

充分大时,



























nn

n

1

1ln



单调递减趋向于0,所以













1

1

1ln

)1(

n

n

n

n

n



收敛,故收敛域为

)1,1[,综上所述,当1时,收敛域为]1,1[,当1时,收敛域为)1,1[.

例6(天津工业大学2005年)求幂级数

















2

3ln

1ln

n

nx

nnn

n

的收敛域.

解由于

nnnnn

n

nnln

2

ln

1ln

ln

1

3

,又1

ln

2

lim

ln

1

lim

nnnnnn

,故收敛半径

1R.由积分判别法知,当1x时,

2

ln

1

n

nn

发散,而0

ln

1ln

3



nnn

n

,所以



















2

3ln

1ln

n

nnn

n

发散,由Leibniz判别法知当1x时,

















2

3ln

1ln

)1(

n

n

nnn

n

收敛.

故

















2

3ln

1ln

n

nx

nnn

n

的收敛域为)1,1[.

例7(复旦大学2001年)确定由幂级数





1

4

3

16

n

n

n

xn

收敛点全体构成的收敛域.

解由于1

16

lim

16

lim

4

3

4

3









n

n

n

nn

n

n

n

,所以





1

4

3

16

n

n

n

xn

收敛半径为1,显然当

1x时,





1

4

3

16

n

n

n

发散.下面研究当1x时







1

4

3

16

)1(

n

n

n

n

的敛散性.易知

0

16

lim

4

3



n

n

n

.由于







2

4

42

2

4

62

2

4

3342

4

3

16

46

16

46

16

4163

16

)(











































x

xx

x

xx

x

xxxx

x

x

xf,所以当

446x

时,)(xf是单调递减,即3n时

164

3

n

n

是单调递减趋于0的数列,从而

366









1

4

3

16

)1(

n

n

n

n

收敛,故得收敛域为)1,1[.

例8(大连理工大学2006年)求n

n

xnn)1(

1





的收敛域.

解因为



nnnnnn

nnnnnn

nn

nn

a

a

nn

n

n

n















111

111

lim

1

1

limlim1



1

111

111

lim

1

1

lim

1

1

lim



















n

n

nn

nn

nn

nn

nnn

,

当1x时,nkk

n

k





)1(

1

不趋于0（

n

）,所以当1x时该级数发散.

当1x时,1

11

)1(

1

1

)1)(1(













n

n

n

n

nn

nn为交错级数,所以收敛.

故n

n

xnn)1(

1





的收敛域为)1,1[.

例9(上海理工大学2003年)求级数



















1

12

)1(

n

n

n

n

x

x

nn

的收敛域.

解令

12



x

x

t,对辅助函数





1

)1(

n

n

n

n

t

nn

计算收敛半径

1

1

lim

1

limlim

1





n

n

n

n

n

n

n

n

nnn

nn

a

r

,

当1t时,级数成为





1

)1(

n

n

n

nn

,由Abel判别法可判定其收敛;当1t时，级数成为



1

1

n

nnn

,由p-级数判别法可判定其发散，故辅助幂级数的收敛域为]1,1(，原广义幂级

366

数收敛域为1

12

1





x

x

，即













1

3

1

xxx或.

例10(华中科技大学2007年)设)(xf在]1,0[上二阶可导,且满足0)0(



f和

0

)(

lim

0



x

xf

x

,令













n

fa

n

1

,求n

n

n

xa

1

收敛域.

解因为0

)(

lim

0



x

xf

x

,所以0

)(

lim)(lim)0(

00



















x

x

xf

xff

xx

.从而

0

)(

lim

)0()(

lim)0(

00









x

xf

x

fxf

f

xx

.于是由L’Hospital法则知

)0(

2

1

2

)0()(

lim

2

)(

lim

)(

lim

1

limlim

00

2

0

22f

x

fxf

x

xf

x

xf

n

fnan

xxxn

n

n

















































,

所以

1n

n

a收敛且当

n

充分大时，有

2222

)0(

2

1

)0(

2

1

n

f

n

a

n

f

nn











成立，从而易

知1lim



n

n

n

a，所以n

n

n

xa

1

的收敛半径为1.又因为

2222

)0(

2

1

)0(

2

1

n

f

n

a

n

f

nn











,且



















1

22

)0(

2

1

n

n

f

n



收敛，所以

1n

n

a与







1

)1(

n

n

na（0

n

a）.故n

n

n

xa

1

的收敛域为1,1.

练习

[1](兰州大学2005年)求幂级数12

1

12

)1(n

n

nx

n

n





的收敛域及和函数.(答案:收敛域

)1,1(,和函数)1ln(

1

2

2

2

2

x

x

x





)

[2](兰州大学2006年)求幂级数12

1

12

)1(













n

n

n

x

n

的收敛域及和函数.(答案:收敛域]1,1[,

366

和函数xarctan)

[3](西安电子科技大学2004年)求幂级数22

1

2

12









n

n

n

x

n

的收敛域及和函数.(答案:收敛

域2,2

,和函数2

2

2

2





x

x

)

[4](电子科技大学2003年)求幂级数











1

1

1

)1(

)1(

n

n

n

nn

x

的收敛域及和函数.(答案:收敛

域]1,1[,和函数xxx)1ln()1()

[5](华南理工大学2006年)求幂级数









1

2

1

1

)1(

n

n

n

n

x

的收敛域及和函数.(答案:收敛域

]1,1[,和函数

4

2

)1ln()1(

2

12

2

xx

xx



)

[6](北京交通大学2003年)求幂级数





1

1

n

n

n

x

的收敛域及和函数.(答案:收敛域)1,1[,

和函数1

)1ln(







x

x

)

[7](哈尔滨工业大学2006年)求幂级数











1

1

1

n

n

n

x

的收敛域.(答案:收敛域)2,0[)

[8](北京交通大学2004年)求幂级数





1

1

n

n

n

x

的收敛域及和函数.(答案:收敛域)1,1[,

和函数)1ln(1x)

[9](华东师范大学2004年)求幂级数

1n

nnx的收敛域及和函数.(答案:收敛域1,1,

和函数21x

x



)

366

[10](东南大学2006年)求幂级数





1

1

n

nxn的收敛域及和函数.(答案:收敛域2,0,和

函数22

1

x

x





)

§11.2函数的幂级数展开

一、知识结构

1、函数的幂级数展开

（1）Taylor级数

设函数)(xf在点

0

x有任意阶导数，则

Taylor公式：







n

k

n

k

k

xRxx

k

xf

xf

0

0

0

)(

)()(

!

)(

)(

n

n

xx

n

xf

xx

xf

xxxfxf)(

!

)(

)(

!2

)(

))(()(

0

0

)(

2

0

0

000









)(xR

n

.

余项)(xR

n

的形式:Peano型余项:)(xR

n

nxx)(

0

,Lagrange型余项:

)(xR

n





,)(

)!1(

)(

1

0

)1(









n

n

xx

n

f

在

x

与

0

x之间，或

)(xR

n



,)(

)!1(

)(

1

0

00

)1(











n

n

xx

n

xxxf

10.

积分型余项:当函数)(xf在点

0

x的某邻域内有1n阶连续导数时,有

)(xR

n

x

x

nndttxtf

n0

))((

!

1

)1(.

Cauchy余项:在上述积分型余项的条件下,有Cauchy余项

)(xR

n

10,)()1()(

!

1

1

000

)1(nnnxxxxxf

n

.

特别地，

0

x0时，Cauchy余项为

366

)(xR

n

,))((

!

1

)1(xxf

n

nn在0与

x

之间.

Taylor级数:Taylor公式仅有有限项,是用多项式逼近函数.项数无限增多时,得









n

n

xx

n

xf

xx

xf

xxxfxf)(

!

)(

)(

!2

)(

))(()(

0

0

)(

2

0

0

000







0

0

0

)(

)(

!

)(

n

n

n

xx

n

xf

,

称此级数为函数)(xf在点

0

x的Taylor级数.只要函数)(xf在点

0

x无限次可导,就可

写出其Taylor级数.称

0

x=0时的Taylor级数为Maclaurin级数,即级数

0

)(

!

)0(

n

n

n

x

n

f

.

自然会有以下问题:对于在点

0

x无限次可导的函数)(xf,在)(xf的定义域内或在点

0

x的某邻域内,函数)(xf和其Taylor级数是否相等呢?

（2）函数与其Taylor级数的关系

实例函数)(xf

x



1

1

在点0x无限次可微.求得,

)1(

!

)(

1

)(





n

n

x

n

xf)1(x,

!)0()(nfn.其Taylor级数为nxxx21

0n

nx.该幂级数的收敛域

为)1,1(.仅在区间)1,1(内有)(xf=

0n

nx.而在其他点并不相等,因为级数发散.

那么,在Taylor级数的收敛点,是否必有)(xf和其Taylor级数相等呢?回答也是否定

的.

例如，函数



















.0,0

,0,

)(2

1

x

xe

xfx

在点0x无限次可导且有

.0)0()(nf因此Taylor

级数0，在),(内处处收敛.但除了点0x外,函数)(xf和其Taylor级数并不

相等.

366

另一方面,由本章定理8的推论2（和函数的性质）知:在点

0

x的某邻域内倘有

)(xf







0

0

)(

n

n

n

xxa,则)(xf在点

0

x无限次可导且级数





0

0

)(

n

n

n

xxa必为函数

)(xf在点

0

x的Taylor级数.

综上,我们有如下结论:

⑴对于在点

0

x无限次可导的函数)(xf,其Taylor级数可能除点

x

0

x外均发散,

即便在点

0

x的某邻域内其Taylor级数收敛,和函数也未必就是)(xf.由此可见,不同的函

数可能会有完全相同的Taylor级数.

⑵若幂级数





0

0

)(

n

n

n

xxa在点

0

x的某邻域内收敛于函数)(xf,则该幂级数就是

函数)(xf在点

0

x的Taylor级数.

于是,为把函数)(xf在点

0

x的某邻域内表示为关于)(

0

xx的幂级数，我们只能考虑

其Taylor级数.

（3）函数的Taylor展开式：

若在点

0

x的某邻域内函数)(xf的Taylor级数收敛且和恰为)(xf，则称函数)(xf在

点

0

x可展开成Taylor级数(自然要附带展开区间.称此时的Taylor级数为函数)(xf在点

0

x

的Taylor展开式或幂级数展开式.简称函数)(xf在点

0

x可展为幂级数.当

0

x=0时,称

Taylor展开式为Maclaurin展开式.通常多考虑的是Maclaurin展开式.

(4)可展条件

定理1(必要条件)函数)(xf在点

0

x可展)(xf在点

0

x有任意阶导数.

定理2(充要条件)设函数)(xf在点

0

x有任意阶导数.则)(xf在区间),(

00

rxrx

内等于其Taylor级数(即可展)的充要条件是:对

),(

0

rxx,有0)(lim



xR

n

n

.其中

366

)(xR

n

是Taylor公式中的余项.

证明把函数)(xf展开为

n

阶Taylor公式,有

)(|)()(|xRxSxf

nn

)(xf

)(lim



xS

n

n

0)(lim



xR

n

n

.

定理3(充分条件)设函数)(xf在点

0

x有任意阶导数,且导函数所成函数列)}({)(xfn

一致有界,则函数)(xf可展.

证明利用Lagrange型余项,设Mxfn|)(|)(,则有

)(,0

)!1(

||

)(

)!1(

)(

|)(|

1

0

1

0

)1(



















n

n

xx

Mxx

n

f

xR

n

n

n

n



.

例3展开函数)(xf

,3223xxx(ⅰ)按

x

幂;(ⅱ)按)1(x幂.

解;1)1(,3)0(,32)0()0(23)0(ffxxxf

,1432



xxf;8)1(,1)0(







ff

46



xf,;10)1(,4)0(







ff

6



f,;6)1(,6)0(







ff

0)()4(nff.

所以,(ⅰ)323223

!3

)0(

!2

)0(

)0()0()(xxxx

f

x

f

xffxf











.

可见,

x

的多项式

)(xP

n

的Maclaurin展开式就是其本身.

(ⅱ)32)1(

!3

)1(

)1(

!2

)1(

)1)(1()1()(















x

f

x

f

xffxf

32)1()1(5)1(81xxx.

2、初等函数的幂级数展开式

初等函数的幂级数展开式才是其本质上的解析表达式，为得到初等函数的幂级数展

开式,或直接展开,或间接展开.

直接展开:

366

（1）xe

0

,

!

n

n

n

x

),(x.(验证对xR，xnexf)()(在区间

],0[x(或]0,[x)上有界,得一致有界.因此可展).

xa





0

ln,

!

ln

n

nn

ax

n

ax

a

),(x.

（2）xsin









0

12

)!12(

)1(

n

n

n

n

x

,),(x.

xcos





0

2

)!2(

)1(

n

n

n

n

x

,),(x.

可展是因为













a

n

xxfn



sin)()(在),(内一致有界.

（3）二项式mx)1(的展开式:

m

为正整数时,mx)1(为多项式,展开式为其自身;

m

为不是正整数时,可在区间)1,1(内展开为

mx)1(











nx

n

nmmmm

x

mm

mx

!

)1()2)(1(

!2

)1(

12

对余项的讨论可利用Cauchy余项.

进一步地讨论可知(参阅Г.М.菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第二分册.):

当1m时,收敛域为)1,1(;

当01m时,收敛域为]1,1(;

当0m时,收敛域为]1,1[.

利用二项式mx)1(的展开式,可得到很多函数的展开式.例如，取1m,得







nnxxx

x

)1(1

1

2，)1,1(x.

366

取

2

1

m时,得















32

642

531

42

31

2

1

1

1

1

xxx

x

,]1,1(x.

间接展开:利用已知展开式,进行变量代换、四则运算以及微积运算,可得到一些函

数的展开式.利用微积运算时,要求一致收敛.幂级数在其收敛区间内闭一致收敛,总可保

证这些运算畅通无阻.

（4）

n

xxx

xx

n

n1

32

)1(

32

)1ln(





1

1)1(

n

n

n

n

x

.]1,1(x.

事实上,利用上述

x1

1

的展开式,两端积分,就有













x

n

x

nndtt

t

dt

x

0

0

0

)1(

1

)1ln(









0

0

)1(

n

x

nndtt









0

1

1

)1(

n

n

n

n

x





1

1)1(

n

n

n

n

x

,)1,1(x.

验证知展开式在点1x收敛,因此,在区间]1,1(上该展开式成立.

（5）

753

arctan

753xxx

xx









0

12

,

12

)1(

n

n

n

n

x

]1,1[x.

由

21

1

x







0

2,)1(

n

nnxx

)1,1(.两端积分,有

































xx

n

x

nn

n

nndttdtt

t

dt

x

00

0

0

2

0

2

2

)1()1(

1

arctan











0

12

,

12

)1(

n

n

n

n

x

验证知上述展开式在点1x收敛,因此该展开式在区间]1,1[上成立.

二、解证题方法

例1展开函数

143

1

)(

2



xx

xf.

解

















































0

1

00

1)13(

2

1

3

2

1

1

1

31

3

2

1

)(

n

nn

nn

nnnxxx

xx

xf，

366

3

1

||x

例2展开函数xexxf)1()(.

解xxxeexf)(





0

!

n

n

n

x







0

1

!

n

n

n

x











01

)!1(!

nn

nn

n

x

n

x



1

1

!

n

n

n

x































11

)!1(

1

!

1

1

)!1(

nn

n

n

x

nnn

x











1

!

1

1

n

nx

n

n







0

||,

!

1

n

nxx

n

n

.

例3(南京航空航天大学2004年)下列函数中不能在0x处展开成幂级数是:

(1)

















,0,0

,0,

)(2

1

x

xe

xfx

(2)xarctan,(3)mx1,(4)dttx0

2cos.

解幂级数其实是Taylor展开式的推广，所以要求函数在0x处

n

阶可导，1n阶

导数存在，显然（1）在0x处处不可导，所以不能展成幂级数.

例4(中国地质大学2005年)将函数

x

x

xf





2

)(展开成

x

的幂级数，并求其收敛域.

解由初等函数的幂级数展开知



n

n

x

n

n

x











0

!!2

!!12

1

1

,)1,1[x,所以







1

00

!!222

!!12

2!!2

!!12

221

1

22

)(



































n

n

n

n

n

x

n

nx

n

nx

x

x

x

x

xf,

其收敛域为)2,2[.

例5(北京交通大学2004年)将函数dt

t

t

xfx

0

sin

)(在0x处展开成幂级数.

解













1

12

1

!12

)1(sin

n

n

n

n

t

t

,从而













1

22

1

!12

)1(

sin

n

n

n

n

t

t

t

,于是

366



















































1

12

1

1

0

22

1

0

1

22

1

0

12!12

)1(

!12

)1(

!12

)1(

sin

)(

n

n

n

n

x

n

n

x

n

n

n

x

nn

x

dt

n

t

dt

n

t

dt

t

t

xf

.

例6(华东师范大学2006年)求



xdt

t

t

xf

0

cos1

)(的Maclaurin级数展开式.

解因为!2

)1(cos

2

0

n

t

t

n

n

n



,所以!2

)1(

cos112

1

1

n

t

t

tn

n

n











,从而

















x

n

n

n

xdt

n

t

dt

t

t

xf

0

12

1

1

0!2

)1(

cos1

)(

!22

)1(

!2

)1(

2

1

1

1

0

12

1

nn

t

dt

n

tn

n

n

n

x

n

n













.

例7(武汉理工大学2004年)将函数x

txdtexf

0

22)(展开成

x

幂级数.

解















x

n

n

n

n

n

x

tx

x

txdtx

n

x

n

dteedtexf

0

0

2

0

2

00!

)1(

!

1

)(2222



















0

12

0

2

!12

)1(

!

1

n

n

n

n

nx

nn

x

n

.

例8(上海理工大学2005年)将

)1)(1(

)(

2xx

x

xf



展开为Maclaurin级数.

解因为2

2

2212

1

12

1

)1()1()1)(1(

)(

x

x

xx

x

xx

x

xf















,且









0

1

1

n

nx

x

,所以





























































01

1

11

2

1

1

1

1

1

n

n

n

n

n

n

n

nxnnxxx

x

x

,









0

2

21

1

n

nx

x

,进而

2

2

2212

1

12

1

)1()1()1)(1(

)(

x

x

xx

x

xx

x

xf

















366

































00

2

0

4

)1(1

22

1

1

2

1

n

n

n

n

n

n

nx

n

xxn.

例9(中南大学2004年)求22ln)(xxf在0x处的幂级数展开式及收敛半径.

解因为





1

11)1ln(

n

n

n

n

x

x,]1,1(x,有



















































































22

2

2

1ln2ln

2

12ln2ln)(

xx

xxf











































1

2

1

1

2

1

2

12ln

2

12ln

n

n

n

n

n

n

n

n

x

n

x

.

例10(浙江大学2005年)(1)将xarctan展开成幂级数;

(2)利用(1)证明:

12

4

)1(

5

4

3

4

4





n

n;

(3)利用(2)的结果近似求



的值,误差会不超过m10,

m

为正整数.

解(1)因为











0

2

2

)1(

1

1

arctan

n

nnx

x

x,所以

























0

12

0

0

2

0

0

2

12

)1(

)1()1(arctan

n

n

n

n

x

nn

x

n

nnt

n

dttdttx,1,1x.

收敛半径1R.

(2)令1x,则









0

12

)1(

1arctan

4

n

n

n



,即









0

12

)1(

41arctan

n

n

n

.

(3)设交错级数









0

12

)1(

4

n

n

n

的余项为

n

r,当m

nn

r



10

12

4

时,有

2

1104



m

n,

故至少计算1

2

1104















m

项.

练习

366

[1](北京师范大学2004年)求xxxfarccos)(的Maclaurin级数,并计算)0()(nf.(提示:



n

n

x

n

n

x











1

!!2

!!12

1

1

1

)

[2](北京化工大学2005年)设xtdttxf

0

cos)(,求)(xf幂级数展开式,并求

)0()2005(f.

[3](南京大学2001年)求

21

2

arctan)(

x

x

xf



在0x处的幂级数展开式,并计算











0

12

)1(

n

n

n

S的值.(提示:x

x

x

arctan2

1

2

arctan

2





)

[4](复旦大学2002年)将



















x

e

dx

dx1

展成

x

的幂级数,并由此求数项级数





1

)!1(

n

n

n

的

和.

[5](山东科技大学2006年)将)3ln(x展成

x

的幂级数,给出收敛域并由此计算





1

)1(

n

n

n

的值.