柱面方程

发布时间：2023-06-08 作者：admin 来源：文学

柱面方程

2023年2月26日发(作者：蚂蚁的生活特征)

引言

空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次

特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。

主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。

1.柱面

定义1：一直线平行于一个定方向且与一条定曲线

相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线作叫

做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。

显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母

线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲

线作为准线。特别地，若取准线为一条直线，则柱面为一

平面，可见平面是柱面的特例。

下面分几种情形讨论柱面的方程。

1.1母线平行于坐标轴的柱面方程

选取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z

轴，准线为Oxy面上的一条曲线，其方程为：

,0

fxy















又设,,Pxyz为柱面上一动点（图2），则过点P与z

轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的

交点记为,,0Mxy，因点M在准线上，故其坐标应

满足准线方程，这表明柱面上任一点,,Pxyz的坐标

满足方程,0fxy

反过来，若一点,,Pxyz的坐标满足方程,0fxy，过P作z轴的平行线



,,Pxyz

,,0Mxy

图2

图1



交

Oxy

面于点M，则点M的坐标,,0xy满足准线的方程,0,0fxyz，

这表明点M在准线上，因此直线MP是柱面的母线(因为直线MP的方向向量

为0,0,||0,0,1z)，所以点P在柱面上。

综上所述，我们有如下结论：

母线平行上于z轴，且与

Oxy

面的交线为,0,0fxyz的柱面方程为：

,0fxy（1）

它表示一个无限柱面。若加上限制条件azb，变得它的一平截段面。

同理，母线平行于x轴，且与Oyz面的交线为,0,0gyzx的柱面方程

为,0gyz；母线平行于y轴，且与Ozx面的交线为,0,0hxzy的柱面方

程为,0hxz。

定理1：凡三元方程不含坐标,,xyz中任何一个时必表示一个柱面，它的母

线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。

应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的坐标。

例1：以Oxy面上的椭圆

1,0

，双曲线

1,0

和抛

物线22,0yPxz为准线，母线平行于z轴的柱面方程分别为

2222

1,1,2

xyxy

yPx

abab



它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故

又统称为二次柱面，其图形见（图3）。

例2：证明，若柱面的准线为

图3

,0

fxy

















母线方向为,,0Vlmnn

，则柱面方程为

fxzyz









（2）

证：设

111

,,0Pxy为准线上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为：

,,xxlyymzn（



为叁数）①

当点

P遍历准线上的所有点，那么母线①就推出柱面，消去参数



，由①式中

最后一个式子得

，代入其余两个式子，有

xxlxzyymyz



因点

P在准线上，代入

,0fxy，即得(2)式

若柱面的准线为



fxz

















母线方向为{,,}0Vlmnm

则柱面方程为：

:,0

fxyzy









（3）

若柱面的准线为：



fyz

















母线方向为{,,}0Vlmnl

则柱面方程为

:,0

fyxzx









（4）

1.2柱面的一般方程

设柱面的准线是一条空间曲线，其方程为



,,0

Fxyz

















母线方向为,,lmn，在准线上任取一点

1111

,,Pxyz，则过点

P的母线方程是：

,,xxlyymzn（



为叁数）

这里,,xyz是母线上点的流动坐标。因点

P的坐标应满足：



11112111

,,0,,,0FxyzFxyz



,,0

Fxlymzn



















从上面这两组式子中消去参数



，最后得一个三元方程

,,0Fxyz(5)

这就是以为准线，母线的方向数为,,lmn的柱面方程。

例3：柱面的准线是球面2221xyz与平面0xyz的交线，母线方

向是1,1,1，求柱面的方向。

解：设

111

,,xyz是准线上任一点，则过这点的母线方程为

111

,,xxyyzz

由此得

111

,,xxyyzz

代入准线方程，得

2221

xyz



















消去参数



，得

222

333

xyzxyzxyz

xyz











展开，化简后得22223xyzxyyzzx

这就是所求的柱面方程。

1.3柱面的参数方程

设柱面的准线的参数方程为：：







xft

ygtatb

zht

















母线方向为,,lmn又设

1111

,,Pftgtht是准线上的一点，则过

P的母

线方程为



111

,,xftlygtmzhtn（



为参数）

令

P在准线上移动，即让

t取所有可能的值，并让



取所有可能的值，则由上

式决定的点,,xyz的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：



xftl

atb

ygtm

zhtn































（6）

例4：设柱面的准线为：

cos

sin02





















母线方向为{0,1,1}，求柱面的方程。

解：由(6)式，柱面得参数方程为：

cos

sin





































从上式中消去参数



和



，得住面的一般方程

2





1.4由生成规律给出柱面的方程

有时不给出柱面的准线，只给出生成规律

下面举一例。

例5：求以直线q为轴，半径为r的圆柱





0000

,,Pxyz

,,Pxyz

000:

xxyyzz

lmn





图4

面方程，其中直线q通过点

0000

,,Pxyz,方向向量为{,,}Vlmn

。

解：设,,Pxyz为所求柱面上的一点（图4），按题意P到q的距离为

PMr，设

PPM，按向量的定义有

PPVPP

uuur

sinVrV

两端平方即得所求柱面的向量是方程：

22

PPVrV

uuur

①

写成坐标式，即

22

0000

nyymzzlzznxx





2

mxxlyy





2222rlmn②

若利用公式22

000

PPVPPVPPV

uuuur

uuuruuur

③

则②式又可写成

222

222

000

xxyyzzlmn







2

000

lxxmyynzz





2222rlmn或

222

000

xxyyzzr

2

000

222

lxxmyynzz

lmn









特别地，若取直线q为z轴，令

000

0xyz

，则比时柱面方程为222xyr

。

1.5曲线的射影柱面

定义2：设是一条空间曲线，为一平面，经过上每一点作平面的垂线，

由这些垂线构成的柱面叫做从到的射影柱面

（图5）

显然，在上的射影就是从到的射影柱

面与的交线。通常我们将平面取为坐标平面。

给定空间曲线



,,0

Fxyz

















那么怎样求曲线到Oxy平面上的射影柱面方

程？因为这个柱面的母线平行于z轴，因此它的方

程中不应含变量z，这样只要消去z即从的某一

个方程中解出z来，把它代入另一个方程中，就得

到从向Oxy面的射影柱面方程：

,0fxy

同理，曲线在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为：

,0,,0gyzhxz

因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所以常用两个射影柱面方程来表示

空间曲线。具体做法是：从曲线的方程中轮流消去变量,xy与z，就分别得到

它在Oyz面，Ozx面和Oxy面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取

两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作

图。

例6：求曲线22

2222:1,111xyxxyz在Oxy面上的射影。

解：欲求曲线在Oxy面上的射影，需先求出曲线到Oxy面上的射影柱面，这

又须从曲线方程消去z，由的第一个方程减去第二个方程并化简得

1yz或1zy

将1zy代入曲线的方程中的任何一个，得曲线到Oxy面的射影柱面：

22220xyy



图5



故两球面交线在

Oxy

面的射影曲线方程是

2220

xyy











这是一椭圆.

2.锥面

定义3：通过一定点

P且与一条曲线相交的一切直线所构成的曲面叫做锥

面（图6），定点

P叫做锥面的顶点，定曲线叫做锥面的准

线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。

由定义3，可见，锥面有个显著的特点：顶点与曲面上

任意其它点的联线全在曲面上。

显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相

交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为

准线。

下面分几种情形讨论锥面的方程：

2.1顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程

设锥面的准线在平面zh上，其方程为

,0

fxy

















又设,,Pxyz为锥面上一动点（图7），



111

,,Pxyh为准线上一点，且P、

P、O三

点共线，则

OPOP

uuuvuuuv

或

{,,}{,,}xyzxyh即

,,xxyyzh，于是

xhxyhy

zz

。

由于

,xy应满足

,0fxy，可见,,xyz应满足方程：



图6





111

,,Pxyh

图7

fxy









反过来，若一点P



的坐标,,xyz满足方程(1)，则将上式逆推可知，点P



在

过点O与

P的直线上，因而在锥面的母线上，即点P



是锥面上的点。

因此，以原点为锥顶，准线为,0,gyzxk或,0,hxyym的锥面

方程分别为：

,0;,0

kkmm

gyzhxz

xxyy









例7：采用上式易知，以原点为锥顶，准线为椭圆















双曲线















和抛物线

22yPx











的锥面方程分别是：

2222

1111

1,1

hhhh

xyxy

azbzazbz









和

yPx









即

222222

xyzxyz

abhabh

和220hyPxz。

这三个二次方程都是关于x、y、z的二次齐次方程，因此统称为二次锥面

zh=

图8

zh=

222

xyz

abh



222

xyz

abh

220hyPxz

（图8）。

2.2锥面的一般方程

设锥面的准线为一空间曲线：



,,0

Fxyz

















顶点

P的坐标为

000

,,xyz。又设

1111

,,Pxyz为准线上一点，则过点

P的母线方

程为：



010010010

,,xxxxyyyyzzzz

因为

P在准线上，故应有



1111

2111

,,0

Fxyz

















000

111

,,0

111

,,0

xxyyzz



































（7）

从以上一组方程中消去



可得,,0Fxyz

这就是以为准线

P为顶点的锥面方程。

例8：锥面的顶点在原点，且准线为















求锥面的方程。

解：设

1111

,,Mxyz为准线上的任意点，那么过

M的母线为

111

xyz

①

且有



②

zc③

由①、③得

xcyc

④

④代入②得所求的锥面方程为

222

xyz

abc



这个锥面叫做二次锥面。

定理2：关于,,xyz的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。

证：设,,0Fxyz是关于,,xyz的n次齐次方程，点

1111

,,Pxyz是方程所

表示的曲面上的任意一点（但不是原点），那么



111

,,0Fxyz

连结

OP，在此直线上任取一点(),,Pxyz

ⅱ?

，因为

OPtOP=

uuuvuuuv

，故有

,,xtxytyztz

ⅱ?

===

把点P的坐标代入曲面S的方程，利用F是n次齐次函数，有

()()()

111111

,,,,,,0nFxyzFtxtytztFxyz

ⅱ?

===

这表示直线

OP上任何点都在曲面S上，因而S是由过原点的动直线构成的，这

就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。

推论：关于

000

,,xxyyzz---的齐次方程表示以()

000

,,xyz为顶点的锥面。

证：平移坐标轴，以()

000

,,xyz为新原点，利用定理(2)即得证明。

例9：求顶点在()

0,,0Pb，准线为

:1,0

G-==的锥面方程。

解：设(),,Pxyz是锥面上一动点，则母线

PP的方程为

,,xxybbzzrrr==-=（



为叁数）

其中()

111

,0,Pxz为母线

PP与准线G的交点，从上式可解得交点

P的坐标

,0,

xybbzr

==-+=

由此可解得

=-，将点

P的坐标代入准线方程中，得

2222

carr

或

r--=

此即

()2

222

cba

--=

这就是所求的锥面方程。

2.3锥面的参数方程

设锥面的准线的参数方程为

()

()()

()

xft

ygtatb

zht

G=＃

顶点为()

0000

,,Pxyz，又设()()()()

1111

,,Pftgtht为准线上一点，则母线

PP的参

数方程为

()

010

xxftx

yygty

zzhtz

轾

=+-

臌

轾

=+--?<+?

臌

轾

=+-

臌

当点

P在准线G上移动时，母线

PP的轨迹就是锥面，因此锥面的参数方程是

()()

xxft

atb

yygt

zzht

=-+

镦?

＃

=-+?

-?<+?

桫

=-+

（8）

从(8)式可见，锥面有两叶，0r>是一叶，0r<是另一叶。

例10：已知锥面的顶点为()0,0,0，准线为

()

cos,sin,02xaybzcqqqp===＃

求它的方程。

解：由(8)式，所求锥面的参数方程是

cos

sin

骣

＃

-?<+?

桫

（9）

消去参数r和q，就得所求锥面的一般方程，它是二次锥面

222

xyz

abc

+=（9

）

2.4由生成规律给出锥面的方程

定义4：已知一定直线q上的一定点

P，过空间一点P与

P作直线使与q所

成锐角等于定角q，则动点P的轨迹叫做(直)圆锥面，q叫做锥面的轴，锐角q

叫做半锥项角，定点

P叫做锥顶。

例11：求以000:

xxyyzz

lmn

---

==为

轴，半锥角为q的圆锥面方程。

解：设(),,Pxyz为所求圆锥面上的一点，

()

0000

,,Pxyz为锥顶(图9)。

uuur

与q的夹角为q

的条件是：

PPPPu?

uuurruuur

cos

uq×

（10）

其中{,,}lmnu=

为直线q的方向向量，

0000

{,,}PPxxyyzz=---

uuur

。

方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程，写成坐标形式是：

()()()()222

2222

000

coslmnxxyyzzq

轾

++-+-+-

犏

臌

()

0000

,,Pxyz

(),,

xyz

000:

xxyyzz

lmn





图9

()()()2

000

0lxxmyynzz

轾

--+-+-=

臌

（10

）

它是关于

000

,,xxyyzz---的二次齐次式，因而是二次锥面。两个特例是:

1以原点()0,0,0为锥项，且轴的方向为

{,,}lmn

的锥面方程为

()()()2

2222222cos0lmnxyzlxmynzq++++-++=（11）

若设l、m、n为方向余弦，则(11)式简化为

()()2

2222cos0xyzlxmynzq++-++=（11

）

2以原点()0,0,0为锥顶，z轴为轴，q为半锥项角的圆锥面方程是（此时

{,,}{0,0,1}lmn=）：

()22222cos0xyzzq++-=或

()()2222222cos1cossinxyzzqqq+=-=

此即2222tanxyzq+=（12）

其图形见图10

例12：求以原点为顶点且过三条坐标轴的

圆锥面方程。

解：设将过原点且方向角为、、



的直线q取作轴，因为所求圆锥面包

含三条坐标轴，所以它的轴必与三条坐标轴交成等角，因而有

coscoscos，但222coscoscos1，故有

cos



，

cos



，

cos



。根据不同的符号，q的位置共有四种，且分别在八

个封限内，但圆锥的半锥顶角



满足2

cos

（因为此时

2222

coscoscoscos

）。

1设q位于第Ⅰ、Ⅶ封限，则有

coscoscos



写出母线方向{,,}xyz与{cos,cos,cos}成角为



的条件：



直圆锥面：2222tanxyz

图10

222222

1coscoscos

cos

coscoscos

xyz













2223

xyz







由此出锥面的方程为：0xyyzzx

此时轴的方程是：xyz

2设q位于第Ⅱ、Ⅷ封限内，同理得锥面的方程为：

0xyyzzx

此时轴的方程是：xyz

3设q位于第Ⅲ、Ⅴ封限内，则锥面方程为：0xyyzzx

且轴的方程是：xyz

4设q位于第Ⅳ、Ⅵ封限内，则锥面方程为：0xyyzzx

且轴的方程是：xyz

3.旋转曲面

定义5：一条曲线G绕一条定直线q

旋转而产生的曲面叫做旋转曲面（图

11），曲线G叫做旋转曲面的母线，直线q

叫做旋转轴，G上每一点在旋转过程中生

成的圆叫做纬线圆或平行圆。

当G为直线时，若与轴平行，则旋转

曲面是（直）圆柱面；若G与轴相交时，旋转曲面是（直）圆锥面；若G与轴垂

直，则旋转曲面是平面（图12），因此圆柱面、圆锥面，还有平面都可看作是旋

转曲面的例子。

纬线圆

旋转曲面

图11

下面分几种情形讨论旋转面的方程：

3.1旋转曲面的一般方程

设旋转曲面的母线是一条空间曲线

()

,,0

Fxyz

旋转轴q是过点()

0000

,,Pxyz，方向为{,,}lmn的直线

xxl

gyym

zzn

()r-?<+?

又设()

1111

,,Pxyz是母线上任意一点，(),,Pxyz是过

P的纬线圆（它的圆心是q上

的一点）上的任意一点（图13），则

,qCPqCP^^且

CPCP=

1001

,PPqPPPP^=，所以有

()()()

111

0lxxmyynzz-+-+-=①

()()()222

000

xxyyzz-+-+-

()()()222

101010

xxyyzz=-+-+-②

②式表示以

P为中心，以

PP为半径的球面，而①式表示通过点

P且垂直于

轴q的平面。所以①和②联立表示通过

P的纬线圆。又因点

P在母线G上，故有

()()

11112111

,,0,,,0FxyzFxyz==③

由三式①、②、③消去

111

,,xyz，即得旋转曲面方程：

图12



000:

xxyyzz

lmn





图13

(),,0Fxyz=（13）

例13：求直线

122

xyz-

==绕直线:qxyz==旋转所得的旋转曲面方程。

解：设(),,Pxyz是旋转曲面上的任意一点，过P作

轴xyz==的垂直平面，交母线

122

xyz-

==于一点

P()

111

,,xyz（图14），因为旋转轴通过点，不妨取原

点为

P，于是由上述，过点

P的纬线圆方程是：

()()()

111

22222

111

0xxyyzz

xyxyz

-+-+-=

+=++

④

⑤

由于点

P在母线上，故

111

122

xyz-

==或

()()

1111

21,21yxzx=-=-⑥

⑥代入④

1111

222254xyzxxxx++=+-+-=-

因此

()

()()

211

xxyz

yxxyz

zxxyz

=+++

=-=++-

上式代入⑤，得()()22

222

2525

xyzxyzxyz++=++++++-

这就是所求的旋转曲面方程。

在实际运用中，我们常把旋转轴取为坐标轴。特别地，若母线是一条平面曲

线，我们又常把母线所在的平面取作一坐标面，旋转轴取作该平面内的某一坐标

轴，这时旋转曲面的方程具有较简形式。



0,0,0P

,,Pxyz



1111

,,Pxyz

122

xyz



:gxyz

图14

3.2平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面

设G是坐标平面

Oxy

上的曲线（图15），，

它的方程是

(),0

gyz

旋转轴为z轴：

001

xyz

==，如果()

111

,,POyz为

母线G上的一点，那么过

P的纬线圆方程为：

22222

0zz

xyzyz

++=+

①

②

且有()

,0gyz=③

从上面两组式子消去参数

,yz，具体做法是：将①代入②，得

22222

,yxyyxy=+=?

将22

yxy及

zz代入⑦即得



22,0gxyz

（14）

同样，把曲线绕y轴旋转所得的旋转曲面的方程是：



22,0gyxz

（15）

同理可知，坐标平面Ozx上的曲线:,0,0hxzy

绕x轴或z轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：



22,0hxyz和

22,0hxyz

Oxy面上的曲线:,0,0fxyz

绕x轴或y轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：



22,0fxyz和

22,0fxzy

因此，我们有如下结论：

定理3：当坐标平面上的曲线绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时，只要



图15

将曲线在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标，而以其余两个变量的平方

和的平方根去替换方程中的另一坐标，即得旋转曲面的方程。

例14：将

Oxy

面上的圆2

22:,0Cxayrzar绕y轴旋转，求所

得旋转曲面的方程。

解：因为绕y轴旋转，所以方程2

22xayr中保留y不变，而x用

22xz代替，即得旋转曲面方程为：



2

22222xzayr，即22222222xyzaraxz，或

2

222222224xyzaraxz

这样的曲面叫做圆环面（图16），它的形状象救生圈。

3.3旋转二次曲面

例15：圆222:,0Cxyrz绕x轴旋转所得的曲面方程为：



2

2222xyzr，即2222xyzr

它是以原点为中心，r为半径的球面。

例16：椭圆：

1,0



分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋

转二的的旋转曲面方程分别为：

222

xyz





（16）

2

22xayr

图16

222

xzy



（17）

曲面（16）叫做长形旋转椭球面（图17），曲面（17）叫做扁形旋转椭球面

（图18）。

在研究地球时，常把地球的表面看成是扁形旋转椭球面；有些锅炉为了减轻

蒸汽对炉壁的冲击力，而把它做成旋转椭球面的形状。

例17：将双曲线

1,0

，绕虚轴（即z轴）旋转的曲面方程为：

222

xyz





（18）（图19）

绕实轴（即y轴）旋转的曲面方程为：

222

yxz





（19）（图20）

222

xyz

abb



长形旋转椭球面（图17）

222

xyz

aba



扁形旋转椭球面（图18）

曲面（18）叫做旋转单叶双曲面，曲面（19）叫做旋转双叶双曲面。

旋转单叶双曲面在工程技术中很有用。例如发电厂和水泥厂的冷却塔多半建

成旋转单叶双曲面的形式。

例18：将抛物线22,0ypyx，绕它得对称轴（即

z轴）旋转的曲面方程为：

222xypz（20）

它叫做旋转抛物面。（图21）

旋转抛物面有着广泛的用途，如探照灯，车灯和太

阳灶的反光面就是这种曲面。为了保持发射与接收电磁

波的良好性能，雷达和射电望远镜的天线多做成旋转抛

物面。

参考文献

[1]朱德祥，朱维宗.新编解析几何[M].西南师范大学出版社,1989:

342～367

222

xyz

abc



旋转双叶双曲面

图20

z222

222

xyz

abc



图19

旋转单叶双曲面

旋转抛物面（图21）

[2]章学诚.解析几何[M].北京大学出版社，1989：274～324

[3]崔冠之，唐宗李.空间解析几何[M].北京：中央民资学院出版社，1989：

213～294

[4]方德植.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986：156～171

[5]陈明.解析几何讲义[M].北京：高等教育出版社，1984：213～237

[6]汪国鑫.解析几何[M].四川大学出版社，1989：133～180

[7]朱鼎勋，陈绍菱.空间解析几何学[M].北京：北京师范大学出版社，1984：

133～175

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