全错位排列公式
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2023年2月26日发(作者：莱特兄弟发明飞机)(1)
1
(1)
mngCn_Cn
mm4
n+Cn
Cm
n1
注:规定
Cn
7•组合恒等式
m-4
cm
n-m
排列组合公式
1分类计数原理（加法原理）
N=m+m2+|||+mn
2•分步计数原理（乘法原理）
N=m^xmb^|xmn
3.排列数公式
n!
An=
n（n-1）…（n-m=（n-m）!（n,m€N*，且m兰n）注:规定
0!".
4•排列恒等式
⑴川珂n-m1）Am
」；
Am
⑷nA1*—；
1!22!33!川nn!=(n1)M
5•组合数公式
Ann(n-1)""(n-m+1)
n!
cnAm=1疋2疋…汇m=m!(n_m)!(n€
N*,m^N，且m兰n)
6•组合数的两个性质
Am亠A：」
n-m
2
⑷r-
n1
⑹C：+cn+C；+…=2n
.
⑺cn+C；十C；+…=C；+C；+C：+…2：
123nn_1
（8）Cn+2Cn+3Cn+…十nCn=n2
r0r-110rrr
（9）CmCnCmCnCmCn=Cm韦
（
10）（C0）2+（C1）2+（C2）2k・+（C；）2=C；n.
&排列数与组合数的关系
A>mCn
m.
9.单条件排列以下各条的大前提是从n个元素中取m个元素的排列•
（1）在位”与不在位”
_Am
」
①某（特）兀必在某位有A1」种；
A
m
m4
1
Am_l
②某（特）元不在某位有A1A14（补集思想）一AnjA1J（着眼位置）
二阳」儿丿人叮（着眼元素）种
（2）紧贴与插
空
（即相邻与不相邻）
①定位紧
贴：
k
（k-
m_n
）个元在固定位的排列有AKA*种.
②浮动紧
贴：n个元素的全排列把k个元排在一起的排法有心人种.
主：此类问题常用捆绑法;
③插空：两组元素分别有k、h个（k兰h+1）,把它们合在一起来作全排列，k个的
一组互不能挨近的所有排列数有
AhAh1
种•
（3）两组元素各相同的插空
m个大球n个小球排成一列，小球必分开，问有多少种排法?
cm
m
丄
3
An
m1n
—二Cm
1
n^m1
时，有An种排法•
10.分配问题
（1）（平均分组有归属问题）将相异的
m
、
n
个物件等分给
m
个人，各得
n
件，其分配方
法数共有
（2）（平均分组无归属问题）将相异的
m•n
个物体等分为无记号或无顺序的
m
堆，其
分配方法数共有
（3）（非平均分组有归属问题）将相异的
P（P=ni+门2+川+nm）个物体分给m个人，物件必
须被分完，分别得到厲,°2
，…，
n
m件，且n
2，…，Hm这m个数彼此不相
（4）（非完全平均分组有归属问题）将相异的
P（P=ni+口2
+川+
nm）个物体分给m个人，物
件必须被分完，分别得到
n1,n
2，…，诵件，且g,n
2，…，n
m这m个数中分别
p!m!
n1!n2!...nm!(a!b!c!...)
（5）（非平均分组无归属问题）将相异的P（P=ni+n卄1+n）个物体分为任意的
n1,
（4）两组相同元素的排
列：
两组兀素有m个和n个，各组兀素分别相冋的排列数为
Cm
nn
C2nCn
(mn)!
Cmn
n
mn_n
nnn
■Cmn_2n・・・
(mn)!
m!(n!)
m
等，则其分配方法数共有
N乂；1
n2
p』
・・・Cnm
nm
m!=
p!m!
nJn2!...nm!
…个相等，
则其分配方法数有
n
1
p
...C
n
ma!b!c!...
m!
n
2，…，n
m件无记号的m堆，且口,n
2,nm
这m个数彼此不相等，则其分
配方法数有
（6）（非完全平均分组无归属问题
）将相异的
P（P=n1+口2
+川+
nm）个物体分为任意的
当
nm1
时，无解；当
4
nm
件无记号的m堆，且
n1
,压,
入这m个数中分别有a、b、c、
5
P!
njn2!...nm!(a!b!c!...)
（7）（限定分组有归属问题）将相异的
P
（P=n1+门2+川+nm
）个物体分给甲、乙丙，…
等m个人，物体必须被分完，如果指定甲得m件，乙得
n
2件，丙得件，…时,
n
m等m个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有
n
1
n
2
n
m
p!
No—.Gm=njn2mmi
错位问题”及其推广
贝努利装错笺问题：信n封信与n个信封全部错位的组合数为
1111
推广：n个元素与n个位置，其中至少有m个元素错位的不同组合总数为
34pm
¥器-|||(-1)学川(-1)m^]
AnAnAnAn
⑴方程为+*2
+川+人=m（n,mN）的正整数解有
⑵方程
X1+x
2
+川+Xn二
m
（
n，m.N）的非负整数解有CD个.
⑶方程X1+X2+川+Xn=m（
n,mEN满足条件为*（"『,2勺兰n-1）的非负
Cn4
整数解有
C
m1心）（
2）个.
⑷方程X1
+x
2
+川+Xn=m（
n,mwN满足条件从%“『,22兰n-1）的正整
二项式定理(a+b)n=C0an+Cnan6+C：a2b2+…+C：an-b「+…+C：bn
二项展开式的通项公式
Tr1二Cnan_rbr(r=0,1,2,n)
个相等，则其分配方法数有
11.
12.
不定方程为+乂2
+川+Xn二
m
的解的个数
数解有
-C1C
n2
n4
mn_k.2
C2C
n2
-川（1）2nn-4
n2m132)k
13.