深圳市罗湖中学

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2023年2月20日发(作者：)

2021-2022中考数学模拟试卷

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1．在

△ABC

中，

AB=3

，

BC=4

，

AC=2

，

D

，

E

，

F

分别为

AB

，

BC

，

AC

中点，连接

DF

，

FE

，则四边形

DBEF

的周

长是（）

A

．

5B

．

7C

．

9D

．

11

2．

“

五一

”

期间，某市共接待海内外游客约

567000

人次，将

567000

用科学记数法表示为（）

A

．

567×103B

．

56.7×104C

．

5.67×105D

．

0.567×106

3．若分式

1

2x

有意义

．．．

，则

x

的取值范围是（）

A

．2x；

B

．2x；

C

．

2x

；

D

．2x.

4．为了解某校初三学生的体重情况，从中随机抽取了

80

名初三学生的体重进行统计分析，在此问题中，样本是指（）

A

．

80B

．被抽取的

80

名初三学生

C

．被抽取的

80

名初三学生的体重

D

．该校初三学生的体重

5．如图，由

5

个完全相同的小正方体组合成一个立体图形，它的左视图是

()

A

．

B

．

C

．

D

．

6．如图，已知函数

3yx

与

k

y

x



的图象在第二象限交于点

1

,Amy

，点

2

1,Bmy

在

k

y

x



的图象上，且点

B

在以

O

点为圆心，

OA

为半径的

O

上，则

k

的值为

()

A

．

3

4

B

．1C

．

3

2

D

．2

7．如图，ABC内接于

O

，若A40，则

BCO()

A

．40B

．50C

．60D

．80

8．如图，平行四边形

ABCD

中，

E

，

F

分别在

CD

、

BC

的延长线上，

AE∥BD

，

EF⊥BC

，

tan∠ABC=

3

4

，

EF=

，则

AB

的长为（）

A

．

5

3

3

B

．

5

3

6

C

．

1D

．

1

7

2

9．如图，按照三视图确定该几何体的侧面积是

(

单位：

cm)()

A

．

24πcm2B

．

48πcm2C

．

60πcm2D

．

80πcm2

10．小苏和小林在如图①所示的跑道上进行450米折返跑

.

在整个过程中，跑步者距起跑线的距离

y

（单位：

m

）与

跑步时间

t

（单位：

s

）的对应关系如图②所示

.

下列叙述正确的是（）

.

A

．两人从起跑线同时出发，同时到达终点

B

．小苏跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度

C

．小苏前15s跑过的路程大于小林前15s跑过的路程

D

．小林在跑最后100m的过程中，与小苏相遇

2

次

11．估计41的值在（）

A

．

4

和

5

之间

B

．

5

和

6

之间

C

．

6

和

7

之间

D

．

7

和

8

之间

12．如图，平行于

x

轴的直线与函数1

1

k

y(k0x0)

x

，

，2

2

k

y(k0x0)

x

，

的图象分别相交于

A

，

B

两点，

点

A

在点

B

的右侧，

C

为

x

轴上的一个动点，若ABC的面积为

4

，则

12

kk

的值为

()

A

．

8B

．8C

．

4D

．4

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13．将一张长方形纸片折叠成如图所示的形状，则∠

ABC=_________

．

14．如图，已知

l

1

∥l

2

∥l

3，相邻两条平行直线间的距离相等，若等腰直角三角形

ABC

的直角顶点

C

在

l

1上，另两个

顶点

A

，

B

分别在

l

3，

l

2上，则

sinα

的值是

_____

．

15．如图，在

Rt△ABC

中，∠

C=90°

，

AB=5

，

BC=3

，点

P

、

Q

分别在边

BC

、

AC

上，

PQ∥AB

，把

△PCQ

绕点

P

旋转得到

△PDE

（点

C

、

Q

分别与点

D

、

E

对应），点

D

落在线段

PQ

上，若

AD

平分∠

BAC

，则

CP

的长为

_________

．

16．如图，在平面直角坐标系中，函数

y=

k

x

（

k

＞

0

）的图象经过点

A

（

1

，

2

）、

B

两点，过点

A

作

x

轴的垂线，垂足

为

C

，连接

AB

、

BC

．若三角形

ABC

的面积为

3

，则点

B

的坐标为

___________

．

17．若关于

x

的方程220xxa有两个不相等的实数根，则实数

a

的取值范围是

______

．

18．某书店把一本新书按标价的九折出售

,

仍可获利

20%,

若该书的进价为

21

元

,

则标

价为

___________

元

.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19．（6分）化简（

2

2

2

121

xxx

xxx







）

1

x

x





，并说明原代数式的值能否等于

-1

．

20．（6分）如图，矩形

OABC

中，点

O

为原点，点

A

的坐标为（

0

，

8

），点

C

的坐标为（

6

，

0

）．抛物线2

4

9

yxbxc

经过

A

、

C

两点，与

AB

边交于点

D

．

（

1

）求抛物线的函数表达式；

（

2

）点

P

为线段

BC

上一个动点（不与点

C

重合），点

Q

为线段

AC

上一个动点，

AQ=CP

，连接

PQ

，设

CP=m

，

△CPQ

的面积为

S

．

①求S

关于

m

的函数表达式，并求出

m

为何值时，

S

取得最大值；

②当S

最大时，在抛物线2

4

9

yxbxc

的对称轴

l

上若存在点

F

，使

△FDQ

为直角三角形，请直接写出所有符合

条件的

F

的坐标；若不存在，请说明理由．

21．（6分）如图

1

，

B

（

2m

，

0

），

C

（

3m

，

0

）是平面直角坐标系中两点，其中

m

为常数，且

m

＞

0

，

E

（

0

，

n

）为

y

轴上一动点，以

BC

为边在

x

轴上方作矩形

ABCD

，使

AB=2BC

，画射线

OA

，把

△ADC

绕点

C

逆时针旋转

90°

得

△A′D′C′

，连接

ED′

，抛物线2yaxbxc（0a）过

E

，

A′

两点．

（

1

）填空：∠

AOB=°

，用

m

表示点

A′

的坐标：

A′

（，）；

（

2

）当抛物线的顶点为

A′

，抛物线与线段

AB

交于点

P

，且

1

3

BP

AP



时，

△D′OE

与

△ABC

是否相似？说明理由；

（

3

）若

E

与原点

O

重合，抛物线与射线

OA

的另一个交点为点

M

，过

M

作

MN⊥y

轴，垂足为

N

：

①求a

，

b

，

m

满足的关系式；

②当m

为定值，抛物线与四边形

ABCD

有公共点，线段

MN

的最大值为

10

，请你探究

a

的取值范围．

22．（8分）（

1

）计算：

|

﹣

3|+

（

π

﹣

2018

）0﹣

2sin30°+

（

1

3

）﹣1．

（

2

）先化简，再求值：（

x

﹣

1

）

÷

（

2

1x

﹣

1

），其中

x

为方程

x2+3x+2=0

的根．

23．（8分）先化简，再求值：

2

121

111

a

aaa













，其中31a

24．（10分）问题提出

（

1

）如图

1

，正方形

ABCD

的对角线交于点

O

，

△

CDE

是边长为

6

的等边三角形，则

O

、

E

之间的距离为；

问题探究

（

2

）如图

2

，在边长为

6

的正方形

ABCD

中，以

CD

为直径作半圆

O

，点

P

为弧

CD

上一动点，求

A

、

P

之间的最大

距离；

问题解决

（

3

）窑洞是我省陕北农村的主要建筑，窑洞宾馆更是一道靓丽的风景线，是因为窑洞除了它的坚固性及特有的外在美

之外，还具有冬暖夏凉的天然优点家住延安农村的一对即将参加中考的双胞胎小宝和小贝两兄弟，发现自家的窑洞

(

如

图

3

所示

)

的门窗是由矩形

ABCD

及弓形

AMD

组成，

AB

=2

m

，

BC

=3.2

m

，弓高

MN

=1.2

m

(

N

为

AD

的中点，

MN

⊥

AD

)

，

小宝说，门角

B

到门窗弓形弧

AD

的最大距离是

B

、

M

之间的距离．小贝说这不是最大的距离，你认为谁的说法正确？

请通过计算求出门角

B

到门窗弓形弧

AD

的最大距离．

25．（10分）计算：

2cos30°+27-

33

-(

1

2

)-2

26．（12分）如图

1

，点

P

是平面直角坐标系中第二象限内的一点，过点

P

作

PA⊥y

轴于点

A

，点

P

绕点

A

顺时针

旋转

60°

得到点

P\'

，我们称点

P\'

是点

P

的

“

旋转对应点

”

．

（

1

）若点

P

（﹣

4

，

2

），则点

P

的

“

旋转对应点

”P\'

的坐标为；若点

P

的

“

旋转对应点

”P\'

的坐标为（﹣

5

，

16

）

则点

P

的坐标为；若点

P

（

a

，

b

），则点

P

的

“

旋转对应点

”P\'

的坐标为；

（

2

）如图

2

，点

Q

是线段

AP\'

上的一点（不与

A

、

P\'

重合），点

Q

的

“

旋转对应点

”

是点

Q\'

，连接

PP\'

、

QQ\'

，求证：

PP\'∥QQ\'

；

（

3

）点

P

与它的

“

旋转对应点

”P\'

的连线所在的直线经过点（3，

6

），求直线

PP\'

与

x

轴的交点坐标．

27．（12分）如图，在

△ABC

中，∠

ABC=90°

．

（

1

）作∠

ACB

的平分线交

AB

边于点

O

，再以点

O

为圆心，

OB

的长为半径作⊙

O

；（要求：不写做法，保留作图痕

迹）

（

2

）判断（

1

）中

AC

与⊙

O

的位置关系，直接写出结果．

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）

1、

B

【解析】

试题解析：∵

D

、

E

、

F

分别为

AB

、

BC

、

AC

中点，∴

DF

=

1

2

BC

=2

，

DF

∥

BC

，

EF

=

1

2

AB

=

3

2

，

EF

∥

AB

，∴四边形

DBEF

为平行四边形，∴四边形

DBEF

的周长

=2

（

DF

+

EF

）

=2×

（

2+

3

2

）

=1

．故选

B

．

2、

C

【解析】

科学记数法的表示形式为

a×10n的形式，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为整数．确定

n

的值时，要看把原数变成

a

时，小数点移

动了多少位，

n

的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值

≥1

时，

n

是非负数；当原数的绝对值＜

1

时，

n

是负

数．

【详解】

567000=5.67×105，

【点睛】

此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为

a×10n的形式，其中

1≤|a|

＜

10

，

n

为整数，表示时关键要

正确确定

a

的值以及

n

的值．

3、

B

【解析】

分式的分母不为零，即

x-2≠1

．

【详解】

∵分式

1

2x

有意义

．．．

，

∴x-2≠1,

∴2x.

故选：

B.

【点睛】

考查了分式有意义的条件，（

1

）分式无意义

⇔

分母为零；（

2

）分式有意义

⇔

分母不为零；（

3

）分式值为零

⇔

分子为零且

分母不为零．

4、

C

【解析】

总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则

是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出

总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【详解】

样本是被抽取的

80

名初三学生的体重，

故选

C

．

【点睛】

此题考查了总体、个体、样本、样本容量，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总

体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

5、

B

【解析】

试题分析：从左面看易得第一层有

2

个正方形，第二层最左边有一个正方形．故选

B

．

考点：简单组合体的三视图．

6、

A

【解析】

由题意,3Amm

，因为

O

与反比例函数

k

y

x



都是关于直线

yx

对称，推出

A

与

B

关于直线

yx

对称，推

出3,Bmm

，可得31mm，求出

m

即可解决问题；

【详解】

函数

3yx

与

k

y

x



的图象在第二象限交于点

1

,Amy

，



点,3Amm

O

与反比例函数

k

y

x



都是关于直线

yx

对称，

A与

B

关于直线

yx

对称，

3,Bmm

，

31mm，

1

2

m



点

13

,

22

A









133

224

k

故选：

A

．

【点睛】

本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，反比例函数的图像与性质，圆的对称性及轴对称的性质

.

解题的关键是灵

活运用所学知识解决问题，本题的突破点是发现

A

，

B

关于直线

yx

对称．

7、

B

【解析】

根据圆周角定理求出BOC，根据三角形内角和定理计算即可．

【详解】

解：由圆周角定理得，BOC2A80，

OBOC，

BCOCBO50，

故选：

B

．

【点睛】

本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形内角和定理是解题的关键．

8、

B

【解析】

由平行四边形性质得出

AB=CD

，

AB∥CD

，证出四边形

ABDE

是平行四边形，得出

DE=DC=AB

，再由平行线得出

∠ECF=∠ABC

，由三角函数求出

CF

长，再用勾股定理

CE

，即可得出

AB

的长．

【详解】

∵四边形ABCD

是平行四边形，

∴AB∥DC

，

AB=CD

，

∵AE∥BD

，

∴四边形ABDE

是平行四边形，

∴AB=DE

，

∴AB=DE=CD

，即

D

为

CE

中点，

∵EF⊥BC

，

∴∠EFC=90°

，

∵AB∥CD

，

∴∠ECF=∠ABC

，

∴tan∠ECF=tan∠ABC=

3

4

，

在

Rt△CFE

中，

EF=3，

tan∠ECF=

EF

CF

=

3

CF

=

3

4

，

∴CF=

43

3

，

根据勾股定理得，

CE=22EFCF=

53

3

，

∴AB=

1

2

CE=

53

6

，

故选

B

．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质和判定、平行线的性质，三角函数的运用；熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，判

断出

AB=

1

2

CE

是解决问题的关键．

9、

A

【解析】

由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状，确定圆锥的母线长和底面半径，从而确定

其侧面积．

【详解】

解：由主视图和左视图为三角形判断出是锥体，由俯视图是圆形可判断出这个几何体应该是圆锥；

根据三视图知：该圆锥的母线长为

6cm

，底面半径为

8÷1=4cm

，

故侧面积

=πrl=π×6×4=14πcm1．

故选：

A

．

【点睛】

此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．

10、

D

【解析】

A.

由图可看出小林先到终点，

A

错误；

B.

全程路程一样，小林用时短，所以小林的平均速度大于小苏的平均速度，

B

错误；

C.

第

15

秒时，小苏距离起点较远，两人都在返回起点的过程中，据此可判断小林跑的路程大于小苏跑的路程，

C

错

误；

D.

由图知两条线的交点是两人相遇的点，所以是相遇了两次，正确

.

故选

D.

11、

C

【解析】

∵364149，

∴6417.

即41的值在

6

和

7

之间

.

故选

C.

12、

A

【解析】

【分析】设Aa,h

，Bb,h

，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出

1

ahk

，

2

bhk.

根据三角形的面积公式

得到

ABCA12

1111

SAByabhahbhkk4

2222



，即可求出

12

kk8

．

【详解】AB//x轴，

A，

B

两点纵坐标相同，

设Aa,h

，Bb,h

，则

1

ahk

，

2

bhk

，



ABCA12

1111

SAByabhahbhkk4

2222



，

12

kk8，

故选

A

．

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，熟知点在函数的图象上，则点的坐标

满足函数的解析式是解题的关键

.

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）

13、

73°

【解析】

试题解析：∵∠

CBD

=34°

，

∴∠

CBE

=180°-∠

CBD

=146°

，

∴∠

ABC

=∠

ABE

=

1

2

∠

CBE

=73°

．

14、

10

10

【解析】

过点

A

作

AD⊥l

1于

D

，过点

B

作

BE⊥l

1于

E

，根据同角的余角相等求出∠

CAD=∠BCE

，然后利用

“

角角边

”

证明

△ACD

和

△CBE

全等，根据全等三角形对应边相等可得

CD=BE

，然后利用勾股定理列式求出

AC

，然后利用锐角的正弦等于

对边比斜边列式计算即可得解．

【详解】

如图，过点

A

作

AD⊥l

1于

D

，过点

B

作

BE⊥l

1于

E

，设

l

1，

l

2，

l

3间的距离为

1

，

∵∠CAD+∠ACD=90°

，

∠BCE+∠ACD=90°

，

∴∠CAD=∠BCE

，

在等腰直角

△ABC

中，

AC=BC

，

在

△ACD

和

△CBE

中，

90

CADBCE

ADCBEC

ACBC

















，

∴△ACD≌△CBE

（

AAS

），

∴CD=BE=1

，

∴AD=2

，

∴AC=225CDAD，

∴AB=2AC=10，

∴sinα=

1

10

10

10

，

故答案为

10

10

.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，正确添加辅助线构造出全等三

角形是解题的关键．

15、

1

【解析】

连接

AD

，根据

PQ∥AB

可知∠

ADQ=∠DAB

，再由点

D

在∠

BAC

的平分线上，得出∠

DAQ=∠DAB

，故∠

ADQ=∠DAQ

，

AQ=DQ

．在

Rt△CPQ

中根据勾股定理可知，

AQ=11-4x

，故可得出

x

的值，进而得出结论

.

【详解】

连接

AD

，

∵PQ∥AB

，

∴∠ADQ=∠DAB

，

∵点D

在∠

BAC

的平分线上，

∴∠DAQ=∠DAB

，

∴∠ADQ=∠DAQ

，

∴AQ=DQ

，

在

Rt△ABC

中，∵

AB=5

，

BC=3

，

∴AC=4

，

∵PQ∥AB

，

∴△CPQ∽△CBA

，

∴CP

：

CQ=BC

：

AC=3

：

4

，设

PC=3x

，

CQ=4x

，

在

Rt△CPQ

中，

PQ=5x

，

∵PD=PC=3x

，

∴DQ=1x

，

∵AQ=4-4x

，

∴4-4x=1x

，解得

x=

2

3

，

∴CP=3x=1

；

故答案为：

1

．

【点睛】

本题考查平行线的性质、旋转变换、等腰三角形的判定、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键

是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．

16、（

4

，

1

2

）．

【解析】

由于函数

y=

k

x

（

x

＞

0

常数

k

＞

0

）的图象经过点

A

（

1

，

1

），把（

1

，

1

）代入解析式求出

k=1

，然后得到

AC=1

．设

B

点的横坐标是

m

，则

AC

边上的高是（

m-1

），根据三角形的面积公式得到关于

m

的方程，从而求出，然后把

m

的值

代入

y=

2

x

，即可求得

B

的纵坐标，最后就求出了点

B

的坐标．

【详解】

∵函数y=

k

x

（

x

＞

0

、常数

k

＞

0

）的图象经过点

A

（

1

，

1

），

∴把（1

，

1

）代入解析式得到

1=

1

k

，

∴k=1

，

设

B

点的横坐标是

m

，

则

AC

边上的高是（

m-1

），

∵AC=1

∴根据三角形的面积公式得到

1

2

×1•

（

m-1

）

=3

，

∴m=4

，把

m=4

代入

y=

2

x

，

∴B

的纵坐标是

1

2

，

∴点B

的坐标是（

4

，

1

2

）．

故答案为（

4

，

1

2

）．

【点睛】

解答本题的关键是根据已知坐标系中点的坐标，可以表示图形中线段的长度．根据三角形的面积公式即可解答．

17、

a

＞﹣．

【解析】

试题分析：已知关于

x

的方程

2x2+x

﹣

a=0

有两个不相等的实数根，所以

△=12﹣

4×2×

（﹣

a

）

=1+8a

＞

0

，解得

a

＞﹣．

考点：根的判别式

.

18、

28

【解析】

设标价为

x

元，那么

0.9x-21=21×20%

，

x=28.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

19、见解析

【解析】

先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，若原代数式的值为﹣

1

，则

1

1

x

x





=

﹣

1

，截至求得

x

的值，再根据分

式有意义的条件即可作出判断．

【详解】

原式

=[

22

22

221

(1)(1)

xxxxx

xxx







=

2

2

1

(1)

xxx

xx







=

2

(1)1

(1)

xxx

xx







=

1

1

x

x





，

若原代数式的值为﹣

1

，则

1

1

x

x





=

﹣

1

，

解得：

x=0

，

因为

x=0

时，原式没有意义，

所以原代数式的值不能等于﹣

1

．

【点睛】

本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．

20、（

1

）2

44

8

93

yxx

；（

2

）①2

315

(5)

102

Sm

，当

m=5

时，

S

取最大值；②满足条件的点

F

共有四个，

坐标分别为

1

3

(,8)

2

F

，

2

3

()

2

F,4，

3

3

(,627)

2

F

，

4

3

(,627)

2

F

，

【解析】

（

1

）将

A

、

C

两点坐标代入抛物线

y=-

4

9

x2+bx+c

，即可求得抛物线的解析式；

（

2

）①先用

m

表示出

QE

的长度，进而求出三角形的面积

S

关于

m

的函数；

②直接写出满足条件的F

点的坐标即可，注意不要漏写．

【详解】

解：（

1

）将

A

、

C

两点坐标代入抛物线，得

8

4

366b+c=0

9

c













，

解得：

4

3

8

b

c















，

∴抛物线的解析式为y=

﹣

4

9

x2+

4

3

x+8

；

（

2

）①∵

OA=8

，

OC=6

，

∴AC=22OAOC=10

，

过点

Q

作

QE⊥BC

与

E

点，则

sin∠ACB=

QE

QC

=

AB

AC

=

3

5

，

∴

10

QE

m

=

3

5

，

∴QE=

3

5

（

10

﹣

m

），

∴S=

1

2

•CP•QE=

1

2

m

3

5

×

（

10

﹣

m

）

=

﹣

3

10

m2+3m

；

②∵S=

1

2

•CP•QE=

1

2

m×

3

5

（

10

﹣

m

）

=

﹣

3

10

m2+3m=

﹣

3

10

（

m

﹣

5

）2+

15

2

，

∴当m=5

时，

S

取最大值；

在抛物线对称轴

l

上存在点

F

，使

△FDQ

为直角三角形，

∵抛物线的解析式为y=

﹣

4

9

x2+

4

3

x+8

的对称轴为

x=

3

2

，

D

的坐标为（

3

，

8

），

Q

（

3

，

4

），

当∠

FDQ=90°

时，

F

1（

3

2

，

8

），

当∠

FQD=90°

时，则

F

2（

3

2

，

4

），

当∠

DFQ=90°

时，设

F

（

3

2

，

n

），

则

FD2+FQ2=DQ2，

即

4

9

+

（

8

﹣

n

）2+

4

9

+

（

n

﹣

4

）2=16

，

解得：

n=6±

7

2

，

∴F

3（

3

2

，

6+

7

2

），

F

4（

3

2

，

6

﹣

7

2

），

满足条件的点

F

共有四个，坐标分别为

F

1（

3

2

，

8

），

F

2（

3

2

，

4

），

F

3（

3

2

，

6+

7

2

），

F

4（

3

2

，

6

﹣

7

2

）．

【点睛】

本题考查二次函数的综合应用能力，其中涉及到的知识点有抛物线的解析式的求法抛物线的最值等知识点，是各地中

考的热点和难点，解题时注意数形结合数学思想的运用，同学们要加强训练，属于中档题．

21、（

1

）

45

；（

m

，﹣

m

）；（

2

）相似；（

3

）①1bam；②

1

1

4

a

．

【解析】

试题分析：（

1

）由

B

与

C

的坐标求出

OB

与

OC

的长，进一步表示出

BC

的长，再证三角形

AOB

为等腰直角三角形，

即可求出所求角的度数；由旋转的性质得，即可确定出

A′

坐标；

（

2

）

△D′OE∽△ABC

．表示出

A

与

B

的坐标，由

1

3

BP

AP



，表示出

P

坐标，由抛物线的顶点为

A′

，表示出抛物线

解析式，把点

E

坐标代入即可得到

m

与

n

的关系式，利用三角形相似即可得证；

（

3

）①当

E

与原点重合时，把

A

与

E

坐标代入2yaxbxc，整理即可得到

a

，

b

，

m

的关系式；

②抛物线与四边形ABCD

有公共点，可得出抛物线过点

C

时的开口最大，过点

A

时的开口最小，分两种情况考虑：

若抛物线过点

C

（

3m

，

0

），此时

MN

的最大值为

10

，求出此时

a

的值；若抛物线过点

A

（

2m

，

2m

），求出此时

a

的

值，即可确定出抛物线与四边形

ABCD

有公共点时

a

的范围．

试题解析：（

1

）

∵B

（

2m

，

0

），

C

（

3m

，

0

），

∴OB=2m

，

OC=3m

，即

BC=m

，

∵AB=2BC

，

∴AB=2m=0B

，

∵∠ABO=90°

，

∴△ABO

为等腰直角三角形，∴∠

AOB=45°

，由旋转的性质得：

OD′=D′A′=m

，即

A′

（

m

，﹣

m

）；故答案为

45

；

m

，

﹣

m

；

（

2

）

△D′OE∽△ABC

，理由如下：由已知得：

A

（

2m

，

2m

），

B

（

2m

，

0

），∵

1

3

BP

AP

，∴

P

（

2m

，

1

2

m

），∵

A′

为

抛物线的顶点，∴设抛物线解析式为2()yaxmm，∵抛物线过点

E

（

0

，

n

），∴2(0)namm，即

m=2n

，

∴OE

：

OD′=BC

：

AB=1

：

2

，∵∠

EOD′=∠ABC=90°

，∴△

D′OE∽△ABC

；

（

3

）①当点

E

与点

O

重合时，

E

（

0

，

0

），∵抛物线2yaxbxc过点

E

，

A

，∴

2

0

{

n

ambmnm





，整理得：

1amb，即1bam；

②∵抛物线与四边形ABCD

有公共点，∴抛物线过点

C

时的开口最大，过点

A

时的开口最小，若抛物线过点

C

（

3m

，

0

），此时

MN

的最大值为

10

，∴

a

（

3m

）

2

﹣（

1+am

）

•3m=0

，整理得：

am=

1

2

，即抛物线解析式为2

13

22

yxx

m



，

由

A

（

2m

，

2m

），可得直线

OA

解析式为

y=x

，联立抛物线与直线

OA

解析式得：

2

{

13

22

yx

yxx

m





，解得：

x=5m

，

y=5m

，即

M

（

5m

，

5m

），令

5m=10

，即

m=2

，当

m=2

时，

a=

1

4

；

若抛物线过点

A

（

2m

，

2m

），则2(2)(1)22amammm，解得：

am=2

，

∵m=2

，

∴a=1

，则抛物线与四边形

ABCD

有公共点时

a

的范围为

1

1

4

a

．

考点：

1

．二次函数综合题；

2

．压轴题；

3

．探究型；

4

．最值问题．

22、（

1

）

6

；（

2

）﹣（

x+1

），

1.

【解析】

（

1

）原式

=3+1

﹣

2×

1

2

+3=6

（

2

）由题意可知：

x2+3x+2=0

，

解得：

x=

﹣

1

或

x=

﹣

2

原式

=

（

x

﹣

1

）

÷

1

1

x

x





=

﹣（

x+1

）

当

x=

﹣

1

时，

x+1=0

，分式无意义，

当

x=

﹣

2

时，

原式

=1

23、

1

1a

；

3

3

．

【解析】

先对小括号部分通分，同时把除化为乘，再根据分式的基本性质约分，最后代入求值．

【详解】

解：原式

=

1(2)

(1)

(1)(1)

aa

a

aa







=

1

1a

把31a代入得：原式

=

3

3

．

【点睛】

本题考查分式的化简求值，计算题是中考必考题，一般难度不大，要特别慎重，尽量不在计算上失分．

24、（

1

）

333

；（

2

）

353

；（

2

）小贝的说法正确，理由见解析，

11055

153

．

【解析】

（

1

）连接

AC

，

BD

，由

OE

垂直平分

DC

可得

DH

长，易知

OH

、

HE

长，相加即可；

（

2

）补全⊙

O

，连接

AO

并延长交⊙

O

右半侧于点

P

，则此时

A

、

P

之间的距离最大，在

Rt△

AOD

中，由勾股定理可

得

AO

长，易求

AP

长；

（

1

）小贝的说法正确，补全弓形弧

AD

所在的⊙

O

，连接

ON

，

OA

，

OD

，过点

O

作

OE

⊥

AB

于点

E

，连接

BO

并延

长交⊙

O

上端于点

P

，则此时

B

、

P

之间的距离即为门角

B

到门窗弓形弧

AD

的最大距离，在

Rt△

ANO

中，设

AO

=

r

，

由勾股定理可求出

r

，在

Rt△

OEB

中，由勾股定理可得

BO

长，易知

BP

长

.

【详解】

解：（

1

）如图

1

，连接

AC

，

BD

，对角线交点为

O

，连接

OE

交

CD

于

H

，则

OD

=

OC

．

∵△

DCE

为等边三角形，

∴

ED

=

EC

，

∵

OD

=

OC

∴

OE

垂直平分

DC

，

∴

DH

1

2



DC

=1

．

∵四边形

ABCD

为正方形，

∴△

OHD

为等腰直角三角形，

∴

OH

=

DH

=1

，

在

Rt△

DHE

中，

HE3DH

=13，

∴

OE

=

HE

+

OH

=131

；

（

2

）如图

2

，补全⊙

O

，连接

AO

并延长交⊙

O

右半侧于点

P

，则此时

A

、

P

之间的距离最大，

在

Rt△

AOD

中，

AD

=6

，

DO

=1

，

∴

AO22ADDO15，

3OPDO

∴

AP

=

AO

+

OP

=151

；

（

1

）小贝的说法正确．理由如下，

如图

1

，补全弓形弧

AD

所在的⊙

O

，连接

ON

，

OA

，

OD

，过点

O

作

OE

⊥

AB

于点

E

，连接

BO

并延长交⊙

O

上端于

点

P

，则此时

B

、

P

之间的距离即为门角

B

到门窗弓形弧

AD

的最大距离，

由题意知，点

N

为

AD

的中点，

3.2,ADBCOAOD

，

∴

AN

1

2



AD

=1.6

，

ON

⊥

AD

，

在

Rt△

ANO

中，

设

AO

=

r

，则

ON

=

r

﹣

1.2

．

∵

AN2+

ON2=

AO2，

∴1.62+(

r

﹣

1.2)2=

r2，

解得：

r

5

3



，

∴

AE

=

ON

5

3

1.2

7

15



，

在

Rt△

OEB

中，

OE

=

AN

=1.6

，

BE

=

AB

﹣

AE

23

15



，

∴

BO22

1105

15

OEBE，

∴

BP

=

BO

+

PO

11055

153

，

∴门角

B

到门窗弓形弧

AD

的最大距离为

11055

153

．

【点睛】

本题考查了圆与多边形的综合，涉及了圆的有关概念及性质、等边三角形的性质、正方形和长方形的性质、勾股定理

等，灵活的利用两点之间线段最短，添加辅助线将题中所求最大距离转化为圆外一点到圆上的最大距离是解题的关键

.

25、

537

【解析】

根据实数的计算，先把各数化简，再进行合并即可

.

【详解】

原式

=

3

233334

2



=537

【点睛】

此题主要考查实数的计算，解题的关键是熟知特殊三角函数的化简与二次根式的运算

.

26、（

1

）（﹣

2

，

2+23），（﹣

10

，

16

﹣

53），（

2

a

，

b

﹣

3

2

a

）；（

2

）见解析；（

3

）直线

PP\'

与

x

轴的交点坐标（﹣3，

0

）

【解析】

（

1

）①当

P

（

-4

，

2

）时，

OA=2

，

PA=4

，由旋转知，∠

P\'AH=30°

，进而

P\'H=

1

2

P\'A=2

，

AH=3P\'H=23，即可得

出结论；

②当P\'

（

-5

，

16

）时，确定出

P\'A=10

，

AH=53，由旋转知，

PA=PA\'=10

，

OA=OH-AH=16-53，即可得出结论；

③当P

（

a

，

b

）时，同①的方法得，即可得出结论；

（

2

）先判断出∠

BQQ\'=60°

，进而得出∠

PAP\'=∠PP\'A=60°

，即可得出∠

P\'QQ\'=∠PAP\'=60°

，即可得出结论；

（

3

）先确定出

y

PP

\'=3x+3

，即可得出结论．

【详解】

解

:

（

1

）如图

1

，

①当P

（﹣

4

，

2

）时，

∵PA⊥y

轴，

∴∠PAH=90°

，

OA=2

，

PA=4

，

由旋转知，

P\'A=4

，∠

PAP\'=60°

，

∴∠P\'AH=30°

，

在

Rt△P\'AH

中，

P\'H=

1

2

P\'A=2

，

∴AH=3P\'H=23，

∴OH=OA+AH=2+23，

∴P\'

（﹣

2

，

2+23），

②当P\'

（﹣

5

，

16

）时，

在

Rt△P\'AH

中，∠

P\'AH=30°

，

P\'H=5

，

∴P\'A=10

，

AH=53，

由旋转知，

PA=PA\'=10

，

OA=OH

﹣

AH=16

﹣

53，

∴P

（﹣

10

，

16

﹣

53），

③当P

（

a

，

b

）时，同①的方法得，

P\'

（

a

2

，

b

﹣

3

2

a

），

故答案为：（﹣

2

，

2+23），（﹣

10

，

16

﹣

53），（

2

a

，

b

﹣

3

2

a

）；

（

2

）如图

2

，过点

Q

作

QB⊥y

轴于

B

，

∴∠BQQ\'=60°

，

由题意知，

△PAP\'

是等边三角形，

∴∠PAP\'=∠PP\'A=60°

，

∵QB⊥y

轴，

PA⊥y

轴，

∴QB∥PA

，

∴∠P\'QQ\'=∠PAP\'=60°

，

∴∠P\'QQ\'=60°=∠PP\'A

，

∴PP\'∥QQ\'

；

（

3

）设

y

PP

\'=kx+b\'

，

由题意知，

k=3，

∵直线经过点（3，

6

），

∴b\'=3

，

∴y

PP

\'=3x+3

，

令

y=0

，

∴x=

﹣3，

∴直线PP\'

与

x

轴的交点坐标（﹣3，

0

）．

【点睛】

此题是几何变换综合题，主要考查了含

30

度角的直角三角形的性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，待定系

数法，解本题的关键是理解新定义．

27、（

1

）见解析（

2

）相切

【解析】

（

1

）首先利用角平分线的作法得出

CO

，进而以点

O

为圆心，

OB

为半径作⊙

O

即

可；

（

2

）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．

【详解】

（

1

）如图所示：

；

（

2

）相切；过

O

点作

OD⊥AC

于

D

点，

∵CO

平分∠

ACB

，

∴OB=OD

，即

d=r

，

∴⊙O

与直线

AC

相切，

【点睛】

此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，

正确利用角平分线的性质求出

d=r

是解题关键．