双曲线的定义
-新疆兵团二中
2023年2月23日发(作者：勾股定理练习题)课题：双曲线的第二定义
【学习目标】
1、掌握双曲线的第二定义；
2、能应用双曲线的第二定义解决相关问题；
一、双曲线中的基本元素
（1）.基本量:a、b、c、e
几何意义：a-实半轴、b-虚半轴、c-半焦距，e-离心率；
相互关系：)0(,222ac
a
c
ebac
（2）.基本点：顶点、焦点、中心
（3）.基本线:对称轴
二．双曲线的第二定义的推导
例1点
()Mxy，
与定点
(0)Fc，
的距离和它到定直线
2
:
a
lx
c
的距离的比是常数
(0)
c
ca
a
，求点M的轨迹．
解：设d是点M到直线l的距离．根据题意，所求轨迹就是集合
MF
c
PM
da
|，
由此得
22
2
()xcy
c
a
a
x
c
．化简，得22222222()()caxayaca．
设222cab
，就可化为
22
22
1(00)
xy
ab
ab
，
，这是双曲线的标准方程，所以点M
的轨迹是实轴长、虚轴长分别为
22ab，
的双曲线（如图）．
由例1可知，当点M到一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数
(1)
c
ee
a
时，这个点的轨迹是双曲
线．定点是双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率．
对于双曲线
22
22
1
xy
ab
，相应于焦点
(0)Fc，
的准线方程是
2a
x
c
，根据双曲线的对称性，相应于焦点
(0)Fc
，
的准
线方程是
2a
x
c
，所以双曲线有两条准线．
例2一动点到定直线
3x
的距离是它到定点
(40)F，
的距离的
1
2
，求这个动点的轨迹方程．
解：由题设知离心率2e，
又定点
(40)F，
与定直线3x是双曲线相应的右焦点与右准线，
所以2ca，
2
1
a
c
c
，解得
24
33
ac，
．
所以双曲线中心为
8
0
3
O
，．
又2
4
3
b
，故双曲线方程为
22(38)3
1
44
xy
．
评注：在应用第二定义时，应先确定定点不在定直线上，否则轨迹将是两条相交的直线，同时还应明确曲线中心
的位置，因为中心不同的曲线有其不同的方程．
三．第二定义的应用
1、已知双曲线的焦点是0,26，渐近线方程是xy
2
3
，则它的两条准线间的距离是___________；
2、若双曲线1
3664
22
yx
上点p到右焦点的距离为8，则点p到右准线的距离为___________；
3、设双曲线1
2425
22
yx
上一点的横坐标为15，则该点与左、右焦点的距离分别为________和________；
4、已知双曲线1
3664
22
yx
上点p到右焦点的距离为14，则其到左准线的距离是__________；
5．双曲线16x2―9y2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为（C）
（A）4,3,
4
1
7（B）8,6,
4
1
7（C）8,6,
4
5
（D）4,3,
4
5
6．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，e=
4
5
的双曲线的标准方程为（A）
（A）
22
1
169
xy
（B）
22
1
1625
xy
（C）
22
1
916
xy
（D）
22
1
2516
xy
7．双曲线
22
1
34
xy
的两条准线间的距离等于（A）
（A）
7
6
7（B）
7
3
7（C）
18
5
（D）
16
5
8．若双曲线
22
1
6436
yx
上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是（D）
（A）10（B）
327
7
（C）2
7
（D）
32
5
9．经过点M(3,―1)，且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是（D）
（A）y2―x2=8（B）x2―y2=±8（C）x2―y2=4（D）x2―y2=8
10．以y=±
3
2
x为渐近线的双曲线的方程是（D）
（A）3y2―2x2=6（B）9y2―8x2=1（C）3y2―2x2=1（D）9y2―4x2=36
11．等轴双曲线的离心率为；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是（090,2）
12．从双曲线
)0,0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
的一个焦点到一条渐近线的距离是.(b)
13．与
22
1
4924
xy
有公共焦点，且离心率e=
4
5
的双曲线方程是(1
916
22
yx
)
14．以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是.(1
53
22
yx
)
15．已知双曲线1
3664
22
xy
上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离（答案：
5
96
）
四、课后作业
1．下列各对双曲线中，既有相同的离心率，又有相同的渐近线的是（B）
（A）
2
3
x
―y2=1与y2―
2
3
x
=1（B）
2
3
x
―y2=1与
22
1
93
xy
（C）y2―
2
3
x
=1与x2―
2
3
y
（D）
2
3
x
―y2=1与
22
1
39
yx
2．若共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，则必有（D）
（A）e1=e2（B）e1e2=1（C）
12
11
ee
=1（D）
22
12
11
ee
=1
3．若双曲线经过点(6,
3
)，且渐近线方程是y=±
3
1
x，则这条双曲线的方程是（C）
（A）
22
1
369
xy
（B）
22
1
819
xy
（C）
2
21
9
x
y（D）
22
1
183
xy
4．双曲线的渐近线为y=±
4
3
x，则双曲线的离心率为（C）
（A）
4
5
（B）2（C）
4
5
或
3
5
（D）
2
1
5或
15
3
5．如果双曲线
22
1
169
xy
右支上一点P到它的右焦点的距离等于2，则P到左准线的距离为（C）
（A）
24
5
（B）
69
10
（C）8（D）10
6．已知双曲线
4222kykx的一条准线是y=1，则实数k的值是（B）
（A）
3
2
（B）―
3
2
（C）1（D）―1
7．双曲线
22
1
4
xy
k
的离心率e∈(1,2)，则k的取值范围是.)0,12(
8．若双曲线
22
1
169
xy
上的点M到左准线的距离为
2
5
，则M到右焦点的距离是.(
8
89
)
9．双曲线的离心率e=2，则它的一个顶点把焦点之间的线段分成长、短两段的比是.(1:3)
10．在双曲线
22
1
1213
yx
的一支上有不同的三点A(x1,y1),B(26,6),C(x3,y3)与焦点F间的距离成等差数列，
则y1+y3等于.(12)