一元二次方程例题

一元二次方程例题

169种淡水鱼名称和图片-经典绘本

2023年2月23日发(作者：热电偶规格型号)

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一元二次方程的定义

一元二次方程的定义：

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次

方程。

识别一元二次方程必须抓住三个方面：（1）整式方程

（2）含有一个未知数

（3）未知数的最高次数是2。

【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由.

(1)16x2(2)0125x2x(3)032x2y

(4)03

x

1

2

x(5)0x2(6)052x24x

一元二次方程的一般形式

02cbxax

（a0）

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：

02cbxax（a0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax是二次项，a

是二次项系数，bx是一次项，b是一次项系数，c是常数项.

【整理】2ax是二次项，a是二次项系数，

bx是一次项，b是一次项系数，

c是常数项.

例1把6)4)(3(xx化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，

一次项系数和常数项。

解：移项，整理，得062xx

二次项系数为1，一次项系数为1，常数项为6。

例2指出mx2-nx-mx+nx2=p二次项，一次项，二次项系数，一次项系数，.

解：变形为一般形式为：（m+n）x2+（-n-m）x–p=0

二次项是（m+n）x2，二次项系数是m+n；

一次项是（-n-m）x，一次项系数是-n-m；

常数项是–p

练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。

①

xxxx3422

②

221248xxx

③

1

2

1

3

2







xx

④

0p22nmqnxmxnxmx

小结：理解一元二次方程以下方面入手：

（1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数

（2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0.

（3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。

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方程的解的定义:使方程两边左右相等的未知数的值，叫做这个方程的解。

一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。

例如：x=2,x=3都是一元二次方程x2-5x+6=0的根。

因式分解法解方程

定义：对于一般形式的一元二次方程

)0(0ax2acbx

来说，若其左

端能够进行因式分解成（ax

1+b1）(a2x+b2)=0,则根据乘法中一个数同零相乘积是

零的性质，可知ax

1+b1=0或a2x+b2=0，进而求出方程的解，这种方法叫做因式

分解法。

回顾知识点：一、因式分解的定义：一般地，把一个多项式化成几个整式

的积的形式。

二、分解因式的方法：①提取公因式法

②利用平方差公式

③利用完全平方公式

④利用十字相乘法

用因式分解法解方程的步骤：（1）移项，使方程的右边为0，

（2）将方程的左边因式分解

（3）根据若（ax

1+b1）(a2x+b2)=0，则ax1+b1=0或a2x+b2=0，

将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程。

【例】求x2-7x+6=0的解。

解：（x-1）（x-6）=0

x-1=0或x-6=0

∴x

1

=1，x

2

=6

课堂练习：

1、下列x的方程：[1].ax2+bx+c=0；[2]x2+

x

3

=5；[3]2x2-x-3=0；[4]x2-2+x3=0.

其中是一元二次方程的是（）.

A.4个B.3个C.2个D.1个

2、若px2-3x+p2-p=0是关于x的一元二次方程，则（）.

A.p=1B.p>0C.p0D.P为任意实数

3、关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别是1和2，则b=__,c=___

4、方程2（x+2）+8=3x(x-1)的一般形式是_________________，二次项系数是

_________，一次项系数是_________，常数项是_________.

5、已知一元二次方程的两根分别为x1=3,x2=-4,则这个方程为（）

A.(x-3)(x+4)=0B.(x+3)(x-4)=0C.(x+3)(x+4)=0D.(x-3)(x-4)=0

6、已知一元二次方程有一个根为1，那么这个方程可以是__________(只需写出一个

过程)

7、用因式分解法解下列一元二次方程

（1）09

4

1

2x；（2）2350xx

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（3）02172xx（4）04542yy