向量的数乘运算
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2023年2月25日发(作者：复制网页上不能复制的文字)向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量的加法OB+OA=OC.
a+b=(x+x',y+y’)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律：
交换律：a+b=b+a；
结合律：(a+b）+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量，那么a=—b,b=—a，a+b=0。0的反向量为0
向量的减法
AB—AC=CB。即“共同起点，指向被
向量的减法减”
a=(x,y）b=（x',y')则a-b=(x-x’，y—y'）。
3、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。
当λ＞0时，λa与a同方向；
向量的数乘
当λ＜0时,λa与a反方向；
向量的数乘当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时，对于任意实数λ,都有λa=0。
注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压
缩。
当∣λ∣＞1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或反方向（λ＜0）上伸长为原来
的∣λ∣倍;
当∣λ∣＜1时,表示向量a的有向线段在原方向（λ＞0）或××反方向（λ＜0)上缩短为
原来的∣λ∣倍.
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律：(λa）·b=λ(a·b)=（a·λb）.
向量对于数的分配律(第一分配律）:（λ+μ)a=λa+μa。
数对于向量的分配律（第二分配律）：λ(a+b)=λa+λb。
数乘向量的消去律：①如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。②如果a≠0且λa=μa，那
么λ=μ.
4、向量的数量积
定义:已知两个非零向量a,b.作OA=a，OB=b，则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作
并规定0≤〈a，b>≤π
定义：两个向量的数量积(内积、点积）是一个数量,记作a·b。若a、b不共线，则
a·b=|a|·|b|·cos〈a，b〉；若a、b共线,则a·b=+-∣a∣∣b∣.
向量的数量积的坐标表示:a·b=x·x’+y·y’。向量的数量积的运算律
a·b=b·a（交换律）；
(λa）·b=λ（a·b）（关于数乘法的结合律）；
（a+b)·c=a·c+b·c(分配律）；
向量的数量积的性质
a·a=｜a|的平方。
a⊥b〈=〉a·b=0.
|a·b｜≤|a|·｜b|。（该公式证明如下：｜a·b｜=｜a|·｜b|·|cosα|因为0≤|cosα｜
≤1，所以｜a·b｜≤|a｜·|b|）
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即：(a·b)·c≠a·(b·c)；例如:（a·b)^2≠a^2·b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即：由a·b=a·c(a≠0），推不出b=c.
3、|a·b|≠｜a|·｜b｜
4、由|a|=|b|，推不出a=b或a=—b。
5、向量的向量积
定义：两个向量a和b的向量积(外积、叉积）是一个向量，记作a×b（这里并不是乘号,
只是一种表示方法，与“·”不同,也可记做“∧”)。若a、b不共线,则a×b的模是:∣a×b
∣=｜a|·|b｜·sin〈a，b〉；a×b的方向是：垂直于a和b，且a、b和a×b按这个次序
构成右手系.若a、b共线,则a×b=0.
向量的向量积性质：
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a垂直b〈=〉a×b=|a|｜b|。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a；
(λa）×b=λ（a×b）=a×（λb);
a×(b+c）=a×b+a×c.
注：向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的.