万能弦长公式
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2023年2月25日发(作者：云南滇中引水)精品-----
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椭圆的焦点弦长公式的四种推导方法及其应用
江西省上犹中学刘鹏
关键词：椭圆焦点弦弦长公式应用
摘要：直线与椭圆相交时的弦长问题，可以用万能的弦长公式解决即2
12
=1ABkxx或
者2
1
12
=1+()
k
AByy，而有一种特殊的弦是过焦点的弦，它的弦长有专门的公式：
2
222
2
cos
ab
AB
ac
，如果记住公式，可以给我们解题带来方便.
下面我们用万能弦长公式，余弦定理，焦半径公式，仿射性四种方法来推导椭圆的焦点弦长公式，
这几种方法涉及到很多思想，最后举例说明其应用.
解法一：根据弦长公式直接带入解决.
题：设椭圆方程为1
2
2
2
2
b
y
a
x
，左右焦点分别为
12
(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点
2
F交椭
圆于
1122
(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.
椭圆方程1
2
2
2
2
b
y
a
x
可化为0222222bayaxb……①，
直线l过右焦点，则可以假设直线为：xmyc(斜率不存在即为0m时)，代入①得：
222222222()20bmaymcbybcab，整理得，222224()20bmaymcbyb
∴
24
1212
222222
2
,
mcbb
yyyy
bmabma
，
∴
24242
2222
1
12
2222222222
244(1)
=1+()1()1
()k
mcbbabm
AByymm
bmabmabma
∴2
2
222
2
1
ab
ABm
bma
（1）若直线l的倾斜角为，且不为90,则
1
tan
m
，则有：
22
2
2222
22
2
221
11
1
tan
tan
abab
ABm
bma
ba
,
精品-----
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由正切化为余弦，得到最后的焦点弦长公式为
2
222
2
cos
ab
AB
ac
……②.
（2）若=90，则0m，带入2
2
222
2
1
ab
ABm
bma
,得通径长为
22b
a
，同样满足②式.并且由
22223222222
2
2222222222
22()222()2()2
1=22
ababmaaabaabaabb
ABmaa
bmabmabmaaa
,当且仅当0m即斜率不存在的时候，过焦点弦长最短为
a
b22
，故可知通径是最短的焦点弦，.
综上，焦点弦长公式为
2
222
2
cos
ab
AB
ac
.
解法二：根据余弦定理解决
题：设椭圆方程为1
2
2
2
2
b
y
a
x
，左右焦点分别为
12
(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点
2
F交椭
圆于
1122
(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.
解：如右图所示，连结
11
,FAFB，设
22
=,FAxFBy，假设直线的
倾斜角为，则由椭圆定义可得
11
=2,2FAaxFBay，在
12
AFF中，由余弦定理得
222(2)(2)
cos()
4
cxax
cx
，化简可得
2
cos
b
x
ac
，在
12
BFF中，由余弦定理同理可得
2
cos
b
y
ac
，则弦长
222
222
2
=
coscoscos
bbab
ABxy
acacac
.
解法三：利用焦半径公式解决
题：设椭圆方程为1
2
2
2
2
b
y
a
x
，左右焦点分别为
12
(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点
2
F交椭
圆于
1122
(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.
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解：由解法一知
222
121212
222222
22
=()22
mcbac
xxmycmycmyycc
bmabma
.由椭圆
的第二定义可得焦半径公式，那么
2122
,FAaexFBaex
故
22222
1212
222222
222(1)
=2()
abmababm
ABaexaexaexx
bmabma
后面分析同解法一.
解法四：利用仿射性解决
题：设椭圆方程为1
2
2
2
2
b
y
a
x
，左右焦点分别为
12
(,0),(,0)FcFc，直线l过椭圆的右焦点
2
F交椭
圆于
1122
(,),(,)AxyBxy两点，求弦长AB.
解：利用仿射性，可做如下变换
'
'
xx
a
yy
b
，则原椭圆变为222(')(')xya，这是一个以原点为圆心，
a
为半径的圆.假设原直线的斜率为k，则变换后斜率为
a
k
b
.椭圆中弦长2
12
=1ABkxx，经过
变换后变为2
12
''1()
a
ABkxx
b
，带入，得变换前后弦长关系为
2
222
1
=''
bk
ABAB
bak
……③
而我们知道圆的弦长可以用垂径
定理求得.如图所示，假设直线为
()
a
ykxc
b
，圆心到直线的距
离为
21()
a
kc
b
d
a
k
b
，根据半径
为
a
，勾股定理求得弦长为
2
222
2
222
2
()
(1)
''=22
1()
akc
abk
b
ABa
ak
bak
b
，将此结果带入③中，得
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2222222
222222
222222
11(1)2(1)
=''=2=
bkbkabkabk
ABAB
bakbak
bakbak
，由tank，带入得
2
222
2
cos
ab
AB
ac
.
上面我们分别用了四种不同的方法，求出了椭圆中过焦点的弦长公式为：
2
222
2
cos
ab
AB
ac
，
记住这个公式，可以帮助我们快速解决一些题目，下面我们举例说明.
例1已知椭圆
22
1
2521
xy
，过椭圆焦点且斜率为3的直线交椭圆于,AB两点，求AB.
分析：如果直接用弦长公式解决，因为有根号，特别繁琐，利用公式则迎刃而解.
解：由题，225,21,4=
3
abc
，,带入
2
222
2
cos
ab
AB
ac
得=10AB.
例2已知点
3
(1,)
2
P在椭圆C：
22
22
1(0)
xy
ab
ab
>>上，过椭圆C的右焦点
2
(1,0)F的直线l与
椭圆C交于,MN两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MNAB，
2AB
W
MN
,试判断W是否为定值？若是定值，
求出这个定值，若不是，说明理由.
分析：因为l过焦点，故弦长可以用过焦点的弦长公式解决，显得十分简洁简单.
解：（1）由题知1c，将点P带入得
22
19
1
4ab
，又222abc，解得224,3ab，故椭圆
方程为
22
1
43
xy
.
（2）假设(,)Amn，则222ABmn，设倾斜角为，则
22
cos
m
mn
，根据过焦点的
弦长公式则
222
2
22222
22
21234
cos12()
4
abmn
MN
m
acmn
mn
，故
2
22
=4
43
AB
mn
W
MN
（）=4.
例3如图，已知椭圆
22
1
43
xy
的左右焦点为
12
,FF
，过
2
F
的直线
1
l
交椭圆于,AC两点，过
1
F
的直线
2
l交椭圆于,BD两点，
12
,ll交于点P(P在
x
轴下方)，且
12
3
4
FPF，求四边形ABCD的
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面积的最大值.
分析：注意到以原点为圆心，半焦距为半径的圆与椭圆没有交点，故形成
12
3
4
FPF
的点P在圆
内，先可以用焦点弦长公式表示出面积，再利用换元求出其最大值.
解：假设
1
l的倾斜角为,则
2
l的倾斜角为
3
+
4
，由椭圆的焦点弦长公式得：
2
12
4cos
AC
,
2
12
4cos()
4
BD
，
2
2
1221212
=
2244cos
4cos()
4
SACBD
,
设22()(4cos)(4cos())
4
f
71714971
(cos2)(sin2)sin2+cos2+sin4
2222448
（）
设sin2cos2(2,2)tt
，
则2sin41t,带入得2
4971
()+(1)
448
fttt
即2
1797
()
848
fttt
min
99142
()
8
ft
,此时2t，
即sin2cos22，得到=
8
.
综上，四边形ABCD的最大值为
2882
=5.14
99142
S
.此时
=
8
，得到
2
l的倾斜角为
7
8
,刚好两直线关于y轴对称，如
右图所示.