两点求斜率
消防绘画图片-领峰贵金
2023年2月23日发(作者：小狗作文300字)学习必备欢迎下载
直线的斜率教学设计
[教学目的]
1、了解解析几何这门学科及其研究方法；
2、本节课是北师大必修2第二章《解析几何初步》第一节
理解直线的倾斜角的概念
知道直线的倾斜角的范围；
3、理解直线的斜率
利用几何画板经历用代数方法刻画直线斜率的过程
掌握过两点的直线斜率的计算的公式；
4、掌握直线的斜率和直线的倾斜角之间的关系；
5、使学生感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系
从而体会研究直线的方向的变化规律
只要研究其斜率的变化规律
[教学重点]直线的斜率
[教学难点]直线的斜率公式的理解
[教学方法]讲解法、观察法、发现法、讨论法
[教学设备准备]：多媒体
软件：几何画板
[课程内容分析]
⒈本节课是在学生学习了函数
对一些基本初等函数的图象和性质已掌握的前提下
解析几何的第一节课
教师应向学生展示在平面直角坐标系下
数和形的关系
从而揭示解析几何的研究方法和解决的问题
为今后的学习奠定基础
⒉建议在教学过程中从学生熟悉的一次函数的图象着手
导出解析几何这门学科
从解析几何的研究方法和平面内确定一条直线的条件
启发学生探索和发现刻画直线倾斜程度的量
⒊本节课的重点是直线的斜率
由两点确定一条直线联想能否用两点的坐标来表示
结合学生熟悉的坡度的定义
揭示如何用两点的坐标表示
以及表示的合理性
对直线斜率公式的应用
要注意公式成立的条件和公式的正用、逆用
特别要说明斜率不存在时
直线存在（让学生体验此时直线的位置
以加深印象）
在逆用时强调斜率是一比值
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由它能知道直线在坐标系中的位置（体现数和形的结合
让学生利用几何画板图象发现并归纳）
若再有一点即知直线上另一点的坐标（启发学生利用斜率公式进行求解
提醒注意不唯一）
⒋直线的倾斜角是从几何的角度来刻画直线在坐标系中的倾斜度
如何定义直线的倾斜角？对特殊的直线倾斜角又怎样规定？观察几何画板图形予以说明
进而明确直线的倾斜角的范围
关于直线的倾斜角和斜率的关系
要渗透分类讨论的数学方法
考虑到学生对诱导公式和正切函数的单调性还不知道
故应附以说明和借助计算机或计算器的定量计算
让学生有所了解
教学过程
一、问题情景（多媒体演示
几何画板）
情景1：画出一条直线
问题1：对所画图形你知道多少？
二、学生活动
学生进行思考、联想、讨论
由学生说出或经启发得到：是一次函数图象
在几何画板上展示
进而设问：能否知道是哪个一次函数？是否需要什么条件？
学生回答并求出函数解析式
就函数解析式与其图象的关系教师指出：直角坐标系的建立架起了"数"与"形"的桥梁
解析几何这门学随之而产生
（学科介绍：解析几何的创始人--笛卡尔是17世纪法国伟大的数学家
它是用代数的方法来研究几何问题的学科
因此同学们在学习这门学科的过程中
务必耐心细致地进行计算
确保运算的准确
）
问题2：在平面直角坐标系中
怎样才能画出一条直线？
学生回答并演示（①过两点；②过一点及确定的方向）
观察：直线的方向与直线在坐标系倾斜角度的关系
在几何画板上展示
三、建构数学
1．直线的倾斜角
⑴定义：（分与x轴相交的直线和与x轴重合或平行的直线两种情况）
⑵范围：
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例1：设直线a过点A(1,2)且倾斜角为30
若将直线a绕点A逆时针方向旋转45得到直线b,?求b的倾斜角
点评：通过画图形加深对倾斜角定义的理解
结合图形确定对倾斜角进行分类的标准
从中体会分类讨论的思想方法
情景2：过一点画出许多直线
在直角坐标系观察各条直线的位置
问题2：反映直线倾斜程度的量除了倾斜角外
还可以用什么来表示？
学生观察并进行讨论
引出直线的斜率
⒉直线的斜率的定义
直线倾斜角的正切值叫做直线的斜率即
直线的倾斜角时
不存在；
另外观察：直线的方向与直线在坐标系倾斜度的关系
问3：我们熟悉的坡度是怎样确定的？
利用木板进行演示
让学生有一个感性认识
体验坡度是由什么来确定的
揭示：（坡度=）
问4：如果给你直线上两点
你能用它们的坐标来刻画其倾斜度吗？
由学生讨论引出课题：直线的斜率
3.直线的斜率的两点式求法：
⑴定义：已知两点
,如果,那么直线PQ的斜率为：（）
⑵深化对定义理解:
①斜率是直线倾斜程度的数量化
是一比值；
②斜率公式与两点的顺序有关吗？为什么？
③对于不垂直于x轴的直线
其斜率是否唯一确定？
④与x轴垂直的直线
其斜率又是怎样呢？
⑵数学运用
例1：直线都经过点P（3
2）
又分别经过点
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试计算直线的斜率
（变：点（m,1）
求的斜率；若此时的斜率为2
求m的值
）
点评：①本例意在巩固斜率公式
变式可加深认识公式成立的条件；
②k＞0,k=0,k＜0,k不存在时
直线的形状
让学生通过画图体验数形结合；
例2：经过点（3
2）画直线
使直线的斜率分别为：①；②
分析：关键是确定直线上另一个点
点评：一般可利用斜率公式根据斜率k和已知点
而得到另一个点（不唯一）由得以求进一步深化对斜率的理解
特别是公式中的△x与△y可正可负的认识
4.直线的斜率和直线的倾斜角的关系
⑴⑵
直线的倾斜角为锐角（见图⑴）和直线的倾斜角角（见图⑵）
点评：⑴都是刻画直线倾斜程度的量
直线的倾斜角侧重于几何直观形象
而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向；
⑵直线的倾斜角是锐角
即
而斜率是正实数
且随的增大而增大
⑶直线的倾斜角是钝角
即而斜率是负实数
且随的增大而增大
⑷直线的倾斜角时
；
⑸直线的倾斜角时
不存在；
5.练习
⑴判断下列命题的真假：
①若两条直线的倾斜角相等
则它们的斜率也一定相等；
②若两条直线的斜率相等
则它们的倾斜角也一定相等；
③若两条直线的倾斜角不等
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则它们中倾斜角大的
其斜率也大；
④若两条直线的斜率不等
则它们中斜率大的
其倾斜角也大
⑵已知y轴上的点B与点,连线所成直线的倾斜角为
求点A的坐标
???
⑶若经过点A（t,1-t）和点B（3
2t）的直线的倾斜角为钝角
求实数t的取值范围
四.回顾小结
1．直线的倾斜角
⑴定义：（分与x轴相交的直线和与x轴重合或平行的直线两种情况）
⑵范围：
2.直线的斜率的求法：
⑴.
⑵.（）
3.直线的斜率和直线的倾斜角的关系
⑴都是刻画直线倾斜程度的量
直线的倾斜角侧重于几何直观形象
而直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向；
⑵直线的倾斜角是锐角
即
而斜率是正实数
且随的增大而增大
⑶直线的倾斜角是钝角
即而斜率是负实数
且随的增大而增大
⑷直线的倾斜角时
；
⑸直线的倾斜角时
不存在；
五．课后作业：第76页第1
2
3
4题
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直线的斜率
一、教学目标
1、知识目标：理解直线斜率的概念，掌握直线斜率的坐标公式，会求已知直线的斜率．
2、发展目标：用数形结合思想分析斜率的概念，并解释生活中的某些现象．
3、情感目标：认识事物间的相互联系，学会从不同的角度去分析问题，培养学生认识问题、认识世界的态度．
二、教学重点与难点
过两点的直线的斜率公式及应用．
三、教学方法与手段
合作探究，分层激励法，计算机辅助教学．
四、教学过程
（一）问题情景
（1）飞逝的流星、五彩的射灯形成一条美丽的直线，直线是最简单的几何图形．
问题1：确定一条直线，过一点有条直线．
（2）楼梯或山坡的倾斜程度可用坡度来刻画．
从学生熟悉的生活背景引入，以图片和动画方式展示，吸引学生的注意力．
复习初中知识，有效地加强知识的衔接，使学生在最近发展区得以发展．
分析学生熟悉的例子，符合学生的认知规律．（二）建构数学
直线的斜率：平面直角坐标系中，已知两点，，如果，那么直线的斜率为
（即）
[教学实践]请同学们任意给出两点坐标，并求过这两点的直线的斜率．
问题2：如果，那么直线的斜率怎样？
问题3：对一条与轴不垂直的定直线而言，直线的斜率是定值吗？
问题4：求一条直线的斜率需要什么条件？
采用类比推理的方法，把楼梯的倾斜程度和直线的倾斜程度进行类比，展现了知识的发生和发展过程，采用多媒
体动画设计，使学生清晰体会从形到数的发展过程，展现了解析几何数形结合的本质．降低了学习的难度．
增加数学实践这一环节，引导学生加深对概念的理解，增强了课堂的互动性，体现了课改理念．
强化对斜率公式的理解和对特殊位置斜率的记忆．
通过几何画板和动画效果，直观地感受已知定直线上任意两点的坐标，能唯一确定直线的斜率．
有问题3的铺垫，学生能更快找到确定直线斜率的元素，即任意两点的坐标．（三）数
学应用
例1直线都经过，又分别经过点，，，，讨论的斜率是否存在，若存在，求出直线的斜率．
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[教学实践]仿照例1，自编两题，使直线的斜率分别为正数和负数．
问题5：直线的斜率方向与直线斜率有什么联系？
例2经过点画直线，使直线的斜率分别为①0；②不存在；③2；④．
问题6：如果直线上一点沿轴方向向右平移1个单位，再沿轴方向向上平移2个单位后仍在直线上，那么直线的
斜率为多少？
问题7：直线的斜率为2，将向左平移1个单位得到直线，则的斜率为多少？
问题8：平行直线的斜率之间有怎样的关系？
例1的设置主要是对斜率公式的再认识，例题设置的过程安排了四种不同的情形，一方面有利于学
生对所学知识中串联，累积和加工，另一方面也为后续学习作了铺垫．
自编题能使学生了解点与点之间的位置关系，斜率的正负能强化学生对斜率取值的认识．
几何画板的设置使学生对直线的方向有了初步的感受，联系初中一次函数的性质体现知识扩展的层次性．
例2的设置主要目的在于理解斜率的几何意义，即平移和纵、横坐标增量的关系，解题时应提供两种解法，即一
为待定系数法，二为利用几何意义解题．
对例2进行加深理解，即直线的斜率与平移和纵、横坐标增量间的关系，用几何画板体现．
利用几何画板展示，使学生清晰感受到平移不改变直线的斜率．
主要强调斜率不存在时的直线平行情况．（四）课堂竞技场
1、已知直线经过点与，则直线的斜率为．
2、已知点，点在轴上，若直线的斜率为1，则点的坐标为．
3、斜率为2的直线，经过点，，三点，则的值为（）
A．B．，
C．，D．，
4、已知三点，，，求，．
问题9：如果=，那么三点有怎样的关系？结果有什么用处？
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[教学实践]如果三点，，在一条直线上，求的值．
5、求过点和（）的直线的斜率的取值范围．
问题10：直线斜率的大小与直线倾斜程度有什么联系？（课后研究）
课堂竞技场的设置体现了适应不同层次学生的需要，类似幸运52的环节设置可以活跃课堂气氛，题
目设置为一星题，二星题，三星题有层次感．
复习斜率公式，属基础题．（一星题）
已知斜率求坐标，体现了解析几何解题中的重要思想，即方程思想．（一星题）
主要讨论三点共线问题，强调过同一点，且斜率相同，属中档题．（二星题）
含参数的斜率公式应用，结合二次函数的极值的求法，体现了较高层次的要求，属提高题．（三星题）（五）回顾反
1、直线的斜率：定义、斜率公式、几何意义、求法．
2、斜率是反映直线相对于轴正方向的倾斜程度，定直线上任意两点所确定的方向不变，即在不垂直于轴的同一
条直线上任何不同的两点所确定的斜率相等．
3、平面解析几何的本质是代数方法研究图形的几何性质，体现了数形结合的重要数学思想．
回顾反思打破了原有的回顾知识的格局，主要安排体现三部分，即知识梳理、技巧与警示、重要的数学思想方法，
一方面了解学生对本堂课的接受情况，另一方面也为学生的后续学习和数学感悟奠定基础．
（六）课后作业：
书本P72练习1、2、4
[数学实践]（选做题）直线过点且与以，为两端点的线段有公共点，求直线的斜率的取值范围．
作业布置分设两块，即必做和选做，体现数学教学中的人文思想，同时也适应了不同层次学生的需要．符合因材
施教原则．
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教学设计说明
解析几何是在坐标系的基础上用代数方法研究几何问题的数学学科，在高中数学学习中一直处于重要地位．本节
课设计的总体思路是还原几何对象的直观特征，还原学生主动探索几何问题的代数化的过程，从多个角度增强几
何教学的动态性．
本堂课在内容的处理上，以学生熟悉的问题（奥运场馆、彩虹、立交桥、流星等）为背景，按照“问题情景德镇
——数学活动——建构数学——数学应用——课堂竞技——回顾反思”的顺序结构，引导学生主动参加探究，通
过师生共同对问题的分析和解决，让学生感受求直线的斜率、给定一点和直线的斜率画直线的一般方法，逐步体
会解析几何的基本思想．
本堂课在内容的呈现上，除了注意体现解析几何的基本思想和方法以外，同时又考虑到学生的认识规律，通过设
计相关问题情景，降低学习难度，展现知识的发生和发展的过程．如在直线的斜率的定义及斜率的公式的引入中，
将斜率类比现实生活中的楼梯坡度，利用比值定义斜率，增加对斜率认识的新角度，形象生动地呈现了研究对象
的现实背景，同时突出了几何要素与代数特征的联系．也为学生以后系统学习三角函数、向量等知识打下基础．
本堂课还通过设置“数学实践”栏目，旨在让学生主动感知、探索、理解研究对象的相关信息、经历知识的发生、
发展过程，如让学生任意给出两点坐标，求出过这两点的直线的斜率．
为了适应不同层次学生的发展需要，在问题中增设了“课后研究”，并在教学效果检测中引进“课堂竞技场”，
既活跃了课堂气氛又提供了学生展现自我的平台，让学生有机会在体现数学过程的环境中完成挑战性学习任务．
本堂课也注意了体现数学的人文价值．旨在让学生从第一感觉对就解析几何产生探求的兴趣，如笛卡儿的生平介
绍，大量的生活情景和生活图片的呈现，让学生真正体会了生活即数学，数学即生活的含义．
最后，本堂课还注意体现分类讨论和数形结合的数学思想的传授．如例1后的“想一想”及问题5的设置等，旨
在达到以数学思想来统领我们的学习，以思想来指导我们的学习，从而使学生的学习提高了一个层次．
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2.1.1直线的斜率
教学目标：
1．理解直线的斜率，掌握过两点的直线的斜率公式；
2．理解直线倾斜角的定义，知道直线的倾斜角的范围；
3．掌握直线的斜率与倾斜角之间的关系；
4．使学生初步感受直线的方向与直线的斜率之间的对应关系，从而体会到要研究直线
的方向的变化规律，只要研究直线斜率的变化规律．
教材分析及教材内容的定位：
本节课是平面解析几何的入门课，应该让学生知道解析几何的本质；斜率和倾斜角是刻
画直线的两个基本量，要让学生理解两个量的定义及两个量之间的关系，应该明确斜率的两
种计算方法；要让学生体会斜率变化规律和直线变化规律的关系．
教学重点：
过两点的直线的斜率公式的运用．
教学难点：
斜率的引入及倾斜角与斜率之间的关系．
教学方法：
合作交流法．
教学过程：
一、问题情境
1．本章研究的问题是——对于基本的几何图形——直线与圆．
——如何建立它们的方程？
——如何通过方程来研究它们的性质？——位置关系（平行、相交、…）．
2．本节课研究的问题是：
——如何确定直线？——两个要素（两点、点与方向）——通过建立直角坐标系，点可
以用坐标来表示．
——如何用一个代数的量来刻画直线的方向（倾斜程度）？
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二、学生活动
1．探究1：在同一坐标系中作出下列函数的图象：
（1）y＝x＋1；
（2）y＝2x＋1；
（3）y＝－x＋1．
2．探究2：
上图为环法自行车赛某日路线图的一部分，OA，AB两段哪段路程更“陡峭”？为什么？
用什么来刻画山坡的倾斜程度？怎样将“直观”量化？
三、建构数学
1．直线的斜率．
已知两点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，如果x1≠x2，那么直线PQ的斜率（slope）为：
)(
21
12
12xx
xx
yy
k
说明：
（1）如果x1＝x2，那么直线PQ⊥x轴，此时k不存在（斜率不存在）；
（2）k＝
y2－y1
x2－x1
＝
纵坐标的增量
横坐标的增量
＝
y
x
；
（3）对于一条（与x轴不垂直的）直线而言，它的斜率是一个定值，由该直线上任意
两点确定的直线的斜率总是相等的．
2．直线的倾斜角．
在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时
针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角（inclination），并规
定：
与x轴平行或者重合的直线的倾斜角为0o．
说明：
A
B
900
900
800
300
B
1
A
1O
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（1）由定义可知，直线的倾斜角的取值范围是
1800
；
（2）与斜率比较，直线的倾斜角和直线的斜率都是刻画直线的倾斜程度的一个量，其
中所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率；
（3）通过研究发现：当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间满足k＝
tan．
四、数学运用
例1已知直线l1，l2，l3，l4都经过点P(3，2)，又l1，l2，l3，l4分别经过点Q1(3，
7)，Q2(－3，2)，Q3(－2，－1)，Q4(4，－2)，讨论l1，l2，l3，l4的斜率是否存在，如存在，
求出直线的斜率．
例2经过点(3，2)画直线，使直线的斜率分别为：
（1）
3
4
；（2）−
4
5
；（3）0；（4）斜率不存
例3根据下列条件，分别画出经过点P，且斜率为k的直线，并写出倾斜角：
（1）P(1，2)，k＝1；（2）P(－1，3)，k＝0；
（3）P(0，－2)，k＝
3
3
；（4）P(1，2)，斜率不存在．
五、要点归纳与方法小结
1．如何确定直线？直线的方向（倾斜程度）用什么量来刻画？
——斜率是刻画直线方向（倾斜程度）的代数量，它可以由直线的方程直接地体现．
2．斜率的取值范围是什么？倾斜角的取值范围是什么？斜率与倾斜角有什么关系？
——斜率kR，倾斜角[0，π)，k＝tan，一般地，斜率k随着倾斜角的增大而
增大，但是，[0，π)不是其单调区间（分隔成两个单调区间）．