双曲线定义
-macd顶背离
2023年2月23日发(作者：吾从而师之)A
2
A
1
F
2
F
1
xO
y
双曲线的第二定义：
到定点F的距离与到定直线l的距离之比为常数0
c
eca
a
的点的轨
迹是双曲线，其中，定点F叫做双曲线的焦点，定直线l叫做双曲线的准线，常
数
e
是双曲线的离心率。
1、离心率：
（1）定义：双曲线的焦距与实轴长的比
a
c
a
c
e
2
2
，叫做双曲线的离心率；
（2）范围：1e；
（3）双曲线形状与
e
的关系：
112
2
222
e
a
c
a
ac
a
b
k；
因此
e
越大，即渐近线的斜率的绝对值就大，这是双曲线
的形状就从扁狭逐渐变得开阔。由此可知，双曲线的离心率越大，它的开口就越阔；
（1）双曲线的形状张口随着渐近线的位置变化而变化；
（2）渐近线的位置(倾斜)情况又受到其斜率制约；
2、准线方程：
对于1
2
2
2
2
b
y
a
x
来说，相对于左焦点)0,(
1
cF对应着左准线
c
a
xl
2
1
:，
相对于右焦点)0,(
2
cF对应着右准线
c
a
xl
2
2
:；
位置关系：0
2
c
a
ax，焦点到准线的距离
c
b
p
2
（也叫焦参数）；
对于1
2
2
2
2
b
x
a
y
来说，相对于下焦点),0(
1
cF对应着下准线
c
a
yl
2
1
:；相
对于上焦点),0(
2
cF对应着上准线
c
a
yl
2
2
:。
A
2
A
1
F
2
F
1
xO
y
A
2
A
1
F
2
F
1
xO
y
3、双曲线的焦半径：
双曲线上任意一点M与双曲线焦点
12
FF、的连线段，叫做双曲线的焦半径。
设双曲线)0,0(1
2
2
2
2
ba
b
y
a
x
，
21
,FF是其左右焦点，
e
d
MF
1
1，∴e
c
a
x
MF
2
0
1，∴
10
MFaex；同理
20
MFaex；
即：焦点在
x
轴上的双曲线的焦半径公式：
10
20
MFaex
MFaex
同理：焦点在y轴上的双曲线的焦半径公式：
10
20
MFaey
MFaey
（其中
12
FF、分
别是双曲线的下、上焦点）
点评：双曲线焦半径公式与椭圆的焦半径公式的区别在于其带绝对值符号，如果
要去绝对值，需要对点的位置进行讨论。两种形式的区别可以记为：左加
右减，下加上减（带绝对值号）。
4、焦点弦：
过焦点的直线截双曲线所成的弦。
焦点弦公式：可以通过两次焦半径公式得到，设两交点
1122
,,AxyBxy、，
（1）当双曲线焦点在
x
轴上时，焦点弦只和两交点的横坐标有关，
①过左焦点与左支交于两点时：
12
2
c
ABaxx
a
；
②过右焦点与右支交于两点时：
12
2
c
ABaxx
a
。
（2）当双曲线焦点在y轴上时，焦点弦只和两交点的纵坐标有关，
①过下焦点与下支交于两点时：
12
2
c
ABayy
a
；
②过上焦点与上支交于两点时：
12
2
c
ABayy
a
。
5、通径：过焦点且垂直于对称轴的弦。直接应用焦点弦公式，得到
a
b
d
22
。