满分5

满分5

-篮球的介绍

2023年2月23日发(作者：德意志制造联盟)

小题满分练5

一、单项选择题

1．(2022·济宁模拟)已知复数z满足z·i3＝1－2i，则z的虚部为()

A．1B．－1C．2D．－2

答案B

解析因为z·i3＝1－2i，

可得z＝

1－2i

i3

＝

1－2i

－i

＝(1－2i)i＝2＋i，

所以z＝2－i，所以z的虚部为－1.

2．(2022·衡水模拟)已知集合A＝{x|y＝ln(x－1)}，B＝{x|x≤a}，若A∪B＝R，则实数a的取

值范围为()

A．(1，＋∞)B．[1，＋∞)

C．(－∞，1)D．(－∞，1]

答案B

解析由题意可知A＝{x|y＝ln(x－1)}＝{x|x>1}，所以由A∪B＝R得a≥1.

3．(2022·莆田质检)若sin12°＋cos12°＝a，则cos66°等于()

A．1－aB．a－1

C．1－a2D．a2－1

答案D

解析依题意知sin12°＋cos12°＝a，

两边平方并化简得1＋sin24°＝a2，

则sin24°＝a2－1，

所以cos66°＝cos(90°－24°)＝sin24°＝a2－1.

4．(2022·新高考全国Ⅰ)南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄

入某水库．已知该水库水位为海拔148.5m时，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5

m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水

库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为(7≈2.65)()

A．1.0×109m3B．1.2×109m3

C．1.4×109m3D．1.6×109m3

答案C

解析如图，由已知得该棱台的高为

157．5－148.5＝9(m)，

所以该棱台的体积

V＝

1

3

×9×(140＋140×180＋180)×106＝60×(16＋37)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝

1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.

5．(2022·淄博模拟)若4x＝5y＝20，z＝log

x

y，则x，y，z的大小关系为()

A．x

C．y

答案D

解析∵4x＝5y＝20，

根据指数与对数的关系和y＝loga

x(a>1)为增函数，得x＝log

4

20>log

4

16＝2，

y＝log

5

20，

由log5

5

5

20

5

25，

得1

20<2，

故1

可得logx

y

x

x＝1，即z<1，

综上，z

6．(2022·广东六校联考)我国最早按乐器的制造材料对乐器进行分类，《周礼·春宫》中记载，

中国古典乐器一般按“八音”分类，分为“金、石、土、革、丝、木、匏(páo)、竹”八音，

其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器．现

从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，则三音来自两种不同类型乐器的概率为()

A.

1

5

B.

3

5

C.

3

4

D.

2

3

答案B

解析由题意可得，从“金、石、土、匏、丝”中任取三音，共有C3

5

＝10(种)不同的取法，

三音来自两种不同类型乐器的取法共有C2

2

C1

2

＋C1

2

C2

2

＋C2

2

C1

1

＋C2

2

C1

1

＝6(种)，

故所求概率P＝

6

10

＝

3

5

.

7．(2022·泰安模拟)已知数列{a

n

}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{b

n

}满足b

n

＝

1＋a

n

a

n

.

若对任意的n∈N*，都有b

n

≥b

5

成立，则实数a的取值范围是()

A．[－6，－5]B．(－6，－5)

C．[－5，－4]D．(－5，－4)

答案D

解析根据题意，数列{a

n

}是首项为a，公差为1的等差数列，所以a

n

＝n＋a－1，

由于数列{bn

}满足b

n

＝

1＋a

n

a

n

＝

1

a

n

＋1，

所以

1

a

n

≥

1

a

5

对任意的n∈N*都成立，

故数列{an

}单调递增，且满足a

5

<0，a

6

>0，

所以









a

5

＝5＋a－1<0，

a

6

＝6＋a－1>0，

解得－5

8．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)

＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则∑

22

k＝1

f(k)等于()

A．－21B．－22C．－23D．－24

答案D

解析由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，

可得g(2＋x)＝g(2－x)．

在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，

可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，

可得f(－x)＝f(x)．

在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，

得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，

代入f(x)＋g(2－x)＝5中，

得f(x)＋f(－x－2)＝－2，

可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，

所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，

所以f(x＋4)＝f(x)，

所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．

由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5，

又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，

又f(x)＋f(x＋2)＝－2，

所以f(0)＋f(2)＝－2，

f(－1)＋f(1)＝－2，

得f(2)＝－3，f(1)＝f(－1)＝－1，

又f(3)＝f(－1)＝－1，

f(4)＝f(0)＝1，

所以∑22

k＝1

f(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.

故选D.

二、多项选择题

9．(2022·龙岩质检)已知二项式









x－

1

2x

n的展开式中各项系数之和是

1

128

，则下列说法正确的

有()

A．展开式共有7项

B．二项式系数最大的项是第4项

C．所有二项式系数和为128

D．展开式的有理项共有4项

答案CD

解析因为二项式









x－

1

2x

n的展开式中各项系数之和是

1

128

，所以令x＝1，

可得









1－

1

2×1

n＝

1

128

⇒

1

2n

＝

1

128

⇒n＝7.

因为n＝7，所以展开式共有8项，因此A不正确；

因为n＝7，所以二项式系数最大的项是第4项和第5项，因此B不正确；

因为n＝7，所以所有二项式系数和为27＝128，所以C正确；

展开式通项为Tk＋1

＝Ck

7

·









－

1

2

k·

73

2

k

x



，k＝0,1,2，…，7，

当k＝1,3,5,7时，对应的项是有理项，故D正确．

10．(2022·聊城质检)已知实数a，b，c满足a>b>c>0，则下列说法正确的是()

A.

1

ac－a

<

1

bc－a

B.

b

a

<

b＋c

a＋c

C．ab＋c2>ac＋bc

D．(a＋b)









1

a

＋

1

b

的最小值为4

答案BC

解析对于A，因为a>b>c>0，

所以

1

a

<

1

b

，

1

c－a

<0，

所以

1

ac－a

>

1

bc－a

，

所以A错误；

对于B，因为a>b>c>0，

所以c(a－b)>0，a(a＋c)>0，

所以

b＋c

a＋c

－

b

a

＝

ab＋c－ba＋c

aa＋c

＝

ab＋ac－ab－bc

aa＋c

＝

ca－b

aa＋c

>0，

所以

b

a

<

b＋c

a＋c

，所以B正确；

对于C，因为a>b>c>0，所以a－c>0，b－c>0，

所以ab＋c2－(ac＋bc)＝a(b－c)－c(b－c)

＝(a－c)(b－c)>0，

所以ab＋c2>ac＋bc，所以C正确；

对于D，因为a>0，b>0，

所以(a＋b)









1

a

＋

1

b

＝2＋

b

a

＋

a

b

≥2＋2

b

a

·

a

b

＝4，

当且仅当

b

a

＝

a

b

，即a＝b时取等号，

因为a>b，所以取不到等号，

所以(a＋b)









1

a

＋

1

b

的最小值不为4，

所以D错误．

11．(2022·保定模拟)在正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，点M，N分别是棱A

1

D

1

，AB的中点，

则下列选项中正确的是()

A．MC⊥DN

B．A

1

C

1

∥平面MNC

C．异面直线MD与NC所成角的余弦值为

1

5

D．平面MNC截正方体所得的截面是五边形

答案AD

解析以点D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则D(0,0,0)，M(1,0,2)，C(0,2,0)，N(2,1,0)，A(2,0,0)．

所以MC

→

＝(－1,2，－2)，DN

→

＝(2,1,0)，

MC

→

·DN

→

＝－2＋2＝0，

所以MC⊥DN，故A正确；

因为MC

→

＝(－1,2，－2)，MN

→

＝(1,1，－2)，

设平面MNC的法向量为n＝(x，y，z)，

所以由MC

→

·n＝0，MN

→

·n＝0，

可得









－x＋2y－2z＝0，

x＋y－2z＝0，

所以可取n＝(2,4,3)，

因为AC

→

＝(－2,2,0)，AC

→

·n＝－4＋8＝4≠0，

又A1

C

1

--→

＝AC

→

，

所以A1

C

1

不与平面MNC平行，故B错误；

因为DM

→

＝(1,0,2)，NC

→

＝(－2,1,0)，

所以cos〈DM

→

，NC

→

〉＝

－2

5×5

＝－

2

5

，

所以异面直线MD与NC所成角的余弦值为

2

5

，

故C错误；

连接CN，在D1

C

1

上取靠近D

1

的四等分点Q，连接MQ，则MQ∥CN，

连接CQ，在AA1

上取靠近A

1

的三等分点P，连接NP，则NP∥CQ，连接MP，

所以平面MNC截正方体所得的截面是五边形CQMPN，故D正确．

12．(2022·山东名校大联考)设函数f(x)＝3sinωx－cosωx(ω>0)，已知f(x)在[0，π]上有且仅

有3个零点，则下列结论正确的是()

A．在(0，π)上存在x

1

，x

2

，满足f(x

1

)－f(x

2

)＝4

B．f(x)在(0，π)上有2个最大值点

C．f(x)在









0，

π

2

上单调递增

D．ω的取值范围为









13

6

，

19

6

答案AD

解析f(x)＝3sinωx－cosωx＝2sin









ωx－

π

6

(ω>0)，

则函数f(x)的大致图象如图所示，

当x＝0时，

y＝2sin









－

π

6

＝－1，

因为ω>0，所以当x>0时，f(x)在y轴右侧第一个最大值区间内单调递增，

因为f(x)在[0，π]上有且仅有3个零点，

所以π的位置在C与D之间(包括C，不包括D)，

令f(x)＝2sin









ωx－

π

6

＝0，

则ωx－

π

6

＝kπ，k∈Z，

得x＝

1

ω







π

6

＋kπ

，k∈Z，

所以y轴右侧第一个零点的横坐标为

π

6ω

，

周期T＝

2π

ω

，

所以

π

6ω

＋T≤π<

π

6ω

＋

3

2

T，

即

π

6ω

＋

2π

ω

≤π<

π

6ω

＋

3

2

·

2π

ω

，

解得

13

6

≤ω<

19

6

，所以D正确；

在区间(0，π)上，函数f(x)可以取到最大值和最小值，所以在(0，π)上存在x1

，x

2

，

满足f(x1

)－f(x

2

)＝4，所以A正确；

由图象可得，f(x)在(0，π)上不一定有2个最大值点，所以B错误；

当0

π

2

时，－

π

6

<ωx－

π

6

<

ωπ

2

－

π

6

，

因为

13

6

≤ω＜

19

6

，

所以

11π

12

≤

ωπ

2

－

π

6

＜

17π

12

，

所以f(x)在









0，

π

2

上不单调递增，所以C错误．

三、填空题

13．(2022·济南模拟)已知圆锥的轴截面是一个顶角为

2π

3

，腰长为2的等腰三角形，则该圆锥

的体积为________．

答案π

解析因为圆锥的轴截面是一个顶角为

2π

3

，腰长为2的等腰三角形，则此等腰三角形底边上

的高即为圆锥的高，设为h，

因此h＝2cos

π

3

＝1，

圆锥底面圆半径r＝22－h2＝3，所以圆锥的体积为V＝

1

3

πr2h＝

π

3

×(3)2×1＝π.

14．(2022·六安模拟)若函数f(x)＝

1－a·2x

a＋2x

为奇函数，则实数a的值为________．

答案±1

解析因为函数f(x)＝

1－a·2x

a＋2x

为奇函数，

所以f(x)＋f(－x)＝0，

即

1－a·2x

a＋2x

＋

1－a·2－x

a＋2－x

＝0，

解得a＝±1.

15．(2022·威海模拟)已知在△ABC中，AB＝3，AC＝5，其外接圆的圆心为O，则AO

→

·BC

→

的

值为______．

答案8

解析如图，过O作OD⊥AB交AB于D，

OE⊥AC交AC于E，

可得D，E分别为AB，

AC的中点，

则AO

→

·BC

→

＝AO

→

·(AC

→

－AB

→

)

＝AO

→

·AC

→

－AO

→

·AB

→

＝(AE

→

＋EO

→

)·AC

→

－(AD

→

＋DO

→

)·AB

→

＝AE

→

·AC

→

＋EO

→

·AC

→

－AD

→

·AB

→

－DO

→

·AB

→

＝

1

2

AC

→

2＋0－

1

2

AB

→

2－0

＝

1

2

×(25－9)

＝8.

16．(2022·如皋模拟)在平面直角坐标系中，F

1

，F

2

分别是双曲线C：

x2

a2

－

y2

b2

＝1(a>0，b>0)的

左、右焦点，过F

1

的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点A，B，点T在x轴上，满足BT

→

＝3AF

2

--→

，且BF

2

经过△BF

1

T的内切圆圆心，则双曲线C的离心率为________．

答案7

解析如图所示，

设|AF1

|＝m，因为|F

1

F

2

|＝2c，BT

→

＝3AF2

--→

，

则AF2

∥BT，所以△F

1

AF

2

∽△F

1

BT，

所以

|AF

1

|

|BF

1

|

＝

|F

1

F

2

|

|F

1

T|

＝

|AF

2

|

|BT|

＝

1

3

，

所以|BF1

|＝3m，|F

2

T|＝4c，

由双曲线的定义可得，

|AF

2

|＝|AF

1

|＋2a＝m＋2a，

|BF

2

|＝|BF

1

|－2a＝3m－2a，

因为BF2

经过△BF

1

T的内切圆圆心，即BF

2

平分∠F

1

BT，

所以12

2

BFF

BFT

S

S

△

△

＝

|BF

1

|

|BT|

＝

|F

1

F

2

|

|F

2

T|

＝

1

2

，

则|BT|＝2|BF1

|＝6m，

所以|AF2

|＝

1

3

|BT|＝2m，

所以2m＝m＋2a，则m＝2a，

则|AB|＝2m＝4a＝|AF2

|，|BF

2

|＝3m－2a＝4a，

故△ABF2

为等边三角形，

则∠BAF2

＝

π

3

，

故∠F1

AF

2

＝

2π

3

，

在△F1

AF

2

中，

|AF

1

|＝2a，|AF

2

|＝4a，|F

1

F

2

|＝2c，

由余弦定理可得|F1

F

2

|2＝|AF1

|2＋|AF2

|2－2|AF1

|·|AF

2

|cos

2π

3

，

即4c2＝4a2＋16a2－16a2×









－

1

2

，

可得c＝7a，

因此，该双曲线的离心率为e＝

c

a

＝7.