裂项公式
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2023年2月26日发(作者：小鼹鼠过生日)第一讲分数计算——裂项法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通
项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂
项）
（一）用裂项法求1
(1)nn
型分数求和
分析：因为
11
1nn
＝
11
(1)(1)(1)
nn
nnnnnn
（n为自然数）
所以有裂项公式：
111
(1)1nnnn
例题1计算
21
1
+
32
1
+
43
1
+
54
1
+
65
1
+
76
1
+
87
1
+
98
1
+
109
1
例题2计算
21
1
+
32
1
+
43
1
+
54
1
+
65
1
+……++
9998
1
+
10099
1
例题3计算
111
......
1
练习：
（二）用裂项法求1
()nnk
型分数求和
分析：
1
()nnk
型。（n,k均为自然数）
因为
11111
()[]
()()()
nkn
knnkknnknnknnk
所以
1111
()
()nnkknnk
例题4计算
11111
577991111131315
例题5计算
1111
（三）用裂项法求
()
k
nnk
型分数求和
分析：
()
k
nnk
型（n,k均为自然数）
11
nnk
＝
()()
nkn
nnknnk
＝
()
k
nnk
所以
()
k
nnk
＝
11
nnk
例题5求
2222
......
1335579799
的和
（四）用裂项法求2
()(2)
k
nnknk
型分数求和
分析：
2
()(2)
k
nnknk
（n,k均为自然数）
211
()(2)()()(2)
k
nnknknnknknk
例题6计算：
4444
......
7959799
（五）用裂项法求1
()(2)(3)nnknknk
型分数求和
分析：
1
()(2)(3)nnknknk
（n,k均为自然数）
1111
()
()(2)(3)3()(2)()(2)(3)nnknknkknnknknknknk
例题7、计算：
111
......
81920
（六）用裂项法求3
()(2)(3)
k
nnknknk
型分数求和
分析：
3
()(2)(3)
k
nnknknk
（n,k均为自然数）
311
()(2)(3)()(2)()(2)(3)
k
nnknknknnknknknknk
例题8、计算：
333
......
81920
例题9、
1111
1
3450
作业、
1、
1111
1223344950
2、
1111
3、
4计算
5、计算
6、
7、