金太阳资源网
-
2023年2月26日发(作者：光明力量2)金太阳新课标资源网
第1页共4页金太阳新课标资源网
竞赛数学——数论的基本问题
（调整法、构造法、先猜后证法、反证法、配对法）
3、调整法
例12．证明存在连续1000个正整数，其中恰有10个素数。
证明：设100！+2,100！+3，…，100！+1001①
每个数都是合数，记a=1001!
将①中最后一个数去掉，而在左边添上a+1，
显然，所得的数列a+1，a+2，…，a+1000中至少有一个素数。
重复这一手续，直至得到数列1，2，3，…，1000②为止
注意到每次操作后的数列中素数的个数与操作前数列中素数的个数或
相等，或少1，或多1，
而②中的素数个数多于10个，因此必有一次操作后，所得的数列中恰
有10个素数。
4、构造法
例13.若一个正整数的标准分解中，每个素约数的幂次大于1，则称它为幂数。
证明存在无穷多个互不相同的正整数，它们及它们中任意多个不同的数的
和都不是幂数。
证明：设所有的素数从小到大依次为
123
2ppp
作数列222222222
21
,,,,,,
nn
pppppppppppppp
{注意：2
112112
(1),pppppp
112
(,1)1,ppp2
112
ppp
不是幂数。}
将上述数列的第n项记为
n
a，显然
n
a不是幂数
对
12k
nnn，
则有2
121
11
(1)k
k
n
n
nnnn
nn
a
a
aaaa
aa
例14．证明有无穷多个正整数n，满足n∣(21)n
金太阳新课标资源网
第2页共4页金太阳新课标资源网
[注：设
()21nfn。若n∣
()fn
，则
()fn
∣
(())ffn
1∣
(1)f(1)f
∣
((1))ff((1))ff
)∣
(((1))),fff
]
证明：n∣
(21)n，则
21nnq
，则q为奇数
记
()21nfn
，则21(())2121nnqffn
(2)1(21)()nqqn
21n∣
(())ffn
即
()fn
∣
(())ffn
91,3,9,21,
1∣121，3∣321，9∣921，……
[先猜后证]猜想，当3kn时，有n∣(21)n
对如上命题用归纳法（对k就行归纳）
当k=0,1时，结论成立
假设对于k，结论成立即3k∣321k
则3213kku（要证：13k∣1321k）
对
1k
，1333332121(2)1kkk
3(31)1ku
13()k
5、先猜后证
例15．求最大的正整数x,使得对每个正整数y都有x∣7121yy
解：当1y时，712118yy
当2y时，7121184yy
当3y时，7121182yy
猜想18∣7121yy
对y进行归纳（略）
金太阳新课标资源网
第3页共4页金太阳新课标资源网
6、反证法
例16．设整数,,xyz满足
()()()xyyzzxxyz
。求证：27∣
xyz
（分析：3273，则要证3∣xy，3∣yz，3∣zx）
证明：我们证明,,xyz被3除的余数均相同。用反证法
若结论不成立
（1）当,,xyz中恰有2个数被3除的余数相同时
不妨设
(mod3)xy
⑴，x与z模3不同余
由⑴得3∣xy，
而由
()()()xyyzzxxyz
得3∣
xyz
这是不可能的，矛盾
（2）,,xyz模3的余数都不相同，此时,,xyz被3除的余数为0,1,2
0(mod3)xyz
3∣
xyz
3
∣()()()xyyzzx矛盾
例17．设
1,n
证明1...11}1{个n
完全平方数
证明：反证法若1...11}1{个n
是完全平方数，
设1...11}1{个n
2x
x为正整数，∴x为奇数
∴21(mod4)x
而1...11}1{个n
3(mod4)矛盾
例18．用数码1,2,3,4,5,6,7作7位数，每个数码恰用一次，证明这些七位
数中没有一个是另外一个的倍数。
证明：反证法假设结论不成立
金太阳新课标资源网
第4页共4页金太阳新课标资源网
即存在七位数
,ab
使得
acb
，其中c为正整数
1(mod9)ab(mod9acb1(mod9)c
10cacb
矛盾
例19．证明形如
43n
的素数有无数个。
证明：反证法若形如
43n
的素数只有有限个，设为
12
,,,
m
ppp
令
12
41
m
Nppp
因为两个
41n
型的数的仍为
41n
型的数
而
N
是
41n
型的，素约数p
,1,iim
使得
i
ppp∣
12m
ppp
又p∣
N
p
∣1与p是素数矛盾
7、配对法
例20．证明从{1，2，…，100}中任意选51个不同的数，其中必有两数互素。
证明：作{1,2}，{3,4}，…，{99,100}抽屉，从中选出51个数，至少有一
个完整组，改组内两个数必然互素。
例21．设
3n
的奇数，证明将集合S={0，1，2，…，n-1}任意去掉一个元素
后，总可以将剩下的元素分成两组，每组
1
2
n
个数，使得两组数的和
模n同余。
证明：考虑
1
S{0，1，2，…，n-1}的分组
当
41nk
时，
1
S{1,2，…，4k}
{1,4k},{2,4k-1},…，{2k,2k+1}
每一对的和均为4k+1，被n整除
共有2k对，将其中k对作为一组，另外k对作另一组
这样分法满足要求
43nk
，
2
S{1,2，3，4，…，4k-1，4k，4k+1，4k+2}
{1，2，4k}，{3，4k+1，4k+2}，……
{4，4k-1}，{5，4k-2}，…，{…}