石家庄市第四十二中学

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2022-2023学年九上数学期末模拟试卷

考生请注意：

1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每题4分，共48分）

1．如图，点CD、在以AB为直径的半圆上，点O为圆心，55DCO，则

CAD

的度数为（）

A

．30B

．35C

．40D

．45

2．对于二次函数y=（x-1）2+2的图象，下列说法正确的是（）

A

．开口向下

B

．当x=-1,时，y有最大值是2

C

．对称轴是x=-1

D

．顶点坐标是（1,2）

3．如图，点

D

是△

ABC

的边

BC

上一点，∠

BAD

＝∠

C

，

AC

＝

2

AD

，如果△

ACD

的面积为

15

，那么△

ABD

的面积为

（）

A

．

15B

．

10C

．

7.5D

．

5

4．一元二次方程240x的解是（）

A

．2B

．2C

．2D

．2

5．已知点（－

1，y

1

）、（2，y

2

）、（π，y

3）在双曲线

21k

y

x



上，则下列关系式正确的是（

）

A

．

y

1

＞y

2

＞y

3

B

．

y

1

＞y

3

＞y

2

C

．

y

2

＞y

1

＞y

3

D

．

y

3

＞y

1

＞y

2

6．抛物线

y

＝

ax2+

bx

+

c

（

a

≠

1

）如图所示，下列结论：①

abc

＜

1

；②点（﹣

3

，

y

1），（

1

，

y

2）都在抛物线上，则有

y

1

＞

y

2；③

b2＞（

a

+

c

）2；④

2

a

﹣

b

＜

1

．正确的结论有（）

A

．

4

个

B

．

3

个

C

．

2

个

D

．

1

个

7．如图，已知

O

的内接正方形边长为

2

，则

O

的半径是（）

A

．

1B

．

2C

．2D

．22

8．如图，已知

□ABCD

的对角线

BD=4cm

，将

□ABCD

绕其对称中心

O

旋转

180°

，则点

D

所转过的路径长为（）

A

．

4πcmB

．

3πcmC

．

2πcmD

．

πcm

9．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其有题译文如下：

“

有一根竹竿在太阳下的影子长

15

尺

.

同时立一根1.5尺

的小标杆，它的影长是0.5尺。如图所示，则可求得这根竹竿的长度为（）尺

A

．50B

．45C

．5D

．4.5

10．如图，在△

ABC

中，

AB

=10

，

AC

=8

，

BC

=6

，以边

AB

的中点

O

为圆心，作半圆与

AC

相切，点

P

、

Q

分别是边

BC

和半圆上的动点，连接

PQ

，则

PQ

长的最大值与最小值的和是（

）

A

．3B

．2131C

．9D

．10

11．如图，

A

、

B

、

C

、

D

四个点均在

O

上，∠

AOD

=40°

，弦

DC

的长等于半径，则∠

B

的度数为（）

A

．

40°B

．

45°C

．

50°D

．

55°

12．如图是二次函数2yaxbxc图象的一部分，其对称轴是1x，且过点

(3,0)

，下列说法：①0abc；

②20ab；③420abc；④若

12

5

5,,,

2

yy









是抛物线上两点，则

12

yy

，其中说法正确的是（）

A

．①②

B

．②③

C

．①②④

D

．②③④

二、填空题（每题4分，共24分）

13．已知

y

是

x

的二次函数，

y

与

x

的部分对应值如下表：

x

...

－

1

012...

y

...0343...

该二次函数图象向左平移

______

个单位，图象经过原点．

14．路灯（

P

点）距地面高

9

米，身高

1

．

5

的小艺站在距路灯的底部（

O

点）

20

米的

A

点，则此时小艺在路灯下的影

子长是

__________

米．

15．如图，在

Rt

△

ABC

中，∠

ACB=

90º

，将△

ABC

绕顶点

C

逆时针旋转得到△

A

′

B

′

C

，

M

是

BC

的中点，

N

是

A

′

B

′

的中点，连接

MN

，若

BC

=2cm,

∠

ABC

=60°

，则线段

MN

的最大值为

_____.

16．如图，

AB

是⊙

O

的直径，弦

CD

⊥

AB

于点

G

，点

F

是

CD

上一点，且满足

CF1

FD3

，连接

AF

并延长交⊙

O

于点

E

，连接

AD

、

DE

，若

CF=2

，

AF=1

．给出下列结论：①△

ADF

∽△

AED

；②

FG=2

；③

tan

∠

E=

5

2

；④

S

△DEF

=45．

其中正确的是（写出所有正确结论的序号）．

17．如图，四边形

ABCD

与四边形

EFGH

位似，其位似中心为点

O

，且

4

3

OE

EA



，则

FG

BC

______．

18．一棵参天大树，树干周长为

3

米，地上有一根常春藤恰好绕了它

5

圈，藤尖离地面

20

米高，那么这根常春藤至少

有

____

米．

三、解答题（共78分）

19．（8分）装潢公司要给边长为

6

米的正方形墙面

ABCD

进行装潢，设计图案如图所示（四周是四个全等的矩形，用

材料甲进行装潢；中心区是正方形

MNPQ

，用材料乙进行装潢）．

两种装潢材料的成本如下表：

材料甲乙

价格（元

/

米2）

5040

设矩形的较短边

AH

的长为

x

米，装潢材料的总费用为

y

元．

（

1

）

MQ

的长为米（用含

x

的代数式表示）；

（

2

）求

y

关于

x

的函数解析式；

（

3

）当中心区的边长不小于

2

米时，预备资金

1760

元购买材料一定够用吗？请说明理由．

20．（8分）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为

1

，

2

，

3

，

4.

随机摸取一个小球然后放回，

再随机摸出一个小球，求下列事件的概率：

（

1

）两次取出的小球标号相同；

（

2

）两次取出的小球标号的和等于

4.

21．（8分）某学校举行冬季“趣味体育运动会”，在一个箱内装入只有标号不同的三颗实心球，标号分别为

1

，

2

，

3.

每次随机取出一颗实心球，记下标号作为得分，再将实心球放回箱内。小明从箱内取球两次，若两次得分的总分不小

于

5

分，请用画树状图或列表的方法，求发生“两次取球得分的总分不小于

5

分”情况的概率

.

22．（10分）问题呈现：

如图

1

，在边长为

1

小的正方形网格中，连接格点

A

、

B

和

C

、

D

，

AB

和

CD

相交于点

P

，求

tan∠CPB

的值方

法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出

(

或构造出

)

一个直角三角形，观察发现问题中∠

CPB

不在直角

三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点

B

、

E

，可得

BE

∥

CD

，则∠

ABE=∠CPB

，

连接

AE

，那么∠

CPB

就变换到

Rt△ABE

中．问题解决：

（

1

）直接写出图

1

中

tan



CPB

的值为

______

；

（

2

）如图

2

，在边长为

1

的正方形网格中，

AB

与

CD

相交于点

P

，求

cos



CPB

的值．

23．（10分）小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型，如图所示，它的底面半径

3OBcm

，高4OCcm，求这

个圆锥形漏斗的侧面积．

24．（10分）

[

问题发现

]

如图①，在ABC中，点E是AC的中点，点D在边BC上，AD与BE相交于点P，若:1:2CDCB，则

:APAD_____;

[

拓展提高

]

如图②，在等边三角形ABC中，点E是AC的中点，点D在边BC上，直线AD与BE相交于点P，若:2:3BPBE，

求:CDCB的值

.

[

解决问题

]

如图③，在RtABC中，90ACB，点E是AC的中点，点D在直线CB上，直线AD与直线BE相交于点P，

4,3,8CDCBAC

.

请直接写出BP的长

.

25．（12分）在平面直角坐标系xOy中，对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+8过点（﹣2，0）．

（

1

）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；

（

2

）现将此抛物线沿y轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D，与y轴的交点为B，与x轴负半轴交于点A，

过B作x轴的平行线交所得抛物线于点C，若AC∥BD，试求平移后所得抛物线的表达式．

26．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．

“

圆材埋壁

”

是我国古代数学著作《九章算术》中的一个问题：今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，

锯道长一尺，问径几何？用现在的数学语言表达是：如图，CD为

O

的直径，弦ABCD，垂足为E，

1CE

寸，

1AB尺，其中

1

尺10寸，求出直径CD的长．

解题过程如下：

连接OA，设OAr寸，则1OErCEr

寸．

∵

,1ABCDAB

尺，∴

1

5

2

AEAB寸．

在RtOAE△中，222OAAEOE，即2

2251rr，解得13r，

∴226CDr寸．

任务：

（

1

）上述解题过程运用了定理和定理．

（

2

）若原题改为已知25DE寸，1AB尺，请根据上述解题思路，求直径CD的长．

（

3

）若继续往下锯，当锯到AEOE时，弦AB所对圆周角的度数为．

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、

B

【分析】首先由圆的性质得出

OC=OD

，进而得出∠

CDO=

∠

DCO

，∠

COD=70°

，然后由圆周角定理得出∠

CAD.

【详解】由已知，得

OC=OD

∴∠

CDO=

∠

DCO=55°

∴∠

COD=180°-

∠

CDO-

∠

DCO=180°-55°-55°=70°

∵∠

COD

为弧

CD

所对的圆心角，∠

CAD

为弧

CD

所对的圆周角

∴∠

CAD=

1

2

∠

COD=35°

故答案为

B.

【点睛】

此题主要考查对圆周角定理的运用，熟练掌握，即可解题

.

2、

D

【解析】根据二次函数的性质对各选项进行判断

.

【详解】

A

、由二次函数的解析式

y＝（x＋1）2＋2

，可知系数＞

1

，故函数图像开口向上

.

故

A

项错误；

B

、将

x＝﹣1

代入解析式，得到

y＝6

，故

B

项错误；

C

、由二次函数的顶点式

y＝（x＋1）2＋2

可知对称轴为

x＝1

，故

C

项错误；

D

、函数的顶点式

y＝（x＋1）2＋2

可知该函数的顶点坐标是（

1,2

），故

D

项正确

.

故选

D.

【点睛】

本题主要考查二次函数的图像与性质，理解二次函数的顶点式是解答此题的关键

.

3、

D

【分析】首先证明△

BAD

∽△

BCA

，由相似三角形的性质可得：△

BAD

的面积：△

BCA

的面积为

1

：

4

，得出△

BAD

的面积：△

ACD

的面积＝

1

：

3

，即可求出△

ABD

的面积．

【详解】解：∵∠

BAD

＝∠

C

，∠

B

＝∠

B

，

∴△

BAD

∽△

BCA

，

∵

AC

＝

2

AD

，

∴

21

4

BAD

BCA

SAD

SAC













，

∴

1

3

BAD

ACD

S

S







，

∵△

ACD

的面积为

15

，

∴△

ABD

的面积＝

1

3

×

15

＝

5

，

故选：

D

．

【点睛】

本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键

.

4、

D

【分析】这个式子先移项，变成

x2=4

，从而把问题转化为求

4

的平方根．

【详解】移项得，

x2=4

开方得，

x=±2，

故选

D．

【点睛】

（1

）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：

x2=a（a≥0）；ax2=b（a，b

同号且

a≠0）；（x+a）2=b（b≥0）；a（x+b）2=c（a，c

同号且

a≠0

）．法则：要把方程化为

“

左平方，右常数，先把系数化为

1

，再开平方取正负，分开求得方程解

”．

（2

）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．

5、

B

【解析】分析：根据题意，可得这个反比例函数图象所在的象限及每个象限的增减性，比较三个点的纵横坐标，分析

可得三点纵坐标的大小，即可得答案．

详解：

∵双曲线

21k

y

x



中的

-（k1+1）＜0，

∴这个反比例函数在二、四象限，且在每个象限都是增函数，且

1<



,

∴

y1＞0，y1＜y3＜0；

故有

y1＞y3＞y1．

故选

B．

点睛：考查了运用反比例函数图象的性质判断函数值的大小，解题关键牢记反比例函数

k

y

x

（x

≠

0

）的性质：当

k>0

时，图像分别位于第一、三象限，每一个象限内，从左往右，

y

随

x

的增大而减小；当

k<0

时，图像分别位于第二、

四象限，每一个象限内，从左往右，

y

随

x

的增大而增大

.

6、

B

【分析】利用抛物线开口方向得到

a

＞

1

，利用抛物线的对称轴在

y

轴的左侧得到

b

＞

1

，利用抛物线与

y

轴的交点在

x

轴下方得到

c

＜

1

，则可对①进行判断；通过对称轴的位置，比较点（

-3

，

y

1）和点（

1

，

y

2）到对称轴的距离的大小可

对②进行判断；由于（

a+c

）2-b2=

（

a+c-b

）（

a+c+b

），而

x=1

时，

a+b+c

＞

1

；

x=-1

时，

a-b+c

＜

1

，则可对③进行判断；

利用

10

2

b

a



和不等式的性质可对④进行判断．

【详解】∵抛物线开口向上，

∴

a

＞

1

，

∵抛物线的对称轴在

y

轴的左侧，

∴

a

、

b

同号，

∴

b

＞

1

，

∵抛物线与

y

轴的交点在

x

轴下方，

∴

c

＜

1

，

∴

abc

＜

1

，所以①正确；

∵抛物线的对称轴为直线

x

＝﹣

2

b

a

，

而﹣

1

＜﹣

2

b

a

＜

1

，

∴点（﹣3

，

y

1）到对称轴的距离比点（

1

，

y

2）到对称轴的距离大，

∴

y

1＞

y

2，所以②正确；

∵

x

＝

1

时，

y

＞

1

，即

a

+

b

+

c

＞

1

，

x

＝﹣

1

时，

y

＜

1

，即

a

﹣

b

+

c

＜

1

，

∴（

a

+

c

）2﹣

b2＝（

a

+

c

﹣

b

）（

a

+

c

+

b

）＜

1

，

∴

b2＞（

a

+

c

）2，所以③正确；

∵﹣1

＜﹣

2

b

a

＜

1

，

∴﹣2

a

＜﹣

b

，

∴2

a

﹣

b

＞

1

，所以④错误．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数

a

决定抛物线的开口方向和大小．当

a

＞

1

时，抛物线向上开口；

当

a

＜

1

时，抛物线向下开口；一次项系数

b

和二次项系数

a

共同决定对称轴的位置：当

a

与

b

同号时，对称轴在

y

轴

左；当

a

与

b

异号时，对称轴在

y

轴右．常数项

c

决定抛物线与

y

轴交点：抛物线与

y

轴交于（

1

，

c

）．抛物线与

x

轴交点个数由判别式确定：△

=b2-4ac

＞

1

时，抛物线与

x

轴有

2

个交点；△

=b2-4ac=1

时，抛物线与

x

轴有

1

个交点；

△

=b2-4ac

＜

1

时，抛物线与

x

轴没有交点．

7、

C

【分析】如图，连接

BD

，根据圆周角定理可得

BD

为⊙

O

的直径，利用勾股定理求出

BD

的长，进而可得⊙

O

的半径

的长

.

【详解】如图，连接

BD

，

∵四边形

ABCD

是正方形，边长为

2

，

∴

BC=CD=2

，∠

BCD=90°

，

∴

BD=2222

=22，

∵正方形

ABCD

是⊙

O

的内接四边形，

∴

BD

是⊙

O

的直径，

∴⊙

O

的半径是

1

22

2

=2，

故选：

C.

【点睛】

本题考查正方形的性质、圆周角定理及勾股定理，根据圆周角定理得出

BD

是直径是解题关键

.

8、

C

【分析】

点

D

所转过的路径长是一段弧，是一段圆心角为

180°

，半径为

OD

的弧，故根据弧长公式计算即可．

【详解】

解：

BD=4

，

∴

OD=2

∴点

D

所转过的路径长

=

1802

180



=2π

．

故选：

C

．

【点睛】

本题主要考查了弧长公式：

180

nr

l



．

9、

B

【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论．

【详解】设竹竿的长度为

x

尺，

∵太阳光为平行光，

∴

1.5

150.5

x



，

解得

x

＝

45

（尺）．．

故选：

B

．

【点睛】

本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．

10、

C

【解析】如图

，

设⊙

O

与

AC

相切于点

E

，

连接

OE

，

作

OP

1

⊥

BC

垂足为

P

1交⊙

O

于

Q

1

，

此时垂线段

OP

1最短

，

P

1

Q

1

最小值为

OP

1

﹣

OQ

1

，

求出

OP

1

，

如图当

Q

2在

AB

边上时

，

P

2

与

B

重合时

，

P

2

Q

2最大值＝

5+3＝8，

由此不难解决问

题

．

【详解】如图

，

设⊙

O

与

AC

相切于点

E

，

连接

OE

，

作

OP

1

⊥

BC

垂足为

P

1

，

交⊙

O

于

Q

1

，

此时垂线段

OP

1最短

，

P

1

Q

1

最小值为

OP

1

﹣

OQ

1

．

∵

AB

＝10，

AC

＝8，

BC

＝6，∴

AB2＝

AC2+

BC2，∴∠

C

＝20°．

∵∠

OP

1

B

＝20°，∴

OP

1

∥

AC

．

∵

AO

＝

OB

，∴

P

1

C

＝

P

1

B

，∴

OP

1

1

2

AC

＝4，∴

P

1

Q

1最小值为

OP

1

﹣

OQ

1

＝1，

如图

，

当

Q

2在

AB

边上时

，

P

2与

B

重

合时

，

P

2

Q

2经过圆心

，

经过圆心的弦最长

，

P

2

Q

2最大值＝

5+3＝8，∴

PQ

长的最大值与最小值的和是

2．

故选

C．

【点睛】

本题考查了切线的性质、三角形中位线定理等知识

，

解题的关键是正确找到点

PQ

取得最大值、最小值时的位置

，

属

于中考常考题型

．

11、

C

【分析】如图（见解析），先根据等边三角形的判定与性质可得60COD，从而可得100AOC，再根据圆周

角定理即可得．

【详解】如图，连接

OC

，

由圆的半径得：OCOD，

弦

DC

的长等于半径，

OCODDC，

COD是等边三角形，

60COD，

40AOD

，

100AODAOCCOD，

由圆周角定理得：

1

10050

2

1

2

ACBO

，

故选：

C

．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握圆周角定理是解题关键．

12、

A

【分析】根据二次函数的图像和性质逐个分析即可．

【详解】解：对于①：∵抛物线开口向上，∴

a

>0

，

∵对称轴

0

2

b

a



，即

0

2

b

a



，说明分子分母

a

,

b

同号，故

b

>0

，

∵抛物线与y

轴相交，∴

c

<0

，故0abc，故①正确；

对于②：对称轴

=1

2



b

x

a

，∴20ab，故②正确；

对于③：抛物线与

x

轴的一个交点为

(-3,0)

，其对称轴为直线

x=-1

，根据抛物线的对称性可知，抛物线与

x

轴的另一个

交点为

,1,0)

，故当自变量

x=2

时，对应的函数值

y=420abc，故③错误；

对于④：∵

x=-5

时离对称轴

x=-1

有

4

个单位长度，

x=

5

2

时离对称轴

x=-1

有

7

2

个单位长度，

由于

7

2

＜

4

，且开口向上，故有

12

yy

，故④错误，

故选：

A

．

【点睛】

本题考查了二次函数的图像与其系数的符号之间的关系，熟练掌握二次函数的图形性质是解决此类题的关键．

二、填空题（每题4分，共24分）

13、

2

【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与

x

轴另一个交点为（

2

，

0

），可得结论．

【详解】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线

x=

0+2

2

=1

．

∵抛物线与

x

轴的一个交点为（

-1

，

0

），

∴抛物线与

x

轴另一个交点为（

2

，

0

），

∴该二次函数图象向左平移

2

个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平移

1

个单位，图象经过原点．

故填为

2

．

【点睛】

本题考查了二次函数图象与几何变换

-

平移，根据平移的原则：左加右减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解

决．

14、2

【分析】此题利用三角形相似证明即可，即图中路灯与影长组成的三角形和小艺与自身影长组成的三角形相似，再根

据对应边成比计算即可．

【详解】如图：

∵

PO

⊥

OB

，

AC

⊥

AB

，

∴∠

O=

∠

CAB

，

∴

△POB

~

△CAB

，

∴

POCA

OBAB

，

由题意知：

PO=9

，

CA=1.5

，

OA=20

，

∴

91.5

20ABAB





，

解得：

AB=2

，

即小艺在路灯下的影子长是2米，

故答案为：2．

【点睛】

此题考查根据相似三角形测影长的相关知识，利用相似三角形的相关性质即可．

15、

3cm

【分析】连接

CN

．根据直角三角形斜边中线的性质求出

1

2

2

CNAB

，利用三角形的三边关系即可解决问题．

【详解】连接

CN

．

在

Rt

△

ABC

中，∵∠

ACB=90

°，

BC=2

，∠

B=60

°，

∴∠

A=30

°，

∴

AB=A

′

B

′

=2BC=4

，

∵

NB

′

=NA

′，

∴

1

2

2

CNAB

，

∵

CM=BM=1

，

∴

MN

≤

CN+CM=3

，

∴

MN

的最大值为

3

，

故答案为

3cm

．

【点睛】

本题考查旋转的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决

问题，属于中考常考题型．

16、①②④．

【解析】①∵

AB

是⊙

O

的直径，弦

CD

⊥

AB

，

∴ADCD，

DG=CG

，

∴∠

ADF=

∠

AED

，

∵∠

FAD=

∠

DAE

（公共角），

∴△

ADF

∽△

AED

，故①正确；

②∵

CF

FD

=

1

3

，

CF=2

，

∴

FD=6

，

∴

CD=DF+CF=8

，

∴

CG=DG=4

，

∴

FG=CG

﹣

CF=2

，故②正确；

③∵

AF=1

，

FG=2

，

∴

AG=22AFFG=5，

∴在

Rt

△

AGD

中，

tan

∠

ADG=

AG

DG

=

5

4

，

∴

tan

∠

E=

5

4

，故③错误；

④∵

DF=DG+FG=6

，

AD=22AGDG=21，

∴S

△ADF

=

1

2

DF•AG=

1

2

×6×535，

∵△

ADF

∽△

AED

，

∴

2

ADF

AED

S

AF

SAD









，

∴

35

AED

S

=

3

7

，

∴

S

△AED

=75，

∴

S

△DEF

=S

△AED

﹣

S

△ADF

=45；

故④正确．

故答案为①②④．

17、

4

7

【解析】利用位似图形的性质结合位似比等于相似比得出答案．

【详解】四边形

ABCD

与四边形

EFGH

位似，其位似中心为点

O

，且

OE4

EA3

，

OE4

OA7

，

则

FGOE4

BCOA7

，

故答案为：

4

7

．

【点睛】

本题考查了位似的性质，熟练掌握位似的性质是解题的关键

.

18、

25

【分析】如下图，先分析常春藤一圈展开图，求得常春藤一圈的长度后，再求总长度．

【详解】如下图，是常春藤恰好绕树的图形

∵绕

5

圈，藤尖离地面

20

米

∴常春藤每绕

1

圈，对应的高度为

20÷5=4

米

我们将绕树干

1

圈的图形展开如下，其中，

AB

表示树干一圈的长度，

AC

表示常春藤绕树干

1

圈的高度，

BC

表示常

春藤绕树干一圈的长度

∴在

Rt△ABC

中，

BC=5

∴常春藤总长度为：

5×5=25

米

故答案为：

25

【点睛】

本题考查侧面展开图的运算，解题关键是将题干中的树干展开为如上图△

ABC

的形式．

三、解答题（共78分）

19、（

1

）（

6

﹣

1

x

）；（

1

）

y

＝﹣

40

x1+140

x

+2

；（

3

）预备资金

4

元购买材料一定够用，理由见解析

【分析】（

1

）根据大正方形的边长减去两个小长方形的宽即可求解；

（

1

）根据总费用等于两种材料的费用之和即可求解；

（

3

）利用二次函数的性质和最值解答即可．

【详解】解：（

1

）∵

AH=GQ=x

，

AD=6

，

∴

MQ=6-1x

；

故答案为：

6-1x

；

（

1

）根据题意，得

AH

＝

x

，

AE

＝

6

﹣

x

，

S

甲

＝

4S

长方形AENH

＝

4x

（

6

﹣

x

）＝

14x

﹣

4x1，

S乙

＝

S

正方形MNQP

＝（

6

﹣

1x

）1＝

36

﹣

14x+4x1．

∴y

＝

50

（

14x

﹣

4x1）

+40

（

36

﹣

14x+4x1）＝﹣

40x1+140x+2

．

答：

y

关于

x

的函数解析式为

y

＝﹣

40x1+140x+2

．

（

3

）预备资金

4

元购买材料一定够用．理由如下：

∵y

＝﹣

40x1+140x+2

＝﹣

40

（

x

－

3

）1+1800

，

由﹣

40

＜

0

，可知抛物线开口向下，在对称轴的左侧，

y

随

x

的增大而增大．

由

x

－

3=0

可知，抛物线的对称轴为直线

x=3

．

∴

当

x

＜

3

时，

y

随

x

的增大而增大．

∵

中心区的边长不小于

1

米，即

6

﹣

1x≥1

，解得

x≤1

，又

x

＞

0

，∴

0

＜

x≤1

．

当

x=1

时，

y

＝﹣

40

（

x

－

3

）1+1800=

﹣

40

（

1

－

3

）1+1800=4

，

∴

当

0

＜

x≤1

时，

y≤4

．

∴

预备资金

4

元购买材料一定够用．

答：预备资金

4

元购买材料一定够用．

【点睛】

此题主要考查了二次函数的应用以及配方法求最值和正方形的性质等知识，正确得出各部分的边长是解题关键．

20、（

1

）

1

4

（

2

）

3

16

【解析】试题分析：首先根据题意进行列表，然后求出各事件的概率．

试题解析：

（

1

）

P

（两次取得小球的标号相同）

=

41

164



；

（

2

）

P

（两次取得小球的标号的和等于

4

）

=

3

16

．

考点：概率的计算．

21、

1

3

【分析】根据题意先画树状图展示所有

9

种等可能的结果数，再找出两次得分的总分不小于

5

分的结果数，然后根据

概率公式求解．

【详解】解：树状图如下：

共有

9

种等可能的结果数，两次得分的总分不小于

5

分的结果数为

3

种，

所以

P=

1

3

．

【点睛】

本题考查列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出

n

，再从中选出符合事件

A

或

B

的结

果数目

m

，然后根据概率公式求出事件

A

或

B

的概率．

22、（

1

）

2

；（

2

）

2

2

【分析】（

1

）根据平行四边形的判定及平行线的性质得到∠

CPB=

∠

ABE

，利用勾股定理求出

AE

，

BE

，

AB

，证明△

ABE

是直角三角形，∠

AEB=90°

，即可求出

tan



CPB=

tan



ABE

；

（

2

）如图

2

中，取格点

D

，连接

CD

，

DM

．通过平行四边形及平行线的性质得到∠

CPB=∠MCD

，利用勾股定理的

逆定理证明△

CDM

是直角三角形，且∠

CDM=90°

，即可得到

cos

∠

CPB=cos

∠

MCD

．

【详解】解：（

1

）连接格点

B

、

E

，

∵

BC

∥

DE

，

BC=DE

，

∴四边形

BCDE

是平行四边形，

∴

DC

∥

BE

，

∴∠

CPB=

∠

ABE

，

∵

AE=222222，

BE=22112，

AB=221310

222AEBEAB，

∴△

ABE

是直角三角形，∠

AEB=90°

，

∴

tan

∠

CPB=tan

∠

ABE=

22

2

2

AE

BE

，

故答案为：

2

；

（

2

）如图

2

所示，取格点

M

，连接

CM

，

DM

，

∵CB∥AM

，

CB=AM

，

∴四边形

ABCM

是平行四边形，

∴

CM∥AB

，

∴∠

CPB=∠MCD

，

∵

CM=221310，

CD=22125，

MD=22125，

222CDMDCM，

∴△

CDM

是直角三角形，且∠

CDM=90°

，

∴

cos

∠

CPB=cos

∠

MCD=

52

2

10

CD

CM

．

【点睛】

本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及勾股定理逆定理、直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题．

23、215cm

【解析】首先根据底面半径

OB=3cm

，高

OC=4cm

，求出圆锥的母线长，再利用圆锥的侧面积公式求出即可．

【详解】解：根据题意，由勾股定理可知222BCBOCO．

5BCcm,



圆锥形漏斗的侧面积215OBBCcm．

【点睛】

此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法，正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键．

24、

[

问题发现

]2:3

；

[

拓展提高

]:1:2CDBD；

[

解决问题

]5BP或7BP.

【分析】

[

问题发现

]

由:1:2CDCB，可知

AD

是中线，则点

P

是△

ABC

的重心，即可得到:APAD2

∶

3

；

[

拓展提高

]

过点E作//EFAD交CD于点F，则

EF

是△

ACD

的中位线，由平行线分线段成比例，得到

2

3

BPBD

BEBF



，通过变形，即可得到答案；

[

解决问题

]

根据题意，可分为两种情况进行讨论，①点

D

在点

C

的右边；②点

D

在点

C

的左边；分别画出图形，求出

BP

的长度，即可得到答案

.

【详解】解：

[

问题发现

]

：∵:1:2CDCB，

∴点

D

是

BC

的中点，

∴

AD

是△

ABC

的中线，

∵点E是AC的中点，则BE是△

ABC

的中线，

∴点

P

是△

ABC

的重心，

∴:APAD2:3

；

故答案为：

2:3.

[

拓展提高

]

：过点E作//EFAD交CD于点F.

E是AC的中点，F是CD的中点，

∴

EF

是△

ACD

的中位线，

1

2

CFDFCD

，

//,EFAD

//PDEF，

2

3

BPBD

BEBF



，

∴

22

33

BDBFBDDF

，

1

22

2

BDDFCDCD

，

即:1CDBD.

:1:2CDBD.

[

解决问题

]

：∵在RtABC中，90ACB，

3,8CBAC

，

∵点

E

是

AC

的中点，

∴

11

84

22

CEAC

，

∵

CD=4

，

则点

D

可能在点

C

的右边和左边两种可能；

①当点

D

在点

C

的右边时，如图：过点

P

作

PF

⊥

CD

与点

F

，

∵90PFDACB，ADCPDF，

∴△

ACD

∽△

PFD

，

∴

DFPF

DCAC



，即

48

DFPF



，

∴2PFDF，

∵90PFDACB，EBCPBF，

∴△

ECB

∽△

PBF

，

∴

BCEC

BFPF



，

∵431BFDFCDBCDFDF，

∴

34

12DFDF





，

解得：2DF，

∴213BF，224PF，

∴22345BP；

②当点

D

在点

C

的左边时，如图：过点

P

作

PF

⊥

CD

与点

F

，

与①同理，可证△

ACD

∽△

PFD

，△

ECB

∽△

PBF

，

∴2PFDF，

BCEC

BFPF



，

∵347BFBCCDDFDFDF，

∴

34

72DFDF





，

解得：2.8DF，

∴22.85.6PF，72.84.2BF，

∴225.64.27BP；

∴5BP或7BP.

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，勾股定理，以及三角形的重心，解题的关键是熟练掌握

相似三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形

.

注意运用分类讨论的思想进行解题

.

25、（

1

）

y=

﹣

x2+2x+

8，其顶点为（1，9）（

2

）

y=

﹣

x2+2x+3

【分析】

(1)

根据对称轴为直线

x

=1的抛物线

y

=

ax2+

bx

+8

过点（﹣

2,0）,可得

4280

1

2

ab

b

a















,解得

1

2

a

b











即可求解,

(2)

设令平移后抛物线为21yxk,可得

D

（1,

k

）,

B

（0,

k

-1）,

且10k,

根据

BC

平行于

x

轴

,

可得点

C

与点

B

关于对称轴

x

=1

对称

,

可得

C

（2,

k

-1）,

根据201xk,

解得1xk,

即1,0Ak

.

作

DH

⊥

BC

于

H

,

CT

⊥

x

轴于

T

,

则在△

DBH

中

,

HB

=

HD

=1,

∠

DHB

=90°,

又

AC

∥

BD

,

得

△

CTA

∽△

DHB

,

所以

CT

=

AT

，即

121kk

,

解得

k

=4,

即可求平移后的二次函数解析式

.

【详解】（1）由题意得:

4280

1

2

ab

b

a















,

解得:

1

2

a

b











,

所以抛物线的表达式为228yxx,其顶点为（1,9）.

（2）令平移后抛物线为21yxk,

易得

D

（1,

k

）,

B

（0,

k

-1）,且10k,

由

BC

平行于

x

轴,知点

C

与点

B

关于对称轴

x

=1对称,得

C

（2,

k

-1）,

由201xk,解得1xk（舍正）,即1,0Ak

.

作

DH

⊥

BC

于

H

,

CT

⊥

x

轴于

T

,

则在△

DBH

中，

HB

=

HD

=1,∠

DHB

=90°,

又

AC

∥

BD

，得△

CTA

∽△

DHB

,

所以

CT

=

AT

，即121kk

,

解得

k

=4,

所以平移后抛物线表达式为2

21423yxxx.

26、（

1

）垂径，勾股；（

2

）

26

寸；（

3

）45或135

【分析】（

1

）由解题过程可知根据垂径定理求出

AE

的长，在

Rt

△

OAE

中根据勾股定理求出

r

的值，即可得到答案．

（

2

）连接

OA

，设

OA=r

寸，则

OE=DE-r=25-r

，再根据垂径定理求出

AE

的长，在

Rt

△

OAE

中根据勾股定理求出

r

的值，进而得出结论．

（

3

）当

AE=OE

时，△

AEO

是等腰直角三角形，则∠

AOE=45°

，∠

AOB=90°

，所以由圆周角定理推知弦

AB

所对圆周

角的度数为

45°

或

135°

．

【详解】解：（

1

）根据题意知，上述解题过程运用了垂径定理和勾股定理．

故答案是：垂径；勾股；

（

2

）连接

OA

，设

OA=r

寸，则

OE=DE-r=

（

25-r

）寸

∵

AB

⊥

CD

，

AB=1

尺，∴

AE=

1

2

AB=5

寸

在

Rt

△

OAE

中，

OA2=AE2+OE2，即

r2=52+

（

25-r

）2，解得

r=13

，

∴

CD=2r=26

寸

（

2

）∵

AB

⊥

CD

，

∴当

AE=OE

时，△

AEO

是等腰直角三角形，

∴∠

AOE=45°

，

∴∠

AOB=2

∠

AOE=90°

，

∴弦

AB

所对圆周角的度数为

1

2

∠

AOB=45°

．

同理，优弧

AB

所对圆周角的度数为

135°

．

故答案是：

45°

或

135°

．

【点睛】

此题考查圆的综合题，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，综合性较强，解题关键在

于需要我们熟练各部分的内容，要注意将所学知识贯穿起来．