博才实验中学

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2023年2月19日发(作者：)

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2020-2021

学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）期末

数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）3的相反数是（）

A．﹣3B．﹣C．3D．

2．（3分）下列水平放置的几何体中，俯视图不是圆的是（）

A．B．C．D．

3．（3分）国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富的道路．据统计，2019

年末全国农村贫困人口比2018年末全国农村贫困人口减少了11090000人，其中数据

11090000用科学记数法可表示为（）

A．11.09×105B．1.109×107C．0.1109×108D．1.109×108

4．（3分）下列运算正确的是（）

A．（ab3

）

2

＝a

2b6B．5a2

﹣3a＝2a

C．2a+3b＝5abD．（a+2）2

＝a

2+4

5．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（）

A．B．

C．D．

6．（3分）关于x的方程x2

﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，则另一个根为（）

A．﹣2B．2C．﹣5D．5

7．（3分）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上，若∠1＝20°，

则∠2的度数是（）

A．15°B．20°C．25°D．30°

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8．（3分）一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（）

A．8B．10C．9D．8或10

9．（3分）如图，是小明绘制的他在一周内每天跑步圈数的折线统计图．下列结论正确的是

（）

A．众数是9B．中位数是8.5

C．平均数是9D．方差是7

10．（3分）如图，在⊙O中，点A、B、C在圆上，OD⊥AB，∠ACB＝45°，OA＝2，

则AD的长是（）

A．B．2C．2D．3

11．（3分）如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°

方向上，若AP＝6千米，则A，B两点的距离为（）千米．

A．4B．4C．2D．6

12．（3分）已知抛物线y＝x2+（2m﹣6）x+m2

﹣3与y轴交于点A，与直线x＝4交于点B，

当x＞2时，y值随x值的增大而增大．记抛物线在线段AB下方的部分为G（包含A、B

两点），M为G上任意一点，设M的纵坐标为t，若t≥﹣3，则m的取值范围是（）

A．m≥B．≤m≤3C．m≥3D．1≤m≤3

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）因式分解mn2

﹣m＝．

14．（3分）圆锥底面圆半径为5，母线长为6，则圆锥侧面积等于．

15．（3分）如图，反比例函数y

1

＝的图象与正比例函数y

2

＝k

2

x的图象交于点（2，1），

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则使y

1

＞y

2

的x的取值范围是．

16．（3分）《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，

问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长

直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是步．

三、解答题（共9小题，17、18、19各6分，20、21各8分，22、23各9分，24、25各

10分，共72分）

17．（6分）计算：（﹣1）2020+|1﹣|﹣2cos45°﹣（）﹣1

．

18．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中a＝1．

19．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC边上一点，且BD＝BA．

（1）作∠ABC的角平分线交AD于点E，步骤如下：

①

以B为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB、BC于点M和N；

②分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P；

③

连接BP并延长交AD于点E．则BE是∠ABC的角平分线，所以AEDE．（填“＝”、

“＜”、“＞”）

（2）作CD的中点F，连接EF，若∠EBD＝20°，求∠BEF的度数．

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20．（8分）随着国民生活水平的提高，人们的出行方式越来越便捷、多样．某校数学兴趣

小组为了解某社区20～60岁居民最喜欢的外出出行方式，针对给出的四种出行方式（A

私家车、B公共交通（公交车、地铁）、C自行车、D步行）的情况，对社区内该年龄段

的部分居民展开了随机问卷调查（每人必选且只能选择其中一项）．根据调查结果绘制了

不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：

（1）参与问卷调查的总人数是；

（2）补全条形统计图；

（3）若小强和他爸爸周末想去郊游，在A，B，C三种出行方式中选择一种，求他俩选

择同一种出行方式的概率，并列出所有等可能的结果．

21．（8分）如图，在矩形ABCD中，点M、N分别在边AD、BC上，且连接BM、DN．

（1）若M，N分别为AD，BC的中点，求证：△ABM≌△CDN；

（2）当四边形BMDN是菱形，AD＝2AB，AM＝3时，求菱形的边长．

22．（9分）在抗击新冠肺炎疫情期间，玉龙社区购买酒精和消毒液两种消毒物资，供居民

使用．第一次购买酒精和消毒液若干，酒精每瓶10元，消毒液每瓶5元，共花费了350

元；第二次又购买了与第一次相同数量的酒精和消毒液，由于酒精和消毒液每瓶价格分

别下降了30%和20%，只花费了260元．

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（1）求每次购买的酒精和消毒液分别是多少瓶？

（2）若按照第二次购买的价格再一次购买，根据需要，购买的酒精数量是消毒液数量的

2倍，现有购买资金200元，则最多能购买消毒液多少瓶？

23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，DA与⊙O相切于点A，射线DO依次与⊙O相交于点

E，F，点C是弧BE上一点，连接CD，CB，且BC∥DF．

（1）求证：DC是⊙O的切线；

（2）连接CF交AB于点P．

①

若四边形BCDO是平行四边形，且AD＝2，求OP的长；

②

若＝，求tan∠BCF．

24．（10分）定义：有一组对角互补且一组邻边相等的图边形叫做“完美四边形”．

（1）如图1，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且对角线BD平分∠ADC，四边形ABCD

（填“是”或者“不是”）“完美四边形”，若∠ABC＝90°，且AB＝1，则⊙O的直径为．

（2）已知，四边形ABCD是“完美四边形”∠ADC＝90°，AB＝，AB≠BC，当四

边形ABCD的面积为4时，求对角线BD的长；

（3）如图2，在“完美四边形”ABCD中，AB＝AD，AC＝8，∠BAD＝60°，对角线AC

与BD相交于点P，设BC＝x，CP＝y，求y与x的函数关系式，并求y的最大值．

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25．（10分）抛物线L：y＝ax2

﹣ax﹣6a与x轴交于A，B两点（A点在B点左侧），与y轴

正半轴交于点C，顶点为D，且OC＝2OB．

（1）求抛物线L的解析式；

（2）如图，过定点的直线y＝kx﹣k+（k＜0）与抛物线L交于点E、F．若△DEF

的面积等于1，求k的值；

（3）如图2，将抛物线L向下平移m（0＜m＜6）个单位长度得到抛物线L

1

，抛物线L

1

与y轴正半轴交于点M，过点M作y轴的垂线交抛物线L

1

于另一点N，G为抛物线L

1

的对称轴与x轴的交点，P为线段OM上一点．若△PMN与△POG相似，并且符合条件

的点P恰有2个，求m的值及相应点P的坐标．

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2020-2021

学年湖南师大附中博才实验中学九年级（上）期末

数学试卷参考答案与试题解析

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．【分析】根据相反数的性质，互为相反数的两个数和为0，采用逐一检验法求解即可．

【解答】解：根据概念，3的相反数在3的前面加﹣，则3的相反数是﹣3．

故选：A．

【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：

一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．

2．【分析】俯视图是从上往下看得到的视图，分别判断出各选项的俯视图即可得出答案．

【解答】解：A、俯视图是一个圆，故本选项错误；

B、俯视图是一个圆，故本选项错误；

C、俯视图是一个正方形，不是圆，故本选项正确；

D、俯视图是一个圆，故本选项错误；

故选：C．

【点评】本题考查了俯视图的知识，注意俯视图是从上往下看得到的视图．

3．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n

的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的

值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相

同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

【解答】解：数据11090000用科学记数法可表示为1.109×10

7

．

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10

n

的形式，其

中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．【分析】分别根据幂的乘方与积的乘方运算法则，合并同类项法则以及完全平方公式逐一

判断即可．

【解答】解：A、（ab

3

）

2

＝a

2b6

，故本选项符合题意；

B、5a2

与﹣3a不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

C、2a与3b不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意；

D、（a+2）2

＝a

2+4a+4，故本选项不合题意；

故选：A．

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【点评】本题主要考查了合并同类项以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解

答本题的关键．

5．【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式

的解集表示在数轴上即可

【解答】解：由x﹣1≥0，得x≥1，

由4﹣2x＞0，得x＜2，

不等式组的解集是1≤x＜2，

故选：D．

【点评】考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，把每个不等式的解

集在数轴上表示出来（＞，≥向右画；＜，≤向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，

如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式

组的解集．有几个就要几个．在表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“＜”，“＞”

要用空心圆点表示．

6．【分析】利用根与系数的关系求出另一根即可．

【解答】解：∵关于x的方程x

2

﹣4x+m＝0有一个根为﹣1，另一根为a，

∴﹣1+a＝4，

解得：a＝5，

则另一根为5．

故选：D．

【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，灵活运用根与系数的关

系是解本题的关键．

7．【分析】先根据平行线的性质，求得∠ABC的度数，再根据三角板中∠CBE的度数，求

得∠2．

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠1＝∠ABC＝20°，

又∵∠CBE＝45°，

∴∠2＝45°﹣20°＝25°，

故选：C．

【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意，直尺的对边互相平行，且被CB

所截得的内错角相等．

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8．【分析】分4是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即

可．

【解答】解：

①

4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、2，

4+2＞4；

能组成三角形；

所以，周长为10；

②

4是底边时，三角形的三边分别为2、2、4，

∵2+2＝4，

∴不能组成三角形，

综上所述，周长为10．

故选：B．

【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．

9．【分析】由折线图得到一周内每天跑步圈数的数据，计算这组数据的平均数、中位数、众

数、方差，然后判断得结论．

【解答】解：A．数据10出现的次数最多，即众数是10，故本选项错误；

B．排序后的数据中，最中间的数据为9，即中位数为9，故本选项错误；

C．平均数为：（7+8+9+9+10+10+10）＝9，故本选项正确；

D．方差为[（7﹣9）2+（8﹣9）2+（9﹣9）2+（9﹣9）2+（10﹣9）2+（10﹣9）2+（10

﹣9）

2]＝，故本选项错误；

故选：C．

【点评】本题考查了折线图、平均数、中位数、众数及方差等知识，读折线图得到数据

是解决本题的关键．

10．【分析】证明△AOB是等腰直角三角形，即可解决问题．

【解答】解：∵∠AOB＝2∠ACB＝90°,

∵OA＝OB＝2,

∴AB＝OA＝4,

∵OD⊥AB,

∴AD＝DB＝AB＝2,

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故选：B．

【点评】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本

知识，属于中考常考题型．

11．【分析】证明AB＝PB，在Rt△PAC中，求出PC＝3千米，在Rt△PBC中，解直角

三角形可求出PB的长，则可得出答案．

【解答】解：由题意知，∠PAB＝30°，∠PBC＝60°，

∴∠APB＝∠PBC﹣∠PAB＝60°﹣30°＝30°，

∴∠PAB＝∠APB，

∴AB＝PB，

在Rt△PAC中，∵AP＝6千米，

∴PC＝PA＝3千米，

在Rt△PBC中，∵sin∠PBC＝，

∴PB＝＝＝6千米．

故选：D．

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义及方向角是解题

的关键．

12．【分析】根据题意，x＝﹣≤2，≥﹣3

【解答】解：当对称轴在y轴的右侧时，，

解得≤m＜3，

当对称轴是y轴时，m＝3，符合题意，

当对称轴在y轴的左侧时，2m﹣6＞0，解得m＞3，

综上所述，满足条件的m的值为m≥．

故选：A．

【点评】本题考查二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征，解题

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的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．

二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分）

13．【分析】直接提取公因式m,再利用公式法分解因式得出答案．

【解答】解：mn

2

﹣m

＝m(n

2

﹣1)

＝m（n+1）（n﹣1）．

故答案为：m（n+1）（n﹣1）．

【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确运用乘法公式是解题

关键．

14．【分析】利用扇形的面积公式计算圆锥侧面积．

【解答】解：圆锥侧面积＝×2π×5×6＝30π．

故答案为30π．

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

15．【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，由函数图象即可得出结

论．

【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，

∴A、B两点关于原点对称，

∵A（2，1），

∴B（﹣2，﹣1），

∵由函数图象可知，当0＜x＜2或x＜﹣2时函数y

1

的图象在y

2

的上方，

∴使y

1

＞y

2

的x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜2．

故答案为：x＜﹣2或0＜x＜2．

【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y

1

＞y

2

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时x的取值范围是解答此题的关键．

16．【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法

确定出内切圆半径，得到直径．

【解答】解：根据勾股定理得：斜边为＝17，

则该直角三角形能容纳的圆形（内切圆）半径r＝＝3（步），即直径为6步，

故答案为：6．

【点评】此题考查了三角形的内切圆与内心，掌握Rt△ABC中，两直角边分别为为a、b，

斜边为c，其内切圆半径r＝是解题的关键．

三、解答题（共9小题，17、18、19各6分，20、21各8分，22、23各9分，24、25各

10分，共72分）

17．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、绝对值的性质分别化

简得出答案．

【解答】解：原式＝1+﹣1﹣2×﹣2

＝1+﹣1﹣﹣2

＝﹣2．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

18．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．

【解答】解：原式＝[+]÷

＝•

＝a，

当a＝1时，原式＝1．

【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算

法则．

19．【分析】（1）根据题意证明△AEB≌△DEB即可；

（2）结合（1）根据已知条件可得EF是△ADC的中位线，再根据三角形内角和定理即

可得结论．

【解答】解：（1）在△AEB和△DEB中，

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，

∴△AEB≌△DEB（SAS），

∴AE＝DE；

故答案为：＝；

（2）∵BE是∠ABC的角平分线，

∴∠ABC＝2∠EBD＝40°，

∵∠BAC＝90°，

∴∠C＝50°，

∵F是CD的中点，

∴CF＝DF，

∵AE＝DE，

∴EF是△ADC的中位线，

∴EF∥AC，

∴∠EFD＝∠C＝50°，

∵AB＝DB，

∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣40°）＝70°，

∴∠DAC＝∠FED＝90°﹣70°＝20°，

∵∠BED＝180°﹣20°﹣70°＝90°，

∴∠BEF＝20°+90°＝110°．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，全等三角形的判定与性质，角平分线定义，三角

形中位线定理，三角形内角和定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．

20．【分析】（1）根据A的人数÷其所占的比例＝参与问卷调查的总人数；

（2）求出C的人数﹣15，再将条形统计图补充完整即可；

（3）列表得出所有结果，再由概率公式求解即可．

【解答】解：（1）（120+80）÷40%＝500（人），

即参与问卷调查的总人数为500人，

故答案为：500人；

（2）500×15%﹣15＝60（人），

第8页（共17页）

补全条形统计图如图所示：

（3）根据题意，列表如下：

共有9个等可能的结果，其中小强和他爸爸选择同一种出行方式的情况有3种，

∴小强和他爸爸选择同一种出行方式的概率为．

【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率、条形统计图、扇形统计图；列表

法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事

件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与

总情况数之比．

21．【分析】（1）根据矩形的性质和M，N分别为AD，BC的中点，可以得到△ABM和△

CDN全等的条件，从而可以证明结论成立；

（2）根据菱形的性质和勾股定理，可以求得菱形的边长．

【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠C＝90°，

∵M，N分别为AD，BC的中点，

∴AM＝CN，

在△ABM和△CDN中，

第9页（共17页）

，

∴△ABM≌△CDN（SAS）；

（2）设AB＝x，则AD＝2x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，

∵四边形BMDN是菱形，AM＝3，

∴BM＝DM＝2x﹣3，

∵AM

2+AB2

＝BM

2

，

∴3

2+x2

＝（2x﹣3）

2

，

解得，x

1

＝0（舍去），x

2

＝4，

即AB＝4，

∴BM＝＝5，

即菱形的边长是5．

【点评】本题考查菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关

键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

22．【分析】（1）根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得每次购买的酒

精和消毒液分别是多少瓶；

（2）设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，根据“购买的酒精数量是消毒液数量

的2倍，现有购买资金200元”列出不等式．

【解答】（1）解：设购买酒精x瓶，消毒液y瓶，

根据题意列方程组，得

．

解得，．

答：每次购买的酒精和消毒液分别是20瓶，30瓶；

（2）解：设能购买消毒液m瓶，则能购买酒精2m瓶，

根据题意，得10×（1﹣30%）•2m+5（1﹣20%）•m≤200，

解得：m≤＝11．

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∵m为正整数，

∴m＝11．

所以，最多能购买消毒液11瓶．

【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是

明确题意，找到等量关系或不等关系，列出方程或不等式．

23．【分析】（1）连接OC，由题意得∠OCB＝∠B，∠COD＝∠OCB，∠DOA＝∠B，则有

∠COD＝∠AOD，然后可证△AOD≌△COD，时而可得∠DAO＝∠DCO＝90°，最后问

题得证；

（2）①连接OC，由题意易得四边形AOCD是正方形，则有OD＝BC＝2，进而可得

△BCP∽△OFP，然后可得＝＝，最后问题得解；

②

过点这PH⊥BC

于点H，连接AC，由题意得＝设BC＝8x，OF＝5x，进而可得PH＝BP•sin∠

B＝x，BH＝BP•∠B＝x，然后可得CH＝BC﹣BH＝x，最后问题得解．

【解答】（1）证明：连接OC，如图所示：

∵OC＝OB＝OA，

∴∠OCB＝∠B，

∵BC∥DF，

∴∠COD＝∠OCB，∠DOA＝∠B，

∴∠COD＝∠AOD，

∵OD＝OD，

∴△AOD≌△COD（SAS），

∵DA与⊙O相切于点A，

∠DAO＝∠DCO＝90°，

∴OC⊥CD，

∵OC是⊙O的半径，

∴DC是⊙O的切线；

（2）

①

连接OC、OF，如图所示：

由（1）可得：∠DAO＝∠DCO＝90°，

∵四边形BCDO是平行四边形，

∴DC∥OB，OD∥BC，OD＝BC，

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∴∠AOC＝∠DCO＝90°，

∴四边形AOCD是矩形，

∵OA＝OC，

∴四边形AOCD是正方形，

∵AD＝2，

∴OA＝OF＝OB＝2，

∵OD∥BC，

∴△BCP∽△OFP，

∴＝＝，

∴OP＝（﹣1）OB＝2﹣2；

②

过点这PH⊥BC于点H，连接AC，

由

①

得△BCP∽△OFP，

∵＝，

∴，

设BC＝8x，OF＝5x，

∴AB＝10x，OB＝5，

∴AC＝＝6x，BP＝OB＝x，

∴sin∠B＝，cos∠B＝

∴PH＝BP•sin∠B＝x，BH＝BP•∠B＝x，

∴CH＝BC﹣BH＝x，

∴tan∠BCF＝．

【点评】此题考查的是切线的判定定理、相似三角形的判定与性质及三角函数，熟练掌

握切线的判定定理、相似三角形的性质与判定及三角函数是解决此题关键．

24．【分析】（1）根据四边形ABCD中∠ABC和∠ADC互补，且一组邻边AB和BC相等即

可判定；根据勾股定理即可得到答案；

（2）分情况讨论：当AB＝AD时，△ADC≌△ABC，从而转化为△ABC的面积为2，换

第12页（共17页）

底换高求出PB，再计算出PB的2倍即可；当AD＝DC时，先求出BC的长，然后分别

作出△ABD和△CBD以BD为底的高，求出两个高的长，再根据四边形ABCD面积等于

△ABD和△CBD的面积之和求解即可；

（3）根据△CAB∽△BAP，对应边成比例先表示出AB，再过点P作PQ⊥BC于Q，在

Rt△PQB中表示出PB的长，代入计算即可．

【解答】解：（1）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，

∴四边形ABCD的两组对角互补，

∵对角线BD平分∠ADC，

∴∠ADB＝∠CDB，

∴AB＝CB，

∴四边形ABCD是完美四边形，

∵∠ABC＝90°，

∴AC是直径，

∵AB＝BC＝1，

∴AC＝＝＝，

故⊙O的直径为；

故答案为：是，．

（2）

①

当AB＝AD时，

∵∠ADC＝90°，

∴∠ABC＝90°，

在Rt△ADC和Rt△ABC中，

∵AB＝AD，AC＝AC，

∴△ADC≌△ABC（HL），

∴CD＝CB，

∵四边形ABCD的面积为4，

∴S

△ABC

＝2＝×AB×BC，

∵，

∴BC＝2，

∴AC＝＝，

第13页（共17页）

∵△ADC≌△ABC，

∴∠DAC＝∠BAC，

在△ADP和△ABP中，

∵DA＝BA，∠DAC＝∠BAC，AP＝AP，

∴△ADP≌ABP（SAS），

∴∠DPA＝∠BPA＝90°，

∴DP＝BP，

∵S

△ABC

＝2＝×AC×PB，

∴PB＝，

②

当AD＝DC时，如图所示，画出四边形ABCD的外接圆，过点A作AM⊥BD，垂足

为M，过点C作CN⊥BD，垂足为N，

∵∠ADC＝90°，AD＝CD，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，

∴∠ABM＝∠CBN＝45°，

∴在Rt△ABM中，AM＝1，

∵∠ADC＝90°，

设BC＝a，则AC＝，AD＝＝，

∴S

四边形ABCD

＝S△ADC

+S△ABC

＝4＝××+a×，

整理得，a

2+2a﹣14＝0，

∴a＝4﹣，即BC＝4﹣，

∴CN＝＝2﹣1，

∴S

四边形ABCD

＝S△ABD

+S△CBD

＝×BD×（AM+CN），

即4＝BD×，

∴BD＝2，

综上所述，BD＝或2．

（3）如图所示，画出四边形ABCD的外接圆，过点P作PQ⊥BC，垂足为Q，

第14页（共17页）

BC＝x，PC＝y，AP＝8﹣y，

∵AD＝AB，∠BAD＝60°，

∴△ABD为正三角形，∠ADB＝∠ABD＝60°，

在Rt△PCQ中，PC＝y，∠ADB＝60°，

∴PQ＝y，CQ＝y，

∴BQ＝x﹣y，

在Rt△PBQ中，PB＝＝，

∵∠BAC＝∠PAB，∠ACB＝∠ABP，

∴△CAB∽△BAP，

∴，

∴，

∴AB＝，

∵PB＝，

代入计算得，y＝﹣（x﹣4）

2+2（0＜x＜8），

当x＝4时，y有最大值，最大值为2．

【点评】此题考查了圆的内接四边形，三角形全等和相似，面积转换等知识，熟练掌握

圆的内接四边形的性质、三角形全等和相似的条件并准确计算是解决此题关键．

25．【分析】（1）根据抛物线先求出A、B两点坐标，再根据C点坐标构造方程求解可得；

（2）根据直线y＝kx﹣k+（k＜0）知直线所过定点G坐标为（，），从而得出

DG＝2，由S△DEF

＝S△DGF

﹣S△DGE

＝DG•（x

2

﹣2）﹣DG•（x

1

﹣2）＝DG•（x

2

﹣

x

1

）得出x

2

﹣x

1

＝1，联立直线和抛物线解析式求得x的值，根据x

2

﹣x

1

＝1列出关于k

的方程，解之可得；

（3）设抛物线L

1

的解析式为y＝﹣x2+x﹣6﹣m，m＞0，知M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），

由△PMN和△GOP相似，分两种情况∠MPN+∠OPG＝90°和∠MPN＝∠OPG，当△

PMN∽△POG，当∠OPG＝∠MPN＝∠MNP＝∠OGP时由对应边成比例得出关于n与m

的方程，利用符合条件的点P恰有2个，结合方程的解的情况求解可得．

【解答】解：（1）令y＝0，

第15页（共17页）

则y＝ax

2

﹣ax﹣6a＝a（x

2

﹣x﹣6）＝a（x﹣3）（x+2）＝0，

∴x

1

＝﹣2，x

2

＝3，

∴OA＝2，OB＝3，

∵y＝ax

2

﹣ax﹣6a，x＝0，y＝﹣6a，

∴OC＝﹣6a，

∴OC＝2OB，

∴﹣6a＝6，

∴a＝﹣1，

∴抛物线L的解析式为y＝﹣x

2+x+6；

（2）∵过定点G的直线y＝kx﹣k+（k＜0），

∴y＝＝k（x﹣），

∴，

∴定点坐标为G（，），

∴y＝﹣x

2+x+6＝﹣+，D（，），

设E（x

1

，﹣+x

1

+6），F（x

2

，﹣+x

2

+6），

∴DG＝2，

∵S

△DEF

＝S△DGF

﹣S△DGE

＝DG•（x

2

﹣2）﹣DG•（x

1

﹣2）

＝DG•（x

2

﹣x

1

）＝×2×（x

2

﹣x

1

）＝1，

∴x

2

﹣x

1

＝1，

联立方程组，

得：x

2+（k﹣1）x﹣k+＝0，

解得：x

1

＝，x

2

＝，

第16页（共17页）

∴x

2

﹣x

1

＝＝1，

解得k＝±3，

∵k＜0，

∴k＝﹣3；

（3）设抛物线L

1

的解析式为y＝﹣x2+x﹣6﹣m，m＞0，

∴M（0，6﹣m）、N（1，6﹣m），G（，0），

设P（0，x），

①

当△PMN∽△GOP时，

＝＝，

∴＝，

即﹣x

2+（6﹣m）x＝①，

②

当△PMN∽△POG时，

＝，

＝，

即（6﹣m﹣x）＝x②，

当方程

①

有两个相等的实根时，

Δ＝0，（6﹣m）

2

﹣2＝0，m＝6﹣，（6+＞6，舍去），

x

1

＝x

2

＝，

方程

②

中x＝，

∴m＝6﹣，P的坐标为（0，）或（0，），

当方程

①

有两种不同实根时，

将

②

代入

①

得：

8﹣m+m2

＝，

第17页（共17页）

m＝或（舍去），m＝＞6（不符合题意），

∴方程

①

的解：

x

1

＝1，x

2

＝﹣（舍去），

方程②的解：x＝，

当m＝时，点P的坐标为（0，）或（0，1），

综上所述，当m＝6﹣时，点P的坐标为（0，）或（0，）；当m＝时，点P

的坐标为（0，）或（0，1），此时△PMN和△GOP相似．

【点评】本题主要考查二次函数综合题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、

利用割补法求三角形的面积建立关于k的方程及相似三角形的判定与性质等知识点，解

题时，注意“分类讨论”和“数形结合”数学思想的应用，难度较大．