行列式的定义

发布时间：2023-06-09 作者：admin 来源：文学

行列式的定义

2023年2月26日发(作者：当心坑洞)

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关于行列式的一般定义和计算方法

n阶行列式的定义

n阶行列式

nnnn

aaa







22221

11211

=

jjj

njjj

jjjaaa





)()1(

2N阶行列式是N!项的代数和;

3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;

特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;

(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.

其一般项为:

(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312.

它们都是偶排列;

三个负项的列标构成的排列为321,213,132,

它们都是奇排列.

§行列式的性质

性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

即

nnnn

aaa







22221

11211

nnnn

aaa







22212

12111

；

行列式对行满足的性质对列也同样满足。

性质2互换行列式的两行（列），行列式的值变号.

如:D=

=ad-bc,

=bc-ad=-D

以r

表第i行，C

表第j列。交换i,j两行记为r

r,交换i,j两列记作

C

。

3223213

aaaaaaaaa

3222211

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

aaa

D

（1

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性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值

等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k

的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作r

k

）

推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行

列式符号的前面。

推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行

列式值等于零。

推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列

式值等于零。

性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么行

列式D等于两个行列式D

和D

的和。

nnnnjnn

abaaa









2222221

1111211

nnnjnn

aaaa







222221

111211

nnnnn

abaa







222221

111211

性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或

另一列）的对应元素上，行列式值不变。

推论如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和(m>2)，则此行列

式等于m个行列式之和。

一个n阶行列式，如果它的元素满足：njiaa

ijji

2,1,；试证：当n

为奇数时，此行列式为零。

每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD

性质7行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数

列式。则称此行列式为对称行

；如果满足：定义：行列式),,1,(njiaaa

jiijij



nnnn

inii

nnnn

inii

aaa

kakaka

aaa



















11211



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余子式的乘积之和等于零。

按行：jiAaAaAa

jninjiji

0

2211



按列：jiAaAaAa

njnijiji

0

2211



将性质7与Laplace定理合并为下列结论：















jiD

（1）

和















jiD

kjki0

（2）

行列式的计算

1．利用行列式定义直接计算

例1计算行列式

0010

0200

1000

000





MMMM

解D

中不为零的项用一般形式表示为

112211

nnnnn

aaaan



L.

该项列标排列的逆序数t（n－1n－2…1n）等于

(1)(2)

nn

，故

(1)(2)

2(1)!.





2．利用行列式的性质计算

例2一个n阶行列式

nij

Da

的元素满足

,,1,2,,,

ijji

aaijnL

则称D

为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.

证明：由

ijji

aa知

iiii

aa，即

0,1,2,,

ainL

故行列式D

可表示为

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12131

12232

13233

123

nnn

aaa

Daaa

aaa







LLLLL

由行列式的性质AA





12131

12232

13233

123

nnn

aaa

Daaa

aaa







LLLLL

12131

12232

13233

123

(1)0

nnn

aaa







LLLLL

(1)n

D

当n为奇数时，得D

=－D

，因而得D

=0.

3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元

素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3计算n阶行列式

abbb

babb

bbab

bbba



LLLLL

解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，

把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

(1)

anbbbb

anbabb

anbbab

anbbba







LLLLL

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[(1)]

bbb

abb

anb

bab

bba



LLLLL

000

[(1)]

000

bbb

anb







LLLLL

1[(1)]()nanbab

4．降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是

用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式

的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4计算n阶行列式

0001

0000

1000



MMMMM

解将D

按第1行展开

000000

(1)

000

0001000



LMMMM

MMMML

12(1)(1)nnnnaa

2nnaa.

5．逆推公式法

逆推公式法：对n阶行列式D

找出D

与D

n－1

或D

与Dn

－1

n－2

之间的一种关

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系——称为逆推公式（其中D

n－1

n－2

等结构相同），再由递推公式求出D

的

方法称为递推公式法。

例5证明

1221

1000

0100

0001

nnn

aaaaax











LLLLLL

121

,(2)nnn

xaxaxaxan



L

证明：将D

按第1列展开得

12321

1000

0100

0001

nnn

aaaaax











LLLLLL

1000

100

(1)

001









LLLLL

1nn

axD





由此得递推公式：

1nnn

DaxD



，利用此递推公式可得

112

()

nnnnnn

DaxDaxaxD





12nnn

aaxxD





aaxaxx



LL

6．利用范德蒙行列式

例6计算行列式

222

1122

121212

1122

111

nnnnnn

xxx

Dxxxxxx

xxxxxx







MMM

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解把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以

此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n行，便得范德蒙行列式

222

111

()

nij

nnn

xxx

Dxxxxx

xxx







MMM

7．加边法（升阶法）

加边法（又称升阶法）是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变

的方法。

例7计算n阶行列式

xaaa

axaa

Daaa

aaxa







LLLL

解：



100

2,,1

100

aaa







LLLLL

第行减第1行

（箭形行列式）

000

aaa







L













8．数学归纳法

例8计算n阶行列式

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1221

1000

0100

0001

nnn

aaaaax











LLLLLL

解：用数学归纳法.当n=2时

212

()

Dxxaa

axa







xaxa

假设n=k时，有

121

kkk

Dxaxaxaxa



L

则当n=k+1时，把D

k+1

按第一列展开，得

11kkk

DxDa





111

()kk

kkk

xxaxaxaa



L

111

kkk

xaxaxaxa



L

由此，对任意的正整数n，有

121

nnnn

Dxaxaxaxa



L

9．拆开法

把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列

式写成两行列式之和，使问题简化以利计算。

例9计算行列式

D

112

122

aaa





MMMM

解：

D

122

aaa





MMLM





MMLM

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aaa

a





MMLM

11n

D





1211nn

aD



L

……















L

上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体

问题，把握行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地

掌握行列式的计算。

(1)

yxz

xzy

zyx

bzaybyaxbxaz

byaxbxazbzay

bxazbzaybyax

)(33



;

证明

bzaybyaxbxaz

byaxbxazbzay

bxazbzaybyax



bzaybyaxx

byaxbxazz

bxazbzayy

bzaybyaxz

byaxbxazy

bxazbzayx









bzayyx

byaxxz

bxazzy

ybyaxz

xbxazy

zbzayx



22

zyx

yxz

xzy

yxz

xzy

zyx

a33

yxz

xzy

zyx

yxz

xzy

zyx

a33

yxz

xzy

zyx

ba)(33



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关于行列式的消项（其中C代表列··R代表行）

(2)

111

bbaa

baba



(ab)3;

证明

111

bbaa

baba



001

222

2222

ababa

abaaba







abab

abaab

)1(

222

13





))((

aba

abab



(ab)3

(3)

4444

2222

1111

dcba

(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);

证明

4444

2222

1111

dcba

)()()(0

1111

222222222addaccabb

addaccabb

adacab





（c2,c3,c4减数字去第

一列的

）

)()()(

111

))()((

222addaccabb

dcbadacab





))(())((0

111

))()((

abdbddabcbcc

bdbcadacab





)()(

))()()()((

abddabcc

bdbcadacab





=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd)

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(4)

1221

1000

0010

0001

axaaaa

nnn













xna1xn1an1xan

证明用数学归纳法证明

当n2时

axax

axa

D





命题成立

假设对于(n1)阶行列式命题成立即

Dn1xn1a1xn2an2xan1

则Dn按第一列展开有

111

001

0001

)1(1

1









axDDn

nnn

xDn1anxna1xn1an1xan

因此对于n阶行列式命题成立6设n阶行列式Ddet(aij),

把D上下翻转、或逆时针旋转90、或依副对角线翻转依次得

nnn

111

1









111

nnn











111

3aa

nnn











证明DDD

)1(



D3D

证明因为Ddet(aij)所以

nnn

221

111

)1(





















)1()1(

331

221

111

nnn

)1(

)1()2(21)1()1(





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同理可证

nnn











)1(

111

)1(

)1()1(







DDDDDnn

nnnnnn



)1(

)1()1()1()1(

7计算下列各行列式(Dk为k阶行列式)

(1)





,其中对角线上元素都是a未写出的元素

都是0

解

0001

0000

1000







(按第n行展开)

)1()1(

0000

10000

)1(













)1()1(

2)1(







nna











)2)(2(

1)1()1(anan2an2(a21)

(2)

xaa

axa

aax

n





;

解将第一行乘(1)分别加到其余各行得

axxa

aaax











000



再将各列都加到第一列上得

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aaaanx











0000

000

)1(

[x(n1)a](xa)n1

(3)

111

)()1(

111



















naaa

nnn

;

解根据第6题结果有

nnn

naaa

)()1(

111

)1(

111

)1(





















此行列式为范德蒙德行列式









)1(

)]1()1[()1(

jin

jaiaD









)1(

)]([)1(

jin















1)1(

)1(

)(

)1(

jin

例3

aba

aab

baa

aba

D

2222

4321

aba

aab

baa

babababa

rrrr









1111

aba

aab

baa



ba

aab

babba

abarr

brr

arr













1111



aab

babba

aba









2

aab

aba

bba



2

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224

242babababba

练习3：证明:

2cos2cos2cos

coscoscos

sinsinsin

222





证明：

左边



2cos2cos2cos

coscoscos

sinsinsin

222



1cos21cos21cos2

coscoscos

111

222











222

coscoscos

111

2000

111

coscoscos

111

222





从最后一行开始，每行减去上一行，得到：

123...n-1n

111...11-n

............

11-n1...11

然后做列变换，从各列中减去第一列，得到：

112...n-2n-1

100...0-n

............

1-n0...00

再把各列乘以(1/n)，加回到第一列，得到：

(n+1)/212...n-2n-1

000...0-n

............

0-n0...00

最后沿第一列展开得到结果是(1/2)*(n+1)*n^{n-1}*(-1)^{(n-1)(n-2)/2}

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